1 / 43
E N D
STUDIO QUALITATIVO DI FUNZIONE Reperire un certo numero di informazioni per descrivere a livello qualitativo l’andamento del grafico di una funzione f 1. campo di esistenza e verificare che dom ( f ) CE 2. simmetrie o periodicità 3. segno: per quali x D f(x) > 0 4. intersezioni con gli assi: (0, f(0)) e (xo, 0 ) 5. continuità 6. comportamento agli estremi del dominio e nei punti singolari 7. monotonia 8. massimi e minimi 9. concavità/convessità e flessi grafico qualitativo
MASSIMO E MINIMO RELATIVO x0∈ ∈ dom(f ) è punto di MASSIMO RELATIVO per f è MINIMO RELATIVO per f se I (x0) : ∀ ∀ x ∈ ∈ I (x0) ∩ dom(f ) f (x0) ≥ f (x) se I (x0) : ∀ ∀x ∈ ∈ I (x0) ∩ dom(f ) f (x0) ≤ f (x) Se f : [a, b] R è continua, il T di Weierstrass ne assicura l’esistenza
MASSIMO E MINIMO ASSOLUTO x0∈ ∈ dom(f ) x0 è punto di MAX ASSOLUTO per f se f (x0) = M ≥ f (x) ∀ ∀ x ∈ ∈dom(f) x0 è punto di MIN ASSOLUTO per f se f (x0) = m ≤ f (x) ∀ ∀ x ∈ ∈dom(f) M m M e m assoluti se esistono sono unici Se f : [a, b] R è continua, il T di Weierstrass ne assicura l’esistenza PUNTI DI ESTREMO
MASSIMO E MINIMO ASSOLUTO D ] , [ 3 f(x) x 1 3 f(x) x 1 Se f : [a, b] R è continua, il T di Weierstrass ne assicura l’esistenza In ] . [ il teorema non vale: condizione necessaria ma non sufficiente
PUNTI DI ESTREMO OSSERVAZIONI E NOMENCLATURA 1. i punti di massimo e minimo relativo sono detti punti di ESTREMO RELATIVO 2. i punti di massimo e minimo assoluto sono detti punti di ESTREMO ASSOLUTO 3. un punto di estremo assoluto è anche punto di estremo relativo il viceversa non è sempre vero 4. in un punto di massimo o minimo relativo la funzione può non essere derivabile es.: punti angolosi e punti di cuspide sono sempre punti di massimo o di minimo relativo in cui la f non è derivabile
PUNTO STAZIONARIO x0∈ ∈ dom(f ) x0 è un punto stazionario o critico per f se f è derivabile in x0 f ′(x0) = 0 la tangente ad f in x0 è una retta orizzontale
TEOREMA DEI PUNTI STAZIONARI DI FERMAT f: D R R x0 D (punto interno) f è continua e derivabile in x0 x0 è un punto di massimo o minimo relativo per f f′(x0) = 0 ovvero x0 è un punto stazionario per f Osserviamo che il Teorema di Fermat sussiste anche per funzioni definite in insiemi D pi`u generali degli intervalli chiusi; l’unica condizione cui debbono soddisfare `e che se contengono il punto xo contengano tutto un intervallo centrato in xo; questa condizione si esprime dicendo che xo `e interno a D.
TEOREMA DEI PUNTI STAZIONARI DI FERMAT L’annullamento della derivata prima di una funzione in xo dom ff (xo)=0 NON è una CONDIZIONE né NECCESSARIA né SUFFICIENTE per l’esistenza di un estremo relativo in un punto xo del dominio f(x) = x3 f (x) = 3x2 f (0) = 0 ma f +(0) > 0 e anche f -(0)>0 in x=0 non c’è né minimo né massimo f (xo)=0 ESEMPIO MAX min f (xo)=0 NON BASTA! NON è una CONDIZIONE SUFFICIENTE
TEOREMA DEI PUNTI STAZIONARI DI FERMAT Anche quando viene a mancare l’ipotesi della derivabilità, la condizione può non essere necessaria: in c [a, b] si ha f +(c) f -(c) non f (c) tuttavia in x=c la funzione ha min Il T parla di punti interni al dom(f): per un estremo la condizione del teorema può non essere necessaria: un estremo del dominio può essere m o M in cui la tangente non è parallela all’asse x f (xo)=0 NON è una CONDIZIONE NECESSARIA
RICERCA DEI PUNTI DI ESTREMO I punti di estremo di una funzione vanno ricercati tra i punti x ∈ ∈ dom(f ) tali che sono: punti stazionari: f ′(x0) = 0 (Teorema di Fermat) punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi) estremi finiti (in R) del dominio (punti non interni al dominio) x0 = punto stazionario x0 = punto di non derivabilità x0 = estremo al finito del dominio
TEOREMA DI ROLLE f funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] f derivabile su (a, b) se f (a) = f (b) allora c ∈ ∈ (a, b) : f ′(c) = 0 m=f ’(c )=0 Se una delle ipotesi non valesse la funzione non avrebbe punti stazionari: o f non è derivabile x (a, b) f (a) f(b) f non è continua in [a, b]
TEOREMA DI ROLLE Nulla vieta che vi possano essere più punti in cui la tangente è orizzontale, anche infiniti es.: 2 ( x ) 1 - 2 x -1 f ( x ) 0 2 - 1 x 0 x 0 x 1
TEOREMA DI ROLLE Nulla vieta che i punti siano più d’uno Nessuna delle ipotesi del teorema di Rolle è verificata: f NON funzione continua in [a, b] f NON derivabile su (a, b) se f (a) f (b) tuttavia esistono c1 e c2∈ ∈(a, b) : f ′(c1) = f ′(c2) = 0 le condizioni per la validità del Teorema di Rolle sono SUFFICIENTI ma NON NECESSARIE anche se mancano, la tesi può essere ugualmente vera
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DI LAGRANGE f funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] f derivabile su (a, b) allora c ∈ ∈ (a, b) : NB - è la pendenza della secante al grafico di f per i punti del grafico relativi ad a e b - è il ‘valor medio’ della pendenza del grafico di f tra a e b f (b ) f ( b ) f ( a ) f ( c ) b a f ( b ) f ( a ) f (a ) b a IL TEOREMA DI LAGRANGE PUÒ ESSERE CONSIDERATO SIGNIFICATO GEOMETRICO: Esiste un punto c per cui la tangente ad f in c è parallela alla secante passante per i punti A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)) UNA GENERALIZZAZIONE DEL TEOREMA DI ROLLE
TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DI LAGRANGE Negando una delle ipotesi del teorema: Nulla vieta che vi siano più punti (anche infiniti) in cui la tangente è parallela alla retta per AB In c la funzione non è derivabile Il grafico di questa funzione non ha punti in cui la tangente è parallela alla retta per AB
COROLLARIO DEL TEOREMA DI LAGRANGE 1 f è una funzione definita e continua in un intervallo [a, b] f (x) > 0 in (a, b) f è crescente in [a, b] (se f (x) < 0 f è decrescente) DIM.: se prendo due punti x1 e x2, con x1 < x2, si ha ( ) ( ) f x f x 2 x 1 ( ) ( ) ( ) f c f x f x 0 1 2 x 2 1
COROLLARIO DEL TEOREMA DI LAGRANGE 2 se f e g sono due funzioni definite e continue in un intervallo [a, b] e con la stessa derivata in (a, b) la funzione « f g » è costante in [a, b] DIM.: basta osservare che «f g» ha derivata nulla in (a, b)
COROLLARIO DEL TEOREMA DI LAGRANGE TEOREMA DELLA DERIVATA NULLA 3 f funzione continua e derivabile su un intervallo I f ′(x) = 0 ∀ ∀ x ∈ ∈ I f (x) = costante ∀ ∀x ∈ ∈ I f(x)=k DIM.: ∀ ∀ x ∈ ∈ I cioè f(x) si trova sempre alla stessa quota di f(a) ( ) x ( ) f x f a ( ) ( ) ( ) f c 0 f x f a a f (x)=0
FUNZIONE CRESCENTE DEFINIZIONE Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f f si dice monotona crescente su I se ∀ ∀ x1, x2∈ ∈ I , x1 < x2⇒ ⇒ f (x1) ≤ f (x2) f si dice monotona strettamente crescente su I se ∀ ∀ x1, x2∈ ∈ I , x1 < x2⇒ ⇒ f (x1) < f (x2)
TEOREMA DEL TEST DI MONOTONIA CONDIZIONE SUFFICIENTE f definita su I⊆ ⊆ dom(f ) ( I limitato o illimitato ) f derivabile su I f′(x) 0 ∀ ∀x ∈ ∈ I ⇔ ⇔f è CRESCENTE su I f′(x) 0 ∀ ∀x ∈ ∈ I ⇔ ⇔f è DECRESCENTE su I f (x) f (x) f ′(x) > 0 f ′(x) < 0
TEOREMA DEL TEST DI MONOTONIA COROLLARIO f è derivabile sull’intervallo I x0 I x0 è punto stazionario : f ′(x0) = 0 se f ′(x) ≥ 0 ∀ ∀ x < x0 f ′(x) ≤ 0 ∀ ∀x > x0 x0 è punto di massimo relativo per f se f ′(x) ≤ 0 ∀ ∀ x < x0 f ′(x) ≥ 0 ∀ ∀x > x0 x0 è punto di minimo relativo per f x0 è un punto di minimo relativo x0 è un punto di massimo relativo
TEOREMA DEL TEST DI MONOTONIA CONCLUSIONI Ammesso che x0 sia punto stazionario per f se f ′(x) < 0 ∀ ∀ x < x0 f ′(x) > 0 ∀ ∀ x > x0 f è decrescente prima di x0 f è crescente dopo x0 x0 è punto di MINIMO relativo f′(x0) = 0 se f ′(x) > 0 ∀ ∀ x < x0 f ′(x) < 0 ∀ ∀ x > x0 f è crescente prima di x0 f è decrescente dopo x0 x0 è punto di MASSIMO relativo se f ′(x) > 0 ∀ ∀ x \ x0 f ′(x) < 0 ∀ ∀ x \ x0 f non cambia di segno in I prima e dopo x0 x0 è punto di FLESSO
RICERCA DI MASSIMI E MINIMI PROCEDURA f: [a, b] si calcolano f(a) e f(b) si ricava f ′(x) e si risolve l’equazione f′(x) = 0 così da individuare eventuali punti stazionari x0 se x0 è punto stazionario MASSIMO MINIMO FLESSO ORIZZONTALE ASCENDENTE DISCENDENTE se non ci sono punti stazionari f(a) e f(b) sono punti di estremo assoluto altrimenti il valore di f in x0 va confrontato con f(a) e f(b) R e derivabile [a, b] R* si studia il segno di f in un I(x0) f x0 f f x0 f f x0 f f x0 f x0 è punto di:
RICERCA DI MASSIMI E MINIMI ESEMPIO f(x) = ??−?? con x [0, 2] f(0) = 0 e f(2)= ?/?? f ′(x) = ?−?2 + ?(−2?)?−?2 = (1-2x2) ?−?2 f ′(x) = 0 (1-2x2) =0 zeri: R zeri: x1,2= 1/2 solo + 1/2 [0,2] f x0 f f ′(x) 0 per (1-2x2) 0 1/ f( 1/2)= 1/ 2? > f(0)=0 f( 1/2)= 1/ 2? > f(2)= 2/?4 f f ( 1/2) è massimo assoluto f(0) è minimo assoluto 1/ 2 2 x x 1/ 1/ 2 2 x0 è punto di MASSIMO relativo
DERIVATA SECONDA DEFINIZIONE Se f′ è derivabile in x0 e si pone f′′(x0) è detta derivata seconda di f in x0 La funzione che associa ad x il valore f′′(x) è detta funzione derivata seconda Esempio f (x) = x3− 6x2− 1 f ′(x) = 3x2− 12x f ′′(x) = 6x − 12 si dice che f è derivabile due volte in x0 f f ( x ) ( x ) 0
CONVESSITÀ DEFINIZIONE Una funzione f si dice convessa in un intervallo I se presi comunque due punti x1 e x2 di I considerato il segmento di estremi P1 = (x1, f(x1)) e P2 = (x2, f(x2)), la parte del grafico di f corrispondente all’intervallo [x1, x2] sta tutta al di sotto di questo segmento concava convessa
CONVESSITÀ TEOREMA: CONDIZIONE DEL 1° ORDINE Una funzione derivabile e continua in un intervallo è convessa (concava) se e solo se la sua funzione derivata prima è crescente (decrescente) nell’intervallo f (x) = x2 m1=f (x1)<0 m3=f (x3)>0 f (x) = x2 m2=f (x2)=0 f ′(x) = 2x concava convessa f ′(x) = 2x CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE
CONVESSITÀ: CONDIZIONE DEL 1° ORDINE Se una funzione è convessa in (a, b) tangente alla funzione aumenta all’aumentare di x in (a, b) se e solo se la funzione derivata prima f è decrescente Se una funzione è concava in (a, b) tangente alla funzione diminuisce all’aumentare di x se e solo se la funzione derivata prima f è decrescente il coefficiente angolare della retta il coefficiente angolare della retta convessa concava f (xo) f (x1) f (xo) f (x1) xo x1 xo x1 CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE
CONVESSITÀ Dato una funzione derivabile in un intervallo è in esso crescente se e solo se la sua derivata prima è non negativa, segue TEOREMA: CONDIZIONE DEL 2° ORDINE Se una funzione è due volte derivabile in un intervallo, essa è convessa (concava) se e solo se la sua funzione derivata seconda è positiva (negativa) nell’intervallo ' ' f x f convessa in I ( ) x I 0 ' ' f x f concava in I ( ) x I 0
f(x)=(sin2(x))^2+cos(x) f(x)=sin2(x) + cos(x) se f(x) è convessa CRITERIO DI CONVESSITÀ f (x)=(-1+2*cos(x))* sin(x) f (x)=[-1+2cos(x)] sin(x) f (x ) è crescente f (x)=-cos(x)+2 cos(2 x) f (x)= - cos(x) + 2cos(2x) e f (x) è positiva
PUNTO DI FLESSO DEFINIZIONE Un punto del grafico di una funzione derivabile che congiunge due sue parti, l’una concava e l’altra convessa o viceversa, si dice punto di flesso DEFINIZIONE Se in un punto di flesso esiste la retta tangente, il flesso viene detto: • ORIZZONTALE la tangente nel punto di flesso è parallela all’asse x • OBLIQUO la tangente non è parallela a uno degli assi • VERTICALE la tangente è parallela all’asse y f ′(xo) = 0 f ′(xo) non FLESSO ORIZZONTALE FLESSO OBLIQUO FLESSO VERTICALE
PUNTO DI FLESSO TEOREMA (condizione necessaria) Una funzione derivabile due volte in un intervallo ha un punto di flesso in un punto xo interno a tale intervallo se ' ' f ( x ) 0 o
f ( x ) x5+x4-3x3 dove f (x)=0 f ' (x ) f(x) ha FLESSI ' ' f ( x )
PUNTO DI FLESSO OSSERVAZIONE f(x) = x6 ha come derivate: f (x) = 6x5 f (x) = 30x4 in x = 0 f (0) = 0 Segno della derivata prima: 6x5 > 0 per x > 0 quadro dei segni La derivata seconda è nulla in xo=0 ma nel punto c’è un minimo relativo e non un flesso il teorema fornisce una CONDIZIONE NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE
f ( x ) f(x) = x6 f ' (x ) in x=0 f (0) = 0 ma f (x)>0 sia per x<0 sia per x>0 ' ' f ( x )
PUNTO DI FLESSO TEOREMA (condizione sufficiente) Una funzione continua in un punto xo derivabile due volte in un intorno di xo con x xo se f (x) 0 per x xo e f (x) 0 per x xo ha un punto di flesso DISCENDENTE in xo f (x) 0 per x xo e f (x) 0 per x xo ha un punto di flesso ASCENDENTE in xo
f ( x ) se f (xo)=0 e il segno di f (xo) cambia f ' (x ) prima e dopo xo f(x) ha FLESSI ' ' f ( x )
DERIVATA DI ORDINE SUPERIORE DEFINIZIONE In maniera analoga a quanto fatto per la derivata seconda, si definisce la derivata terza di f in x0, se esiste, come la derivata prima in x0 della derivata seconda di f : f ′′′(x0) = (f ′′)′(x0) In generale, per k ≥ 1, la derivata di ordine k di f in x0 è f (k)(x0) := (f (k−1))′(x0) Per definizione si pone f (0)(x0) = f (x0), ovvero la derivata di ordine zero di una funzione è la funzione stessa Esempio ' 2 3 3 3 x 1 1 1 f(x) f x x ( ) 2 2x 2 ( 3 2 2 2 2 x ' ' f 3 ' ' ' f 4 3 x x x x ( ) 2 ( ) ) 3 2
DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE DEFINIZIONE Una funzione f si dice di classe Ck(con k ≥ 0) su un intervallo I se essa è derivabile k volte in I e se la funzione derivata k-esima di f, (f (k)(x)), è un funzione continua su I L’insieme delle funzioni di classe Cksu I è denotato con Ck (I ) C∞(I ) è l’insieme delle funzioni che sono derivabili un numero arbitrario (∞) di volte su I Esempio 1. f (x) = ex f (k)(x) = ex , k = 1, 2, ..... Qualunque sia k, la derivata f (k)(x) coincide con f che è una funzione continua su R, quindi f ∈ ∈C∞(R) 2. f (x) = √x I = [0,+∞): f ∈ ∈ C0(I ) in x = 0 f è definita, continua, ma non derivabile.
DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE TEOREMA (condizione sufficiente) f sia definita e continua in un intervallo [a, b] e di classe Cn sullo stesso x0 (a, b) e tale che: f (x0) = f (x0) = f (x0) =… = f(n-1) (x0) = 0 f(n) (x0) 0 in x0 si ha se la derivata n-sima è di ordine un se f (x0) < 0 un se f (x0) > 0 in x0 si ha se la derivata n-sima è di ordine un che è flesso orizzontale discendente se f(n) (x0) < 0 flesso orizzontale ascendente se f(n) (x0) > 0
STUDIO COMPLETO DI FUNZIONE OBIETTIVO Disegnare il grafico di una funzione y = f (x). PASSI DA SEGUIRE 1. Determinare il dom(f): x R per i quali si può costruire f(x) 2. Determinare eventuali simmetrie e periodicità 3. Punti di discontinuità asintoti verticali 4. Punti di frontiera del dominio 5. Calcolare la derivata prima e determinare il suo dominio, individuando e classificando eventuali punti di non derivabilità 6. Studiare il segno della derivata prima per individuare gli intervalli di monotonia (dove la funzione è crescente/decrescente) determinare i punti stazionari f (xo)=0 7. Calcolare la derivata seconda di f 8. Studiare il segno della derivata seconda per individuare dove la funzione è convessa/concava. Determinare, se esistono, i punti di flesso della funzione 9. DISEGNARE IL GRAFICO DI y = f (x) asintoti orizzontali o obliqui
