Tỉ số thể tích trong hình học không gian

1. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian I. PHẦN MỞĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học không gian thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây cũng là phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học – Cao đẳng những năm gần đây, vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, có khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán . Năm học 2014-2015 đã đến , với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian”. 2.MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Cung cấp cho học sinh một sốphương pháp ứng dụng của tỉ số thểtích để tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khảnăng phân tích tổng hợp, tư duy cao… 3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI -Khách thể nghiên cứu: học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung. -Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện -Phạm vi nghiên cứu: các bài toán tính thể tích khối đa diện có ứng dụng của tỉ số thể tích 4.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu sử dụng ứng dụng của tỉ số thểtích để tính thể tích khối đa diện có nâng cao chất lượng học sinh 5.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU -Tóm tắt một số nội dung quan trọng liên quan đến dạng toán tính thể tích khối đa diện. -Nghiên cứu ứng dụng của tỉ số thể tích -Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện bằng ứng dụng tỉ số thể tích 6.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phục vụđề tài GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 1 https://dethigdcd.net/

2. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian -Phân tích, tổng hợp,quan sát.. -Tổ chức thực nghiệm sư phạm: dạy học phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích. 7.ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề xuất cách tính thể tích khối đa diện bằng cách ứng dụng tỉ số của thể tích trong dạy học môn hình học 12 THPT 8.CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Gồm phần mởđầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo. Nội dung có 3 chương: -Chương I: Cơ sở lý thuyết -Chương II: Các dạng toán -Chương III: Thực nghiệm sư phạm II.PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụV =B.h , Khối chóp V = 1 B.h , Khối hộp chữ nhật V =abc , …)rồi cộng các kết quả lại. 3 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác địnhđượcđường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượtlấy các điểm A’,B’,C’ khác S. CMR: S.ABC V SA.SB.SC Giải: S.A'B'C' V SA'.SB'.SC' (1) = GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 2 https://dethigdcd.net/

3. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của A,A’ lên (SBC) A A' B S B' H' C' H C Ta có: AH // A’H’ 3 điểm S,H,H’ thẳng hàng. Xét SAH có: SA' SA A'H' AH (*) = Do đó: 1A'H'.S 3 1 AH.S 3 S.A'B'C' V V A'H' SB' SC' Sin(B'SC') . . AH SB SC Sin BSC SB'C' = = . (**) ( ) S.ABC SBC Từ (*) và (**) đpcm Trong (1) ,đặc biệt hóa cho B’ trùng B và C’ trùng C ta có: S.A'B'C' V V SA'(1') SA = S.ABC Ta lại có: = + SABC V S.A'BC V A'.ABC V SA' SA (1’)  = + S.ABC V .V A'.ABC V S.ABC GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 3 https://dethigdcd.net/

4. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian VA ‘.ABC =1− SA ‘= A ‘A VS . ABC SA SA Vậy:VA ‘.ABC = A ‘A VS . ABC SA Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây: Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n  3) , trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có A' .A A ...A V V Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2) CHƯƠNG II: Các dạng toán Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ sốthể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó DẠNG1: TÍNH TỈSỐTHỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐIĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉsố thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó V = 1 V ISCM 3 V 1 Vậy VS . ABCD 12 I Ví dụ2: B Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’,D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’)cắt SC tại C’. Tính tỉsố thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ O Ta có B C (2) A' A(2') SA = 1 1 1 1 2 n S.A A ....A 1 1 2 n = 1 . 1 .V = 1 . 1 . 1 V 3 2 2 S . ABCD A D B.SCM 3 2 D.SBC O ISCM =M C S C ' D' I O ' B' A D GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 4 https://dethigdcd.net/

5. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian VS. AB ' C ' = SB ' . SC ' = 1 SC ' VS . ABC SB SC 2 SCVS . ACD SC SD V +V Suy ra S . AB ' C ' 2 SC KẻOO’//AC’ ( O ' SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’= C’O’ = O’C VS . A ' B ' C ' D ' = 1 . 1 .V 2 3 S . ABCD VS . ABCD 6 VS. AC ' D ' = SC ' . SD ' = 1 SC ' 2 SC S . ABC S . ACD S . ABCD = 1 . SC ' (V +V ) = 1 . SC ' .V S . AC ' D ' 2 SC Hay VS. A' B ' C ' D ' = 1 Do đó * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉsốthể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từđó tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS:VH.MNP = 1 VS . ABC 32 Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng () qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SM để mặt phẳng () SC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS:SM = 3 − 1 SC 2 DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂTÍCH Ví dụ1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,BAD =ABC = 900 , AB =BC =a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: Áp dụng công thức (1) ta có S VS. BCM = SM = 1 VS .BCA SA 2 VS.CMN = SM . SN = 1 VS .CAD Suy ra 2a N M 2a D SA SD 4 a A B C GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 5 https://dethigdcd.net/

6. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian =VS .BCM +VS .CNM 2 a3 2a3 a3 =+= 2.3 4.3 3 = 1 V + 1 V S .BCA 4 VS .BCNM S .CAD Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thứcV = 1 B.h gặp nhiều 3 khó khăn, nhưng nếu dùng tỉsốthể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớiđáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a. Giải: Ta có VCMNP = CN . CP = 1 VCMBD VCMBD =VM . BCD = MB = 1 (b) A VCSBD VS .BCD SB 2 B Lấy (a) x (b) vế theo vếta được H N VCMNP = 1 V VS .BCD 8 Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥AD mà (SAD) ⊥(ABCD) nên SH ⊥(ABCD). Do đó VS .BCD= 1 .SH .S 3 a3 3 Vậy: V =(đvtt) CMNP 96 Ví dụ3: D Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc vớiđáy. Gọi M, N lần 2a N lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: A M a C Ta có VDAMN = DM . DN a a VDABC DB DC AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam B S (a) CB CD 4 M = 1 .V D P C CMNP 8 S .BCD 3 BCD= 1 . a 3 . 1 a2 = a 3 3 2 2 12 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 6 https://dethigdcd.net/

7. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có DM DA2 4a2 DM 4 === 4 = MB AB2 a2 Tương tự DN = 4 DC 5 4 4 Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = 5 5 25.VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = 1 a2 3 Mà VD.ABC = .2a. =. Vậy VA.BCMN = 3 4 6 50 DB 5 16 9 .VD.ABC 25 a3 3 3a3 3 (đvtt) Ghi chú: Ta có hệ thứclượng trong tam giác vuông ABC sau đâyb ' =b c b A 2 c' b' H C B ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) Ví dụ4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a. Giải: S Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó AI = 2  AI = 1 a AO 3 AC 3 nên VAIMN = AI . AM= 1 . 1 = 1 (1) VACDN AC AD Mặt khác VACDN = NC = 1 VACDS SC 2 B C Từ (1) và (2) suy ra VAIMN = 1 S VACDS 1 1 Mà V SACD 1 VAIMN= 12 .VSACD=(đvtt) 72 A B A M a 2 I D 3 2 6 a (2) O 12 a 2a a3 2 =a. 3 2 6 =. Vậy = .SA.S 3 ACD a3 2 M Ví dụ5: H Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H D C GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 7 https://dethigdcd.net/

8. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 4 Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: AH = a 2 , SH = a 14 , CH = 3a 2 , SC =a 4 4 4 Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. Ta có VS . ABC SA 2 1 1 a2 a 14 VS . ABC = 3 .SH .SABC = 6 . 2 . 4 = 48 2 SC =AC . Từ giả thiết ta tính được VS.MBC = SM= 1 V = 1 V S .MBC 2 S . ABC a3 14 (đvtt) ABC =BAD = 900 , CAD = 1200 , * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có AB =a, AC = 2a, AD =3a . Tính thểtích tứ diện ABCD. a3 2 ĐS:VABCD = 2 Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc vớiđáy và SA = 2a. Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a 16a3 ĐS:VS . A ' B ' C ' D ' = 45 Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS:VS .DMNP = a3 2 36 Bài4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụđã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 3a3 3 7a ĐS:VABC . A' B 'C ' =và R = 8 12 DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thểđược khắc phục nếu ta tính khoảng cách GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 8 https://dethigdcd.net/

9. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ Ađến mp(BCD). Giải: Ta có AB2 + AC2 = BC2 AB ⊥AC D 6 4 I Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 5 Nên BCDcân tại B,gọi I là trung điểm của CD SBCD= 1 DC.BI =2 2 2 Vậy d(A, (BCD)) = 3VABCD = 3.8 = 6 34 SBCD Ví dụ2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc vớiđáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) Giải: VS. HCD = SH VS .BCD SB SABvuông tại A và AH là đường cao nên H SH SA2 2a2 Ta có HB AB2 a2 2 2 1 a 2 Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. = 3 3 3 2 9 B C 1 Mà VS .HCD=d(H, (SCD)).S 3 SCDvuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), do đó S 2.2a =a2 SCD 2 2 Ví dụ3: Cho lăng trụđứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C Giải: ABCD= 1 AB.Ac.AD = 8cm2 Do đó V 4 52 − (2 2 )2 = 2 34 A C 3 5 2 34 17 B ABC =BAD = 900 , AD = 2a, S Ta có SH 2 D === 2 = SB 3 a a3 2 A 2a SCD . 3 = 1 CD.SC = 1 .a 2 . Vậy d(H, (SCD)) = 3a 2 = a 9a2 2 3 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 9 https://dethigdcd.net/

10. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên d(B’C;AM)= d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC . AEM = MC = 1 VC . AEB CB 2 1 1 1 a 2 a 2 VC . AEM=V = . . . = 2 Ta có d (C, ( AME)) = 3VC . AEM B' SAEM Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH ⊥AE E Hơn nữaBM ⊥(ABE) BM⊥AE , nên ta H được AE ⊥HM Mà AE = a 6 , 2 1 = 1 + 1 = 3 BH = a 3 BH 2 AB2 EB2 a2 3 a2 a2 BHMvuông tại B nên MH =+= 4 3 6 1 1 a 6 a 21 Do đó S AEM 2 2 2 6 8 3a3 2 a 7 Vậy: d (C, ( AME)) == 24. a 14 7 8 Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính Ví dụ4: Cho lăng trụABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC =a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm B' C' của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: A' Theo giả thiết ta có A’H⊥(ABC). 2a Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = 1 BC = a. 2 A ' H = A ' A2 −AH 2 =a 3 = 1 a A ABC 3 2 2 A a3 2 A' C' EACB 2 3 2 2 24 a 2 A a C ABEvuông tại B nên a M B a 21 a2 14 =AE.HM = . . = 2 SAEM A ' AH vuông tại H nên ta có B C a K H 3 a.a 3 a3 a 3 =. Do đó V '. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 10 https://dethigdcd.net/

11. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Mặt khác VA '.ABC = 1 VABC . A ' B ' C ' 3 = 2 V 3 3 2 Ta có d ( A ', (BCC ' B ')) = 3VA '.BCC ' B ' SBCC ' B ' Vì AB ⊥A'H A'B' ⊥A'H A'B'Hvuông tại A’ Suy ra B’H = a2 + 3a2 = 2a =BB ' . BB ' Hcân tại B’. Gọi K là trung điểm B ' K ⊥BH . Do đó B ' K = ABC . A ' B ' C ' 2 a 3 = .3. =a3 Suy ra VA '.BCC ' B ' BB '2 −BK 2 = a 14 của BH, ta có 2 SBCC ' B ' =B 'C '.BK = 2a. a 14 =a2 14 Suy ra 2 3a3 a2 14 14 d ( A ', (BCC ' B ')) == 3 14a Vậy * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụđứngABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ Ađến mp(IBC) ĐS:d ( A, (IBC )) = 2a 5 5 Bài2: Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ Mđến mp(AB’C) d ( A, ( AB 'C )) = a 2 ĐS: Bài3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), cách từ Ađến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b ĐS:d ( A, (BCD)) = ab a2 +b2 Bài4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ Mđến các mặt của tứ diện h +h ĐS: 1 2 3 4 SACB 3 ABC = 900 . Tính khoảng = 3VABCD =a 2 +h +h GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 11 https://dethigdcd.net/

12. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Bài5: Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ diện. CMR: r1 + r2 + r3 + r4 = 1 h1 h2 h3 h4 DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo công thứcS = 1 ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy. 2 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp,đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng ( AMN ) ⊥ (SBC ) Giải: S Gọi K là trung điểm của BC và I là trung điểm của MN. Ta có VS. AMN = SM . SN = 1 VS . ABC Từ( AMN ) ⊥ (SBC ) và AI ⊥MN(do AMNcân tại A ) nên AI ⊥ (SBC ) AI ⊥SI A Mặt khác, MN ⊥SIdo đó SI ⊥ ( AMN ) O K Từ (1)  SI .SAMN = 1 S SO.SABC 4 4 SI là trọng tâm của tam giác ABC) Ta có ASKcân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên AK = AS = a 3 SO = 2 6 1 a 15 a2 3 Và SI = 1 SK = a 2 Vậy S 2 4 AMN 4 6a 2 N (1) SB SC 4 I M C = 1 SO .S (O AMN ABC B SA2 −OA2 = a 15 a2 10 =(đvdt) 4 16 = . . 4 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 12 https://dethigdcd.net/

13. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụđứngABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 a2 +b2 ). Một mặt phẳng () qua A và vuông góc vớiCA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. a) Xác định thiết diện đó b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a) ab a2 +b2 +c2 ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN = 2c Bài2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc BAC =CAD =DAB = 900 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 1 = 1 + 1 + 1 AH 2 x2 y 2 z 2 b) Tính diện tích tam giác BCD ĐS: SBCD = 2 x y +y z+z x 1 2 2 2 2 2 2 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 13 https://dethigdcd.net/

14. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1.Mục đích thực nghiệm -Đánh giá tính khả thi của đề tài -Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết quả của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đểđánh giá giả thuyết khoa học của đề tài 2.Nhiệm vụ của thực nghiệm -Chọn lớp đối chứng và lớp thực nghiệm -Tổ chức triển khai nội dung -Xử lý, phân tích kết quả từđó rút ra kết luận 3.Đối tượng thực nghiệm Tiến hành dạy phần nội dung đã trình bày trên đối tượng là học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk. Hai lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồng nhau về ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc… 4.Phương pháp thực nghiệm -Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khóa biểu đểđảm bảo tính khách quan (bao gồm chính khóa và phụđạo). -Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1 -Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2 -Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước và sau khi tác động: 5.Kết quả thực nghiệm Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. Lấy kết quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Giáo viên sử dụng kết quả của bài kiểm tra này kết hợp nghiên cứu sử dụng phương pháp kiểm chứng T- test độc lập ở bài kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05). Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của cả hai nhóm và còn suy ra độ chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng trước tác động là không có ý nghĩa. Từ đó, có thể kết luận kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương đương nhau. Sau đó giáo viên lấy kết quả bài kiểm tra chung tiếp theo làm bài kiểm tra sau tác động. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 14 https://dethigdcd.net/

15. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Bảng: Giới tính và thành phần dân tộc và học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 của trường THPT Quang Trung Số học sinh các nhóm Dân tộc Lớp T. Số Nam Nữ Kinh Ê ĐÊ Khác Thực nghiệm 40 19 21 39 0 1 (12A1) Đối chứng 39 19 20 38 0 1 (12A2) - Ý thức học tập của học sinh : Đa số các em ở lớp 12 đều ngoan, tích cực tham gia các họat động học tập. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều học sinh còn trầm, chưa hòa đồng với các họat động chung. - Các em đều là những học sinh cuối cấp bậc trung học phổ thông nên xét trình độ là tương đương. - Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương. Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương Đối chứng 12A1 Thực nghiệm 12A2 TBC 4,40 4,48 P 0,4098 thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. p = 0,4098 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của 2 nhóm GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 15 https://dethigdcd.net/

16. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Bảng 2: Bảng thiết kế nghiên cứu: Tác động Kiểm tra Kiểm tra Nhóm trước tác động sau tác động Có ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A1 03 04 tính thể tích khối đa diện trong (TN) dạy học Không ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A2 01 02 tính thể tích khối đa diện trong (ĐC) dạy học Sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập. Bảng 3: Tổng hợp kết quả chấm bài. Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm (12A1) (12A2) Điểm trung bình 5.13 6.98 5.16 5.73 Độ lệch chuẩn 1.34 1.27 1.04 0.96 Giá trị P 0.8640 0.0001 SDM 1.047012 0.91 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 16 https://dethigdcd.net/

17. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian Biểu đồ so sánh kết quả trung bình giữa hai lớp trước và sau tác động. Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 3) trước tác động là hoàn toàn tương đương. Sau khi có sự tác động dạy phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích cho kết quả hoàn toàn khả quan (cột 2 và cột 4). Bằng phép kiểm chứng T- test để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình cho kết quả p = 0,0001 <0,05 cho thấy độ chênh lệch điểm trung bình giữa hai nhóm là có ý nghĩa. Điều này minh chứng là điểm trung bình lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động. Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD): SMD = 0,91 nên mức độ ảnh hưởng của tác động khi sử dụngđề tàitrong dạy học làm tăng kết quả học tập môn Toán cho học sinh lớp 12A1 trường THPT quang trung. Bảng 4. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình, khá, giỏikết quả của lớp thực nghiệm 12A1 Thang điểm Lớp 12A1 Tổng cộng Kém Yếu T. bình Khá Giỏi 40 0 12 18 7 3 Trước TĐ 100% 0% 30.00% 45.00% 17.50% 7.50% GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 17 https://dethigdcd.net/

18. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian 0 4 12 40 18 6 Sau TĐ 100% 0% 10.00% 30.00% 40.00% 20.00% Biểu đồ so sánh kết quả xếp loại trước và sau tác động lớp Thực nghiệm 12A1 6. Bàn luận - Kết quả cho thấy, điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối chứng, chênh lệch điểm số là 6.98-5.73 = 1.25. - Độ chênh lệch điểm trung bình tính được SMD = 0.91 chứng tỏ mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. - Mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn, p = 0,0001 < 0,05 chứng tỏ điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải ngẫu nhiên mà do tác động mà có. - Tác động đã có ý nghĩa lớn đối với tất cả các đối tượng học sinh: yếu, trung bình, khá. Số học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh khá tăng đáng kể. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 18 https://dethigdcd.net/

19. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trong giảng dạy nói chung, việc phân dạng và phân loại bài tập là vô cùng cần thiết, xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập phong phú, phù hợp với các đối tượng học sinh là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công hơn nữa. Việc sử dụng tỉsố thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ ra có nhiều ưuđiểm, giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sửdụng nhiều kiến thức của hình học không gian lớp 11. Tôi rất mong được hộiđồng chuyên môn góp ý, bổ sung đểđề tài này hoàn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh khối lớp 12, ôn thi THPT Quốc Gia trong Nhà trường. Hy vọng rằng, vớiđề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm một phương pháp nữađể giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT Quốc Giađạt được kết quả cao. Trong quá trình biên soạn đề tài, tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đượcsự góp ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn đểđề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Krông Păk , ngày 25/2/2015 Người viết Trần Anh Tuấn GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 19 https://dethigdcd.net/

20. Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉsốthểtíchtrong hình học không gian TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhàXBGD năm 2008 2.Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhàXBGD năm 2008. 3.Hình giải tích trong không gian-Võ Giang Giai- NXB GD 4.Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻnăm 2011; 2012. 6.Các Website về toán học hiện có… MỤC LỤC I.MỞĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2.MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI 3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 4.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 5.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 6.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 7.ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 8.CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 1 2 2 2 II.NỘI DUNG 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 14 19 III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 MỤC LỤC Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên: …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 20 https://dethigdcd.net/