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Juliana20
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  1. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas BC1419 - C´ alculo num´ erico - 3º (2016) UFABC 11 de Outubro de 2016

  2. Exemplo: A ´ unica solu¸ c˜ ao do problema de contorno 1 x2y(x) +1 x3,1 < x < 2, y(1) = 1, y(2) =1 y00(x) = 2 ´ e y(x) =1 x. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β.

  3. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. Exemplo: A ´ unica solu¸ c˜ ao do problema de contorno 1 x2y(x) +1 x3,1 < x < 2, y(1) = 1, y(2) =1 y00(x) = 2 ´ e y(x) =1 x.

  4. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. M´ etodo de diferen¸ cas finitas Fixado um n´ umero inteiro positivo n, estimar os valores da solu¸ c˜ ao y(t) nos pontos igualmente espa¸ cados a = x0< x1< x2< ... < xn= b, xi= x0+ ih,i = 1,2,...,n, h :=b−a n.

  5. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. O vetor de aproxima¸ c˜ ao yhpor diferen¸ cas finitas ´ e a solu¸ c˜ ao do seguinte sitema linear de equa¸ c˜ oes   ? ?   −r(x1) +α −r(x2) 2 + h2q(x1) h2 −1 0 0 . . .   2 + h2q(x2) −1 −1 0 . . .   ... ... ... ... 0 1 h2 × yh= ... ... ... ... ...   0   2 + h2q(xn−2) −1 −1 0 −1 0 −r(xn−2) −r(xn−1) + ? ? 2 + h2q(xn−1) 0 . . . β h2

  6. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. Convergˆ encia do m´ etodo de diferen¸ cas finitas Sob algumas hip´ oteses, vale que   y1− y(x1) y2− y(x2) ... yn−1− y(xn−1)  , K n2 ||Eh||∞ ≤ Eh :=

  7. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  8. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  9. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  10. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  11. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  12. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  13. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  14. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  15. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  16. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  17. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  18. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  19. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  20. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  21. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  22. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  23. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  24. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  25. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  26. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  27. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  28. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  29. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  30. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  31. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  32. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  33. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  34. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  35. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  36. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  37. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  38. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  39. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  40. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

  41. Projeto aplicado: resolu¸ c˜ ao de problemas de contorno por diferen¸ cas finitas Problema alvo: dadas duas fun¸ c˜ oes cont´ ınuas q e r, encontrar uma fun¸ c˜ ao suave y : [a,b] → R tal que y00(x) = q(x)y(x) + r(x), a < x < b, y(a) = α, y(b) = β. ?y(x) =1 ? 1 x2y(x) + 1 x3, y(1) = 1, y(2) =1 Exemplo: y00(x) = 2, x

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