Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN - GTNN

Phần thứ nhất : Đặt vấn đề 1,Lý do chọn giải pháp : Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và các đề thi học sinh giỏi . Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất đẳng thức . Điềunày dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức. Thực ra với một đề tài hay và khó này, lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản . nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể vượt qua chính bản thân mình ? Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn một cách trân trọng nhất ,nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều năm công tác giảng dạy , nghiên cứu về đềtài bất đẳng thức. Những con đường tư duy, những kỹ năng quan trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia sẻ . Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình nền kiến thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất đẳng thức cơ bản nhất . Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử dụng kiến thức đó nói cách khác là khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là vấn đề khác . Tập giải pháp này sẽ đưa ra các kỹ thuật các phương pháp giải cho từng dạng Toán . 2, Mục đích nghiên cứu : Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp giải 3, Nhiệm vụ nghiên cứu : Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" thức , lượng giác hoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng đạo hàm) 4, Phương pháp nghiên cứu : +Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất đẳng thức , đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số sách tham khảo khác . -Sử dụng các đề thi đậi học của 10 năm gần đây . Phần 2: Nội dung A : CƠ SỞ LÝ LUẬNVÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊNCỨU Chúng ta đang sống trong sống trong thời đại của sự bùng nổ tri thức khoa học và công nghệ. Xã hội mới phồn vinh ở thế kỉ 21 phải là một xã hội dựa vào tri thức, vào tư duy sáng tạo, vào tài năng sáng chế của con người. Trong xã hội biến đổi nhanh chóng như hiện nay, người lao động cũng phải biết luôn tìm tòi kiến thức mới và trau dồi năng lực của mình cho phù hợp với sự phát triển của khoa học và kĩ thuật. Lúc đó người lao động phải có khả năng tự định hướng và tự học để thích ứng với đòi hỏi mới của xã hội. Chính vì vậy, mục đích giáo dục hiện nay ở nước ta và trên thế giới không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho học sinh những kiến thức, kĩ năng loài người đã tích lũy được trước đây, mà còn đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ năng lực sáng tạo ra những tri thức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới sao cho phù hợp. Rèn luyện năng lực tự suy nghĩ và truyền thụ kiến thức cho học sinh là vấn đề quan trọng trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Để việc dạy và học đạt kết quả cao thì người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực 2 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" của học sinh, chọn lựa phương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp giúp học sinh vừa học tập, vừa phát triển nhận thức. Việc giải bài tập Toán không những nhằm mục đích giải toán, mà nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống. Trong quá trình dạy học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết. Để giúp học sinh khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp, sắp xếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và hướng dẫn cho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán.. 1.Những cơ sở lý luậncủa hoạt động giải bài tập Toánphổ thông 1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông 1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập: - Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, dựa vào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái đã biết. Thông qua hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa học. Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài tập Toán là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và ứng dụng chúng vào những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát triển được năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề. - Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư duy, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất Toán. Vận dụng kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những vấn đề thực tế của đời sống chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh. Vì vậy, việc giải bài tập Toán là phương tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh. 3 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán: 1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái khái quát của các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng. Trong bài tập, học sinh phải vận dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những trường hợp cụ thể rất đa dạng, nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện cụ thể của chúng trong thực tế. Ngoài những ứng dụng quan trọng trong kĩ thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy được những ứng dụng muôn hình, muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động. Khi giải bài tập, học sinh phải nhớ lại các kiến thức đã học, có khi phải sử dụng tổng hợp các kiến thức thuộc nhiều chương, nhiều phần của chương trình 1.1.2.2Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới Các bài tập nếu được sử dụng khéo léo có thể dẫn học sinh đến những suy nghĩ về một hiện tượng mới hoặc xây dựng một khái niệm mới để giải thích hiện tượng mới do bài tập phát hiện ra 1.1.2.3Giải bài tập Toán rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát Bài tập Toán là một trong những phương tiện rất quý báu để rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát đã thu nhận được để giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Có thể xây dựng nhiều bài tập có nội dung thực tiễn, trong đó học sinh phải biết vận dụng lý thuyết để giải thích hoặc dự đoán ở những điều kiện cho trước. 1.1.2.4Giải bài tập là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của học sinh Trongkhi làm bài tập, do phải tự mình phân tích các điều kiện của đầu bài, tự xây dựng những lập luận, kiểm tra và phê phán những kết luận mà học sinh 4 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" rút ra được nên tư duy học sinh được phát triển, năng lực làm việc tự lực của họ được nâng cao, tính kiên trì được phát triển. 1.1.2.5Giải bài tập Toán góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh Việc giải bài tập Toán đòi hỏi phải phân tích bài toán để tìm bản chất với mức độ khó được nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư duy. Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những kiến thức đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo. 1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh. Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân loại được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức của học sinh được chính xác. 2.Phân loại bài tập Toán : 2.2.Phân loại theo nội dung Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu Toán . Sự phân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới những kiến thức của những phần khác nhau trong chương trình Toán . Theo nội dung, người ta phân biệt các bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung cụ thể . - Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất được nêu bật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt. - Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức chế ở học sinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao. 5 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 2.3. Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy học sinh trong quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập nghiên cứu, bài tập thiết kế - Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy sáng tạo của học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với một loại bài tập nhất định đã được chỉ dẫn - Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số kiến thức đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ, không thể suy ra một cách logic từ những kiến thức đã học - Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao” - Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như thế nào”. 2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành - Bài tập bài khoa - Bài tập lựa chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu trả lời cho sẵn (test). Loại này có hạn chế là không kiểm tra được con đường suy nghĩ của người giải nhưng vẫn có hiệu quả nhất định trong việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ năng,kĩ xảo của học sinh 2.5. Phân loại theo hình thức làm bài 2.5.1.Bài tập tự luận: đó là những bài yêu cầu học sinh giải thích, tính toán và hoàn thành theo một logic cụ thể. Nó bao gồm những loại bài đã trình bày ở trên. 2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan: là loại bài tập cho câu hỏi và đáp án. Các đáp án có thể là đúng, gần đúng hoặc sai. Nhiệm vụ của học sinh là tìm ra câu trả lời đúng nhất, cũng có khi đó là những câu bỏ lửng yêu cầu điền vào những chỗ trống để có câu trả lời đúng. Bài tập loại này gồm: 6 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" - Câu đúng –sai: câu hỏi là một phát biểu, câu trả lời là một trong hai lựa chọn - Câu nhiều lựa chọn: một câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học sinh tìm câu trả lời đúng nhất - Câu điền khuyết: nội dung trong câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ ngữ hoặc công thức đúng vào chỗ bị bỏ trống - Câu ghép hình thức: nội dung của các câu được chia thành hai phần, học sinh phải tìm các phần phù hợp để ghép thành câu đúng 3.Phương pháp giải bài tập Đốivới học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó khăn vì học sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thứcToán . Vì vậy các em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ ràng, áp dụng công thức máy móc và nhiều khi không giải được. Có nhiều nguyên nhân: - Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán. Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm bảo đi đến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết. Nó không những giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận logic, làm việc một cách khoa học, có kế hoạch. Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài tập, xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện cụ thể của bài tập đã cho. Từ đó tính toán những mối liên hệ đã xác lập được để dẫn đến lời giải và kết luận chính xác. Sự nắm vững những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên định hướng phương pháp dạy bài tập một cách hiệu quả. Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú. Vì vậy không thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng 7 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" để giải được tất cả bài tập. Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra một dàn bài chung gồm các bước chính như sau: 3.1. Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện - Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện. - Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?. 3.2. Xây dựng lập luận Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện đã cho. Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế nào, qua công thức. 3.2.1Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây dựng lập luận để giải: - Phương pháp phân tích: xuất phát từ ẩn số cần tìm, tìm ra mối liên hệ giữa ẩn số đó với một đại lượng nào đó theo - Phương pháp tổng hợp: xuất phát từ dữ kiện đã cho của đầu bài, xây dựng lập luận hoặc biến đổi công thức diễn đạt mối quan hệ giữa các dữ kiện đã cho với các đại lượng khác để tiến dần đến công thức cuối cùng có chứa ẩn số và các dữ kiện đã cho. 3.2.2Đối với bài tập định tính: ta không cần tính toán nhiều mà chủ yếu sử dụng lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Toán để giải thích hoặc dự đoán khả năng xảy ra. 3.4.Kiểm tra, xác nhận kết quả và biện luận - Từ mối liên hệ cơ bản, lập luận giải để tìm ra kết quả. - Phân tích kết quả cuối cùng để loại bỏ những kết quả không phù hợp với điều kiện đầu bài tập hoặc không phù hợp với thực tế. Việc biện luận này cũng là một cách để kiểm tra sự đúng đắn của quá trình lập luận. Đôi khi, nhờ sự 8 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" biện luận này mà học sinh có thể tự phát hiện ra những sai lầm của quá trính lập luận, do sự vô lý của kết quả thu được. 4. Xây dựng lập luận trong giải bài tập Xây dựng lập luận trong giải bài tập là một bước quan trọng của quá trình giải bài tậpToán . Trong bước này, taphải vận dụng những định lý, những quy tắc, những công thức để thiết lập mối quan hệ giữa đại lượng cần tìm, hiện tượng cần giải thích hay dự đoán với những dữ kiện cụ thể đã cho trong đầu bài. Muốn làm được điều đó, cần phải thực hiện những suy luận logic hoặc những biến đổi toán học thích hợp. Có rất nhiều cách lập luận tùy theo loại bài tập hay đặc điểm của từng bài tập. Tuy nhiên, tất cả các bài tập mà ta đã nêu ra trong mục phân loại bài tập ở trên đều chứa đựng một số yếu tố của bài tập . Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luậnđể giải bài tập đó. 5.1 Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán 5.1.1 Hướng dẫn theo mẫu 5.1.2. Hướng dẫn tìm tòi 5.1.3. Định hướng khái quát chương trình hóa: 6. Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán 6.1. Lựa chọn bài tập Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau: - Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượng các đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phương pháp giải các loại bài tập điển hình. - Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức. - Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài tập có nội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa 9 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" hoặc thiếu dữ kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể của bài tập mà giáo viên không nêu lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó mà thôi. ➢Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các quá trình tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều yếu tố thành một đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu. Bài tập giả tạo thường là bài tập định lượng, có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các công thức để tính đại lượng nào đó khi biết các đại lượng khác có liên quan, mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được. 6.2. Sử dụng hệ thống bài tập: - Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạy học: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh. - Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua các biện pháp sau + Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh khác nhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải quyết, phạm vi và tính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao tác tư duy logic và các phép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ các kiến thức, kĩ năng cần huy động. + Biến đổi mức độ yêu cầu về số lượng bài tập cần giải, về mức độ tự lực của học sinh trong quá trình giải bài tập. B:CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nói riêng và bất đăng thức nói chung là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập bộ mônToán ở THPT.Trong các đề thi môn Toán của các 10 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" kì thi vào đại học,cao đẳng trong những năm gần đây.Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có mặt và thường là một trong những câu khó nhất của đề thi. Với lí do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp về chủ đề này luôn thu hút sự quan tâm và chú ý của bạn đọc.trong sáng kiến giáo dục ”Một vàiphương pháp chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất “ này, tôi sẽ cung cấp chocác đồng nghiệp và các em học sinh những cách giải thông dụng nhất đối với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,cũng như biết cách áp dụng bài toán này để giải các bài toán liên quan đến nó. Nội dung của giải pháp được trình bày trong 5 chương: Chương I: Đưa ra 1: Những kỹ năng quan trọng cần nhớ trong việc chứng minh bất đẳng thức. 2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm giá trị lớn nhất -nhỏ nhất của hàm số . Chương II: Với tiêu đề ‘’Vài bài toán mở đầu vềchứng minh bất đẳngthức và giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số’’sẽ giới thiệu với bạn đọc bài toán tìmgiá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thông qua việc trình bày tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán này.Bằng cách điểm lại sự có mặtcủa các bài thi về chủ đề này có mặt trong các đề thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng trong nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiết của việc phải trang bị cho mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy.Các phương pháp cơ bản và thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số được trình bày từ chương 2 đến chương 4 Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. ChươngIV:Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 11 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. ChươngI: 1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức : 1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất : Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định luật bảo toàn khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định luật bảo toàn dấu bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều hướng tiếp cận nhưng chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo toàn”được dấu bằng trong quá trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không bảo đảm được dấu bằng thì lời giải đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu hơn Lời VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có +  2 2 4 4 a b ab giải đúng:sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng +  2 2 2x x y y Ta có: +  = 2 2 4 2 .2 a b 4a a b b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b Hướng giải sai ,ta có Sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số +  2 2 2x x y y + = + ) 3 +  + 2 2 2 2 2 2 4 ( 2a 3 a b a b b b b Vì sao chỉ cần nhìn thấy dòng này ta biêt ngay hướng giải sai? Bởi nếu đánh giá như vậy dấu bằng xảy ra khi a=b,trong khi vơi bất đẳng thức gốc dấu bằng xảy ra khi a=2b.Và như tôi đã nói ở trên khi dấu bằng không được bảo toàn thì chứng minh của chúng ta chắc chắn không còn hi vọng đúng 12 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Ở góc đọ người chấm thi họ thường có tâm lí ngại đọc một lời giải dài khi ấy mà nhìn thoáng qua lại có một đánh giá nào đấy không bảo toàn dấu bằng hắn sẽ rất thích thú và không đọc cụ thể nữa.Bởi lời giải này chắc chắn sai rồi Ở góc độ người làm bài chỉ điểm thuận lợi là khi dự đoán được dấu đẳng thức ta có thể tránh được rât nhiều những “Hướng đi tới ngõ cụt”, từ đo tối ưu hóa hiêu quả và thời gian làm bài. Chính bởi tính bắt buộc của định luật bảo toàn dấu bằng là một vấn đề đáng quan tâm nhất khi giải bài toán bất đẳng thức và cực trị.Thong thườngchúng ta sử dụng kx thuật chon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán. 1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức: Chắc chắn bạn sẽbăn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh yếu? Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan trọng trong việc giải toán bất đẳng thức. Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất đẳng thức nào có thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận biết được trong một nhóm bất đẳng thức cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn. Thông thường,bất đẳng thức càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại. Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp đói với học sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một hệ quả quan trọng suy ra từ định nghĩa: Hệ quả: Nếu từ bất đẳng thức 1 suy ra được bất đẳng thức 2 nhưng từ hai ta không thể suy ngược lại 1 thì ta nói bất đẳng thức 1 mạnh hơn bất đẳng thức 2 Ví dụ 1:Ta có chuỗi bất đẳng thức dạng A   B C Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận: -Bất đẳng thức B mạnh hơn bất đẳng thức A C   C 13 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" - A  và B là bất đẳng thức có thể so sánh được với nhau  C B Ví dụ 2:Chứn minh 3>1 Ta chỉ có thể chứng minh 3>2,2>1.Tuy nhiên nếu ta đánh giá 3>0 thì cần phải chỉ ra 0>1,tuy nhiên bất đẳng thức này bị ngược dấu Như vậy trên thực tế khái niệm mạnh yếu còn giúp còn giúp ta thấy được sai lầm mình phải mắc cụ thể là ở bước nào. 1.3Biến đổi tương đương Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó là kĩ năng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng thức thu được sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu đúng thì bất đẳng thức sau thu được cũng sẽ đúng.Tức đọ chặt chẽ của bài luôn được bảo toàn.Để dễ hình dung ta xết ví dụ sau:Để chứng minh 4>2,chia cả 2 vế cho 2;ta chỉ cần chứng minh tương đương 2>1 Tóm lại biến đổi tương đương cụ thể là thé nào?Ta dùng nó trong trường hợp gì mục đich ra sao?Xét ví dụ đẻ hiểu hơn 2 2 a b b + Cho a,b>0 chứng minh răng: +  2 2 2 a b Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với − + 2 2 2a + ( ) a b a a b b a hay (luôn đúng với a,b>0    0 2 2 2 2 a b ( ) b Vậy biến đỏi tương đương là quá trình sử dụng một hoắc nhiều những phép toán đại sốđể đưa bất đẳng thúc đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh giá trở nên thuận lợi hơn. Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu số,thêm bớt....Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng đồng bậc hoá, 14 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa : - Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó. Ví dụ: +) 2x 3 0 + là một bất đẳng thúc bậc hai vì hạng tử xcó số mũ cao nhất + 2 2 x trong đó Một bất đẳng thức được gọi là đòng bậc nếu có dạng ( , f x x ...., ) 0 x 1 2 n xlà một đa thức đòng bậc ( , f x x ...., ) 1 2 n Ví dụ: +)2 là một bất đẳng thức không đong bậc vìnó có thể viêt lại  + 2 3 a b 2 2 6 a b a thành f(a,b)= với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5 + − 2 2 6 a b 2 3 a b 2 0 a 2:Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số : Đinh nghiã 1:xét hàm số f(x) với x .Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của  D hàm số trên D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau: 1. ( ) f x    , M x D ,sao cho 2. Tồn tại . khi đó ta kí hiệu  = = max ( ) x D  ( ) M f x 0x D f x M 0 Định nghĩa 2: Xét hàm số f(x) với x . Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của  D f(x) trên D , nếu như thỏa mãn các điều kiện sau 1. ( ) f x m x    ( ) f x D sao cho 2. Tồn tại  = ( ) f x 0x D m 0 khi đo ta kí hiệu = min ( ) x D  m f x Như vậy định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều có hai phần. Cần lưu ý rằng cả hai phần đều quan trọng như nhau, không được xem nhẹ phần hai. 15 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Xét ví dụ sau đây: Cho x>0,y>0 và =Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: + 2 2 1 x y         1 y 1 x = + + + + + (1 ) 1   (1 ) 1   P x y     +              1 x 1 y x y y x  Xét phép giả sau đây: = + + + + + 2 P x y 1 x 1 y x y y x ta có  +  +  + 2; 2; 2 x y P  vậy minP=8 từ đó suy ra 8 Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất. Ta xem xem phần 2 có thỏa mãn hay không. Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi P tức là đó = vậy không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức + 2 2 2 8 x y phần hai về định nghĩa giá trị nhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8 là sai Cách giải đúng như sau: Viết lại S dưới dạng: 1 y 1 x x y y x = + + + + + + + 1 1 S x y     +                    1 2 1 1 1 2  1 y x y y x = (1) + + + + + + + 2 x y 2 x y x 1 1 Ta có (2) +  +  2; 2; x y 2 2 x y x y y x  (3) + 2 1 x 1 y 2 xy mặt khác: 1 1 (4) +  x+ 1 x 1 y 2 + Do nên từ (4) ta có: (5) +  +  = 2 2 2 2 2 x y xy 2 2 x y 2 16 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" + (6) Từ (1) (2) (3) (5) suy ra S  3 2 4 Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5) 2  = = x y 2 x ythỏa mãn = và + khi Như vậy tồn tại ( S = = = + 2 0 2 0 3 2 4 0) ; 1 x x y y x y 0; 0 0 + theo định nghĩa về giá trị nhỏ nhất ta có minS 3 2 = 4 Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thể dẫn tới sai lầm. 2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó A  B Giả sử tồn tại ax ( ); ax ( );min ( ); ax ( ) x A x B   m f x m f x f x m f x x A  x B  A khi đó ta có ax ( )  ax ( ) x B  m f x m f x x A  min ( )  min ( ) x B  f x f x x A  Chứng minh:ta chứng minh 1  .Do  mà A nên  . Giả sử =  ax ( ) x D  ( ), m f x f x x A B 0x A 0x B 0 0 Ta có đpcm  ( ) ax ( ) x D  f x m f x 0 Tính chất 2:Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn   điều kiện ( )  ( ) g x f x x D Giả sử cùng tồn tại ax ( ); ax ( ) khi đó ta có ax ( )  ax ( ) x D  m f x m g x m f x m g x x D  x D  x D  Chứng minh: Giả sử với =  ax ( ) x D  ( ) m g x g x 0x D 0 ta có f(x)      ( ) f x ( ) g x ( ) g x x D 0 0 Do 17 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" đpcm   = ax ( ) x D  ( ) ( ) ax ( ) x D  m f x f x g x m g x 0 0 Tính chất 3: Giả sử f(x) xác định trên miền D và =  D D D 1 2 giả thiết tồ tại ax ( ),min ( ) x D  = 1,2 m f x f x I x D   i i Khi đó ta có công thức sau:   (1) = ax ( ) x D  ax ax ( ); ax ( ) x D   1 m f x m m f x m f x x D  2 1  (2) = min ( ) x D  minmin ( );min ( ) x D  f x f x f x x D  2 Chứng minh: Ta chứng minh 1. vì nên theo tính chất 2 ta có  = , 1,2 i D D I (3)   max ( ) x D  từ (3) suy ra  max ( );max ( ) x D  max ( ) x D   x D f x f x f x f x x D  1 1 2 (4)  ax ( );max ( ) x D  max ( )  m f x f x f x x D  1 2 1  Giả sử = ax ( ) x D  ( ); m f x f x x D 0 o Vì 0xphải thuộc về ít nhất 1 trong 2 .Do vậy =      , D D D x D x D D 1 2 0 0 1 2 .theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có tập.Từ đó có thể cho là  x D 0 1 (5)  ( ) f x ax ( ) x D  m f x 0 1   (6) Hiển nhiên  ax ( ) m f x ax ax ( ); ax( ) x D   x D m m f x m x x D  1 2  (7) Từ 5,6 suy ra =  ( ) ax ( ) x D  ax ( ); ax ( ) m f x m   x D f x m f x f x 0 x D  1 1 2  Bây giờ từ (4) (7) ta có =  ax ( ) x D  ax ax ( ); ax ( ) m f x m  dpcm m f x m f x x D  1 2 Nhờ tính chất 3 nói tren cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy bài toán trên các miền đơn giản. 18 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ. Ví dụ minh họa: Cho x  , +   0 0, 6 y x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = − − 2(4 x y ). P x y    y =   +  ( ; ): x y 0; 0; 6 D x y x y Đặt  ( ) =    +  ; : 0; 0;4 6 D x y x y x 1   =   +  ( ; ): x y 0; 0; 4 D x y x y 2 Khi đó rõ ràng =  D D D 1 2 Theo nguyên lý phân rã, ta có:  x y D x y D  (1) = ax  ax ax ; ax m P m  m P m P x y D  , , , 1 2  vì x  , y  nên . với mọi   − − ( ; ) x y   P  ( ; ) x y 4 0 0 0 0 D x y D 1 1 và khi đó P=0, nên = (2) Lại có (2;2)  D ,max  0 x y DP 1 1 thì 4 − −  nên theo bất đẳng thức Cô si ta có : với mọi  ( ; ) x y 0, D x y 2 4           x x + + + − − (4 ) y x y 2 2 ( ) hay = − −     2 (4 ) 4 4 ; P x y x y P x y D 2 4 = =   2 1 x y x Mặt khác từ = = − −  4 y x y 2 Rõ ràng (2;1) = (3)   D ,ax x y D  4 m P 2   = Từ (1) (2) (3) suy ra = ,ax x y D  ax 0;4 m 4 m P Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại ax ( );min ( ) . m f x f x x D  x D  ;min ( ) x D  Khi đó ta có ax ( ) = − − = − − min( x D  ( )) f x ax( x D  ( )) f x m f x f x m x D  19 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Chứng Minh : Giả sử = ax ( ) x D  M m f x  =      ( ) ( ) f x f x M x M x D D Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hám số ta có  , 0 0 −  − M x   = −    ( ) f x − D từ hệ suy ra ( ) f x M 0 Theo định nghĩa gía trị nhỏ nhất  − = − min( x D  ( )) f x M Như vậy ax ( ) đpcm = − − min( x D  ( )) f x m f x x D  Tính chất 5: Cho hàm số cùng xác định trên miền D. . Đặt + + ( ) ( ),..... f x ( ) f x f x 1 2 n Giả sử tồn tại ax ( ),min ( ) ax x D   = ( ),min f x ( ) , m f x f x m f x i i n i i x D  x D  x D  (1) Khi đó ta có  + ( ) ...... f x + + ax ( ) x D  ax  ( ) ax  ax  ( ) m f x m f x m m f x 1 2 n x D x D x D (2)  + ( ) .... min f x + + min ( ) x D  min x D  ( ) min x D  ( ) f x f x f x 1 2 n x D  sao cho Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D max x  =  = ( ) f x ( ), 1, f x i n 0 i i D sao cho Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D min x  =  = ( ) ( ), 1, f x f x i n 1 0 i D Chứng minh: Ta chứng minh 1 lấy tùy ý x D  .Theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có: 20 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" (3)   = ax  ( ), f x 1. f m i n i i x D Cộng từng vế bất đẳ thức n ta có : (4) + +  + + ( ) ( ),..... f x ( ) ax D  ( ) ...... f x ax D  ( ) f x f x m m f x 1 2 1 1 n n x x i i   nên ta có: Vì bất đẳ thức (4) đúng x D (5)  + + ax ( ) x D  ax D  ( ) ..... f x ax D  ( ) m f x m m f x i n x x i i Vậy (5) đúng. Bây giờ xét khả năng có dấu bằng trong (1) mà = f x (6) Giả sử tồn tại  + + = + + ( ) ax  ( ) ..... f x ax  ( ) ( ) ...... f x ( ) f x 0x D m m f x 0 1 0 0 i n n x D x D Do , nên từ (6) suy ra  ( ) f x ax ( ) x D  m f x 0 (7) ( ) ...... f x + +  ax  ax  ( ) ax ( ) x D  m m f x m f x 1 n x D x D Từ (5)(7) suy ra trường hợp này xảy ra dấu bằ trong (1) Ví dụ minh họa: 2 2              1 1 k = + + +   2 2 ( ) f x os c sin , ( ) x x x k Z 2 2 os c sin 2 x x Viết lại f(x) dưới dạng sau: 1 2 − 2 1 sin 2 x       1 1 1 2 = x c + + + + 4 1 = − + + 4 4 2 ( ) f x sin os sin 2 4 x x 4 4 4 4 sin os c sin os x x xc x 1 2 − 2 1 sin 2 x 1 2 = − + = + + 2 5 sin 2 16 5 ( ) g x ( ) h x x 4 sin 2 x 1 2 − 2 1 sin 2 x 1 2 với ( ) = = g x =− 2 ( ) g x sin 2 ; ( ) 16 x h x 4 sin 2 x 21 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" min min 1 2 (2) Dễ thấy = − = ( ) g x ; ( ) h x 8   k k   x x 2 2  1. ( ) 2h x k mà g( 0x )= = Do tồn tại  − 8 x 0 0 2 0x mà ( ) Tức là tồn tại = = = ( ) min ( ); ( k x  ) min ( ) k x  g x g x h x h x g x 0 0 o   2 2 Vì lẽ đó theo tính chất 5, ta có: 1 2 25 2 = + + = − 8 5 + + = min k x  ( ) f x min ( ) k x  min ( ) k x  5 g x h x    2 2 2 Tính chất 6:Giả sử f xcùng xác định trên miền D, và ta có ( ), f x f x ( ),....., ( ) 1 2 n Giả thiết thêm tồn tại     = ( ) 0 , 1, . max x D  ( ),max f x ( )......,max f x ( ) if x x D i i f x 1 2 n x D  x D  . cũng như min x D  ( ),.....min f x ( ) f n 1 n x D  f x .Khi đó ta có: Đặt f(x)= ( ), f x f x ( )... ( ) 1 2 n           (1)  max x D  ( ) max x D  ( ), f x max x D  ( ), ... max f x     ( ), f x f n 1 2 n x D            (2)  min x D  ( ) min x D  ( ), f x min x D  ( ), ... min f x     ( ), f x f n 1 2 n x D  sao cho Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D min x  =  = ( ) f x ( ), f x 1, i n 0 i i D sao cho Tương tự dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D min x  =  = ( ) f x ( ), f x 1, i n 0 i i D Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh của tính chất 5 22 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Tính Chất 7:Giả sử f(x)và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D. Đặt h(x)=f(x)-g(x).Giả sử tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x),g(x),h(x) (1) trên D. Khi đó ta có:max  − ( ) max x D  ( ) max ( ) x D  h x f x g x x D  min x D (2)  − ( ) min x D  ( ) min ( ) x D  h x f x g x  sao cho Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D = = max x D  ( ) ( );min f x ( ) ( ) g x f x g x 0 0 x D  sao cho Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D = = min x D  ( ) ( );max f x ( ) ( ) g x f x g x 0 0 x D  Chứng minh:Ta chỉ cần chứng minh (1) . Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)) Theo tính chất 5 ta có ax  a ax  m x m x x  m x (3)  + − ( ) ( ) f x ( ( )) g x h x D D D Theo tính chất 2 ta có (4) − = − max( x D  ( )) g x min ( ) x D  g x Thay (4) vào (3) ta có . Vậy (1) đúng.  − max x D  ( ) max ( ) x D  min ( ) x D  h x f x g x Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại  0x D sao cho ta có: = − = − max ( ) x D  ( );max( f x ( )) g x ( ). g x f x 0 0 x D  Nhưng đó  − = − − = −  = max( x D  ( )) g x ( ) g x min ( ) x D  ( ) g x min ( ) x D  ( ) g x g x g x 0 0 0 là đpcm. 23 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Tương tự ta có tính chất sau Giả sử f(x),g(x) là các hàm số xác định và dương khi x .Đặt  D ( ) ( ) g x f x và giả thiết tồn tại các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của = ( ) h x các hàm số h(x),f(x),g(x) trên D. Ta có max x D  ( ) f x (1)  max x D  ( ) h x min x D  ( ) g x min x D  ( ) f x (2)  min x D  ( ) h x max ( ) x D  g x sao cho Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại = 0x D = = max ( ) x D  ( );min f x ( ) ( ) g x f x g x 0 0 x D  sao cho Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại = 0x D = = min ( ) x D  ( );max f x ( ) ( ) g x f x g x 0 0 x D  Tính chất 8: 1. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D.Khi đó với mọi n nguyên dương ta có ( ) ( ) + + = = 2 1 2 1 n n max ( ) x D  max x D  ( ) ;min ( ) x D  max x D  ( ) x f x f x f x f + + 2 1 2 1 n n   .Khi đó với mọi n nguyên dương, ta có : 2.Nếu thêm vào giả thiết f(x) x D ( ) ( ) . = = 2 2 n n max ( ) x D  max x D  ( ) ;min ( ) x D  min x D  ( ) x f x f x f x f 2 n 2 n Chứng minh tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức. 24 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9 như sau: ( ) ( )    thì Nếu ( ) 0 f x = = 2 2 max ( ) x D  min x D  ( ) ;max ( ) x D  min x D  ( ) x f x f x f x f x D Điều này rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức với dấu giá trị tuyệt đối Xét ví dụ minh họa sau đây: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x)= 1 sin  + + 1 cos , + x x x R do f(x)>0 x   , nên theo tính chất 9 ta có R ( ) ( ) (1) = = 2 2 max ( ) x D  max x D  ( ) ;max ( ) x D  max x D  ( ) x f x f x f x f Ta có 2 (sin = + + cos ) 2 1 (sin x + + + cos ) sinxcos x + 2( ) x f x x x − 2 1 t Đặt = +  = −   sin os x c sinx cos à có v 2 2 t x x t 2 − 2 1 t Xét hàm số f(t) + , với = + + + + = + + −   2 2 1 2 2 | 1| 2 2 t t t t t t 2 ta có bảng biến thiên: t 1 − 2 2 ( ) ( ) F(t) − + − − + + 1 2 2 2 1 2 2 2 t t F'(t) 2 1 + − 1 2 F'(t) + − F(t) 25 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"   ( ) Vậy = = − max ( ) x R  max  ( ) ax ( 2); ( 2) f f x f t m f | | t 2 Từđó suy ra max f (t) =3 và min f(t)=-6 Bình luận : Tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất cũng thể hiện rõ qua ví dụ này. Chương II Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất: Bài toán 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối B) Cho hàm số y = x + .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này 4 x − 2 trên miền xác định của nó. Hướng dẫn giải Cách 1:(phương pháp bất đẳng thức) Hàm sốđã cho xác định khi 2  . −  2 x   Ta có x  − ; −    − 2 4 0 2;2 2 x x   Do đó ( ) f x − , (1)   − 2;2 2 x Lại có ( 2) f − = -2 (2) Từ (1),(2) suy ra min ( ) − f x = 2   Ta sẽ chứng minh ( ) (3)   − f x  2;2 2 2 x Thật vậy (3) −  + −   −  2 2 4 2 2 4 2 2 x x x x (do x  ) +   −  −  − 2 2 2 2 4 2 4 0 4 (2 2 ) 2 x x x x  (4)  − 2 ( 2) 0. x   Từ (4) suy ra (3) đúng.Như vậy ta có ( )   − f x  2;2 2 2 x 26 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Lại có ( 2) ,nên . = = 2 2 2 2 ( ) f x f ax x m −   2 2 Nhận xét: 1.cách giải trên hoàn toàn dựa vào bất đẳng thức,nên người ta thường được gọi là phương pháp bất đăng thức. 2.Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải như sau: Theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có:   ) (1   = −  + − + 2 2 2 2 2 2 ( .1 x 4 .1) (4 1 ) x x x (5)  + −  2 4 2 2 x x Dấu bằng trong(5) xảy ra  = −  = 2 4 2 x x x Vậy maxy =  = 2 2 x Cách2:(phương pháp chiều biến thiên trên hàm số) Xét hàm số với 2  = + − −  2 ( ) f x 4 2 x x x − − 2 4 x − x − x Ta có = − = '( ) 1 f x 2 2 4 4 x x Rõ ràng khi 2 thì '( ) f x  −   0, 0 x Xét khi 0 ta có − − 4 2 = −   2 2 2 (4 ) 2, x x x x Do  khi 0 và  khi 2  ,nên ta có bảng    4 2 − 4 2 − 2 2 2 2 0 0 x x x x biến thiên sau: x -2 0 2 2 ( ) x + + 0 − ' f ( ) f x 2 2 27 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Từđó suy ra = = ( ) f x ( 2) 2 2 f ax x m −   2 2   =− = ( 2); (2) − = min( 2;2) − ( ) f x min 2 f f min −   2 2 x Nhận xét:Tên gọi của phương pháp hoàn toàn phản ánh đúng qua cách giải vừa trình bày ở trên. Cách 3:(phương pháp lượng giaics hóa) Xét hàm số với 2  = + − −   −   −  2 ( ) f x 4 2 2 2 2 2 x x x x x  −  Do 2  ,nên đặt với =     −  2 2sin x x 2 2 Từđó ta quy về xét hàm số ( )  =  + 4(1 sin −  =  +  =  +  2 2 2sin ) 2sin 4cos 2sin 2 os c F  −  2sin = (do khi thì os c   )  +     2cos 0 2 2  =2 2 os(  − ) c 4      3 Do −     −  −   2 2 4 4 4 Từ −      2 đó suy ra     −  os c 1 2 4   ,  −  F   −    2 ( ) 2 2 2 2       ( )  =     − =   =  = 2 2 os c 1 2 F x 4 4 28 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"  −        2 3 Vậy: ( )  = −     − =   − = −   = −  = − 2 os c 2 F x 4 2 4 4 2 ax x m ax m = F  = ( ) f x ( ) 2 2 −   2 2   −    2 2 min min ( ) F  =− = 2 −   2 2 x   −    2 2 Bài toán 2:(Đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng khối D) Cho  Tìm giá trị lớn nhất và nhỉ nhất của biểu thức  0, 0. x y − − + ( (1 )(1 ) (1 ) x y xy y P= + 2 2 ) x Hướng dẫn giải Cách 1:(phương pháp bất đẳng thức) Dễ thấy P có thể viết lại dưới dạng sau đây: 1 4 1 4 x y x y P= − = − − + + + + + 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x y x y      − + − 2 2 4 (1 + ) 1 4 1 4 ( 1) 1) + x x y x y  = − + = − + + + 2 2 2 2 4(1 ) (1 ) 4( (1 ) x y x y 1 4 1 4 Do nên từ (1) suy ra P ,  = y     =  = 0, 0, 0. 0, 1. x y P x y − 1 4 1 Tóm lại = . =  = = =  = max 1; 0;min 0, 1 P x y P x y 4 Cách 2:(phương pháp lương giác hóa) x y Ta có: . = − P + + 2 2 (1 ) (1 ) x y   Do  nên đặt  =  =        2 2 tan , tan ,0 ;0 . 0; 0, x y x y 2 2 29 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"     2 2 tan + tan + Khi đó P = − =   −   2 4 2 4 tan os c tan os c 2 2 2 2 (1 tan ) (1 tan ) 1 4 1 4 =   −   =  −  2 2 2 2 2 2 sin os c sin os c sin 2 sin 2      1 4 1 4 Từ (1) suy ra   −      0;2 , P     = = = =      =      sin2 sin2  1 0 1 0 x y 1 4 Lại thấy P =    ; 4 0  =     =    0    = = = =    sin2 sin2   0 1 0 1 x y 1 4 = −    P   = 4 1 4 1 4 Vậy = =  = = = −  = ax 1; 0;min 0, 1. m P x y P x y Bài toán 3:(đề thi tuyến sinh đại học,cao đẳng khối B) Giả sử x,y là hai số thực sao cho = .Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của + 2 2 1 x y biểu thức + 2 2( 1 2 + 6 + ) x xy P= . 2 2 xy y Hướng dẫn giải Cách 1:(phương pháp tìm miền giá trị của hàm số) + 2 2( 6 + ) y x xy Do = ,nên ta có:P (1) = + 2 2 1 x y + 2 2 2 3 x xy Xét hai khả năng sau: 1.Nếu y=0(khi đó x=1).Lúc này P=2.         2    +   x y x y 2 6 + 2 2 t 12 t + t t x y 2.Nếu y0.Khi đó P ,ởđây t và t  = = = R + 2 2 2 3    +   x y x y + 2 3 30 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" + 2 2 t 12 t + t t Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số ,khi đó phương trình sau đây = ( ) f t + 2 2 3 + 2 2 t 12 t + t t (ẩn t): (2) có nghiệm.Dễ thấy vì 3 0 + t  , nên = + 2 m 2 t t + 2 2 3 (2)  + = + + 2 2 2 12 ( 2 3) t t m t t = (3)  − + − + 2 ( 2) 2( 6) 3 0 m t m t m *Nếu m=2,khi đó 2( ) 6  ,nên (3) có nghiệm.Vậy m=2 là một giá trị cuẩ m− 0 hàm số( ) f t . *Nếu m 2  ,khi đó (3) có nghiệm    ' 0  (4)  + − 18 0  −  2 3 6 3 m m m Do m là giá trị tùy ý của ( ) f t ,nên từ (4) suy ra max y max t  và min min t  P Pf t R P = = = = − ( ) 3 ( ) 6 f t   0 0 y R Kết hợp với P=2 khi y=0,ta kết luận: Với điều kiện = thì max =− = + 2 2 3,min 6 1 x y P P Cach 2:(phương pháp miền giá trị hàm số)   Do = , nên ta đặt , với .    + =  =  2 2 0;2 1 sin , os c x y x y  +    −  + +  2 2sin 1 2sin + 12sin os c  os c 1 os2 c  6sin2 os2 c  Khi đó = (1) Gọi m là giá trị tùy ý = P  + + 2 2cos sin2 2 của P. −  + +  Khi đó phương trình sau đây (ẩn  ) 1 os2 c  6sin2 os2 c  (2) = m + sin2 2 có nghiệm . −  −  − +  = (6 )sin2 m (1 ) os2 m c 2 1 m ( ) ( ) ( ) 2 2 2   −  − + +  − 6 6 1 2 1 m m m m Có nghiệm khi  3 Suy ra maxP=3, minP=-6 khi = . + 2 2 1 x y 31 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Cách 3(Phương pháp chiều biến thiên hàm số) + 2 2( 6 + ) y x xy Ta có (1) = P + 2 2 2 3 x xy * Nếu y=0, thì P=2 + 2 2 t 12 t + t t x y *Nếu y  , thì với = = P 0 t + 2 2 3 + − + + + 2 2 2 t 12 t + 8 12 36 t t t t Đặt ( ) ( ) t Thì =  = ' , f t t R f ( ) + 2 2 2 3 + 2 2 3 t t Lập bảng biến thiên sau : t 3 2 − − 3 + f’(t)− 0 + 0 − f(t) 2 3 6 − 2 Bài 4:Cho số thực  thay đổi và thỏa mãn điều kiện:  0, 0 x y 1 x 1 y .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + + = − + 2 2 ( ) A xy x y x xy y 3 3 Lời giải 1 x 1 y 1 x 1 xy 1 y Từ giả thiết suy ra: + = − + 2 2 1 x 1 y ta có: (1).Mặt khác Đặt = = a b + = − ab b + 2 2 , a b a 2                1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 xy 1 y 1 x 1 y = + = + − + = + = a b + 2 ( ) A 3 3 2 2 3 4 1 4 Từ (1) suy ra a b + = a b + −  a b + − a b + = a b + 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ab Do đó, a b + − a b +   a b  +   = a b +  2 2 ( ) 4( ) 0 0 4 ( ) 16 A 32 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" =    a + = b 1 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: = = =  = = 2 a b x y 4 a b Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 Bài 5:Cho các số thực dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y y y z z z y z z z x z x x x y = + + . P + + + 2 2 2 x x y y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ hai số ta có: +  2 y z yz (vì giả thiết cho xyz=1) Từ đó suy ra +  = = 2 2 ( ) 2 2 . 2 x y z x yz x x xyz x x Tương tự ta có: .Do vậy: +  +  2 2 ( ) 2 , ( ) 2 y y z y y z x y z z 2 y y + 2 2 x x + z z +  + + . P 2 2 2 y y z z z z x x x x y y Tới đây chúng ta có 2 cách như sau: ( ) Cách 1: Đặt = + = + = +  2 , 2 , 2 , , 0 a y y z z b z z x x c x x y y a b c c a + − a b + − b c + − 4 2 4 2 4 2 b c a Suy ra: . = = = , , x x y y z z 9 9 9 c a + − a b + − b c + −     2 4 9  2 4 2 4 2 b c a  Do đó,  + + P 9 9 9 a b c           +        =24 c b a c b a a b b c c a  . + + + + − 6 9 a b b c c a  . Tương tự, ta cũng chỉ ra được + + 3 24.3 3 6 9 ( ) = Từ đó suy ra: P  + − 2 = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = 1 x y z 33 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" ( ) Cách 2: Đặt = = =  , , , , 0 . u x x v y y t z z u v t 2 + 2 + 2 + u v t Do đó,  + + . P 2 2 2 v t t u u v Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski cho ba cặp số, ta có: ( )      2 + 2 + 2 + u v t 2 ( ) ( ) ( ) + + + + + + +  + + u v     2 2 2 2 2 2 t v t u t u v u v t 2 2 2 v t t u u v ( uv vt + ) tu 2 v t + + 2 u Suy ra: ( ) ( ) 2 hay  uv vt + +  v t + + . 3 . 2 , P tu P u ( ) + 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 − v t − − u v t u Lại có: ( ) ( ) 2 Do vậy, v t + + − uv vt + + = + +   3 0 , , . u v t u tu 2 2 2 ( u ) 2 2 v t + + + + 2 u  = 2 P ( ) v t Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u=v=t=1 hay khi đó x=y=z=1 Vậy P có giá trị nhỏ nhất là 2. b a             1 2 1 2 Bài 6:Cho  .Chứng minh rằng: +  + a b 0 2 2 . a b a b Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: + + 1 a 1 b a b 4 1 4 1 ( ) ( ) +  +   a b 4 1 4 1 . a b + x 4 1 Xét hàm số ( ) với x  .Ta có: = f x 0 x ) ( ) ( 2 ) − 1 4 + + x x x x 4 ln4 ln 1 4 ( ) x . =    ' 0 0 f x ( 1 4 + x x Suy ra ( ) f xnghịch biến trên khoảng ( ) + 0, . Do đó, ( ) ( ) f b (vì theo giả thiết có   ).  0 f a a b Vậy ta có điều phải chứng minh. 34 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Chương 3: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số Phương pháp chung: Việc sử dụng bất đẳng thức để tìm gtln,gtnn của hàm số(hoặc một biểu thức) là một phương pháp quen thuộc,chúng ta sẽ minh họa ý tưởng thông qua bất đẳng thức Côsi như sau: 1.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtln M của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y,..) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc: với mọi x,y,... cho trước. a.Chứng minh rằng f(x,y,..)  M b.Tìm các giá trị của x,y,... để f(x,y,...)=M Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtln của hàm số hoặc biểu thức bằng M và đạt được với x,y,... tìm được trong b.”. 2.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtnn m của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y,...) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc: a.Chứng minh rằng f(x,y,...)m với mọi x,y,... cho trước. b.Tìm các giá trị của x,y,... để f(x,y,...)=m Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtnn của hàm số hoặc biểu thức bằng m và đạt được với x,y,... tìm được trong b.”. 1,Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi: +Sử dụng bất đẳng thức côsi cơ bản -Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau đây là hai bất đẳng thức Côsi cơ bản:       1 a 1 b với mọi a>0,b>0.Dấu bằng xảy ra =  a b + +  ( ) 4 a b       1 a 1 b 1 c với mọi    a b c + + + +  0, 0, 0. ( ) 9 a b c = = Dấu bằng xảy ra  . a b c 35 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Rất nhiều bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số quy về việc hai bất đẳng thức nói trên. Bài 1: Cho x >0, y>0, z>0 và x + y + z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x + y + z + . = + + P 1 1 1 x y z Hướng dẫn giải Viết lại P dưới dạng sau:      1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  (1) = − + − + − = − + + 1 1 1 3 P 1 1 1 1 1 1 x x z x y z Áp dụng bât đẳng thức Côsi cơ bản ta có:       1 + 1 + 1 + ( ) ( 1 + ) (2)     + + + + + +  1 ( 1) 9 x y z 1 1 1 x y z       1 + 1 + 1 + 9 4 (3) Do x+ y + z =1, nên từ (2) suy ra + +  1 1 1 x y z 3 4 (4) Từ (1) và (3) suy ra P  dấu bằng trong (3) xảy ra khi = =    x + y + = z 1 3   = = = x y z 1 x y z 1 3 = Vậy dấu bằng trong (4) xảy ra  = = x y z 3 4 1 3 Từ đó ta có max = =  = = P x y z  và 1 1 y 1 z Bài 2:Cho =.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu + +  4 0, 0 x y x 1 1 1 y thức P = + + . + + + + + + 2x 2 2z y z x y z x Hướng dẫn giải 36 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản hai lần liên tiếp,ta có:                1 1 4 2x  1 1 + 1 4 2x  1 1 1 4  1 z  +  + + 2x+y+z y z y      1 1 1 8  1 1 2z (1)   + + . + + 2 2 x y z x y = +    2x y z . Dấu bằng trong (1) xảy ra   = = x y z = y z      1 1 8 2x  1 1 y 1 2z (2) Lí luận tương tự ta có  + + . + + 2 x y z      1 y 1 8 2x  1 1 1 z (3)  + + . + + 2z 2 x y = Dấu bằng trong (2),(3) đều xảy ra  = x y z     1 8 2x  4 4 4 2z  Cộng từng vế(1)(2)(3) và có P  + + 2 y Do 1 1 y 1 z  (4) + + =  4 1 P x Dấu bằng trong (4)xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3) =(kết hợp với điều kiện1 1 y 1 z 3 4 = ) + +  = = 4 x y z x 3 4 = Từ đó suy ra maxP=1  = = x y z Nhận xét:Thực chất bài toán tuyển sinh đại học khối A-2005 có dạng sau: Cho  và 1 1 y 1 z = + +   4 0, 0, 0 x y z x 1 1 1 y Chứng minh bất đẳng thức + +  1 + + + + + + 2x 2 2z y z x y z x Rõ ràng dưới dạng bất đẳng thức.bài toán dễ hơn ở chỗ là có định hướng ( tức bài toán tìm giá trj lớn nhất,nhỏ nhất cho biết trước đáp số) Bài 3: Cho  và +   0, 0 1 x y x y 37 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 2 2 1 + x − y − Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + + + x y 1 1 x y x y Hướng dẫn giải Viết lại P dưới dạng: 2 2 1 + 1 − 1 − 1 + x − y − (1) = + + + + + + − = + + − (1 ) (1 ) 2 2 P x y 1 1 1 1 x y x y x y x y Do x>0,y>0 và −  +   −  1 1 0,1 0 x y x y Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản,ta có:       1 − 1 − 1 +   − ) (1 + − ) ( + + + +  (1 ) 9 x y x y 1 1 x y x y 1 − 1 − 1 + 9 2  + +  1 1 x y x y 1 3 = Dấu bằng trong (2) xảy ra  − = − = +  = 1 1 x y x y x y 2, Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bất đẳng thức Côsi. Đây là một trong các phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi đặc biệt hữu hiệu với những bài toán nếu vội vàng áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi từ đầu sẽ đi đến dạng sau: A B C. Vì thế không thể kết luận gì về mối quan hệ bất đẳng thức giữa A và C.Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược sẽ tránh được điều này. Bài 1:cho x,y,z là ba số dương và y z + + = 3 x + + + + + + 1 1 1 1 1 1 x y y z z Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2 2 2 x Hướng dẫn giải + + + 2 1 1 ( 1) + x y x y Ta có (1) = + − 1 x 2 2 1 y (2) Theo bất đẳng thức Côsi,ta có +  2 1 2 y y = Dấu bằng trong (2) xảy ra  1 y 38 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" + + + + 2 1 1 ( 1) y x y x y xy y (3) Từ (1)(2) suy ra  + − = + − 1 1 x x 2 2 2 = Dấu bằng trong (3) xảy ra  1 y + + + 1 1 y z yz z (4) Lập luận tương tự,ta có  + − 1 y 2 2 + + + 1 1 x z z x (5)  + − 1 z 2 2 x Dấu bằng trong(4)(5) xảy ra =  = 1, 1 z x + + z xy yz x (6) Cộng tưng vế (3) (4) (5) và có  + + − P x y z 2 Dấu bằng (6) xảy ra khi đòng thời có dấu bằng xảy ra trong (3) (4) (5) = = Do  = 1. x y z + + =  + = + + = + + + + +   2 2 2 2 3 + 9  ( ) 2( z) 9 3(xy+yz+xz) x  y z x y z x y z xy zy x (7) z 3 xy yz x Dấu bằng trong (7) xảy ra = =  = 1 x y z 3 2 (8) Từ đó kết hợp (6) (7), ta có P  Dấu bằng trong (8) xảy ra khi dấu bằng trong (6) (7) xảy ra = =  = 1 x y z 3 2 = = Vậy min P =  = 1 x y z Bình luận:Nếu trong bài trên ngay từ đầu ta trực tiếp sử dụng bất đẳng thức Côsi ,sẽ thu được +  +  +  2 2 2 1 2 ,1 y 2 ,1 z 2x y z x x y z P (9)  + + 2 2z 2x y 3 2 x y z Lại theo bất đẳng thức Côsi ta có: y+ +  2 2z 2x 3 2 x y z (10) Như vậy ta có: P  + +  2 2z 2x y 39 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Từ (10) không thu được so sánh giữa P và 3 2 Cách áp dụng bất dẳng thức Côsi sau khi biến đổi P như trên gọi tắt là kĩ thuật Cối ngược dấu.Đây là kĩ thuật hay và khéo léo.Nhờ nó mà tránh được các hệ thức kiểu dạng (10) Bài 2:Giả sử x,y,z,t là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện: 1 1 y 1 z 1 t + =.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + + 2 x 3 3 3 3 x + y + z + t + P . = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z t t x Hướng dẫn giải 3 2 x + xy + Ta có: (1)  − x 2 2 2 2 x y x y 3 2 x + xy ,do đó từ (1) có hay Theo bất đẳng thức Côsi,thì  − +  2 2 2x x x y y 2 2 2x x y y 3 x + y (2)  − x 2 2 2 x y = Dấu bằng trong (2) xảy ra  x y 3 y + z (3) Lập luận hoàn toàn tương tự,có  − , y 2 2 2 y z 3 z + t (4)  − z 2 2 2 z t 3 t + x (5)  − t 2 2 2 t x = Dấu bằng trong (3)(4)(5) tương ứng xảy ra  = = ; ; y z z t t x 40 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" + z t + + x y (6) Cộng từng vế (2)(3)(4)(5),ta có  P 2 Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2)(3)(4)(5) = = = (do 1 1 y 1 z 1 t + = ). + +  = 2 2 x y z t x       1 x 1 y 1 z 1 t Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có + + + + + +  ( ) 16 x y z t + + + x + + +  (7) 8 8 x y z t y z t Dấu bằng trong (8) xảy rađồng thời có dấu bằng trong(6)(7) x  = = = = 2 y z t = = = . Như vậy ta có minP=4  = 2 x y z t 3,Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi: -Phương pháp này thích hợp với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà có thể trực tiếp áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi,hoặc sau những biến đổi sơ cấp đơn giản là có thể dùng được bất đẳng thức Côsi.Kĩ thuật chủ yếu là dựa vào biểu thức đầu bài cũng như điều kiện đã cho chọn ra số thích hợp sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta đáp số bài toán. 1 + 1 + 1 + Bài 1:Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện + + = 2 1 1 1 x y z Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức P=xyz. Hướng dẫn giải      +       1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + y z + Từ + + =  = − − = + 2 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 y z x y z x y z  y + z + yz y (1) Theo bất đẳng thức côsi ta có +  2 + + 1 1 (1 )(1 ) y z z y z + Dấu bằng trong (1) xảy ra  =  = y z + 1 1 y z 41 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 1 + yz y . (2) Như vậy  2 + + 1 (1 )(1 ) z z 1 + z x (3) Lập luận tương tự ta có:  2 + + 1 (1 )(1 ) y z x 1 + xy x (4)  2 + + 1 (1 )(1 ) z y = . Dấu bằng trong (3),(4) tương ứng xảy ra  = , x z x y Do các vế của (1)(2)(3) đều là số dương,nên nhân từng vế (1)(2)(3) và có 1 + xyz + (5)  8 + + + + (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) x y z x y z 1 8  (6) Từ (1+x)(1+y)(1+z)>0,và từ (5) suy ra P = xyz Dấu bằng trong (2)(3)(4) = =   +  x y z 1 3   = = = x y z 3 = 2 1 x 1 8 P = Vì lẽ đó suy ra max 1 3 = Giá trị lớn nhất cực đạt được khi và chỉ khi = = x y z Bài 2:cho x,y,z là các số thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn điều kiện + + = 2 x y z x − y − z − .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = . . P 1 1 1 x y z Hương dẫn giải = − . Đặt = − = − 1 ; 1 ;w 1 y u x v z  và = Từ giả thiết suy ra   u v + + w 1 0, 0,w 0 u v Lúc này biểu thức P có dạng − − − + + u v + (1 )(1 )(1 w) w uv ( w)( w)( w ) u v v u uv P (1) = = 42 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Áp dụng bất đẳng thức Côsi,ta có +  +  +  w 2 w; v w 2 uw; 2 v u u v uv nên từ (1) ta có: P  (2) từ đó suy ra( + + u v + ) 8 w  9 w)( w)( v u uv 2 3 Dấu bằng trong (2) xảy ra  = =  = = = w . u v x y z 2 3 Như vậy minP=8.Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi = = = x y z Bài 3:Cho x,y,z, là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2x 3 2 3 2z 3 y y z x Hướng dẫn giải Theo bất đẳng thức Côsi ta có + + + = + ) ( + + 1) 2 +  + 2 2 2 2 2 2x 3 ( 2x 2x 2 y x y x y 1 1 2x + (1) Từ đó suy ra  + + + 2 2 2x 3 2x 2 y y = Dấu bằng trong (1) xảy ra  = 1 x y 1 1 2 (2) Tương tự ta có  + + + + 2 2 2 3 2 2 y z yz y 1 1 (3)  + + 2xz 2z 2 + + 2 2 2z 3 x = = Dấu bằng trong (2)(3) tương ứng xảy ra  = = 1, 1 y z z x      1 2 1 1 1 Cộng từng vế (1)(2)(3) và có  (4)  + + P + + + + + + 1 1 x 1 xy x yz y z z Dấu bằng trong (4) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3) = =  = 1 x y z 1 x xy x Do xyz = ,nên ta có (5) = = 1 + + + + + + 1 1 yz y xyz x xy x 43 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" 1 xy + xy + + (6) = = + x+z+1 ( ) 1 z xyz x xyz xy xy x 1 2 1 2 Thay (5)(6) vào (4) và có .Từ đó suy ra maxP = P  = = Giá trị lớn nhất đạt được khi và chỉ khi = 1 x y z Các Phương Pháp Thông Dụng Khác Sử Dụng Bất Đẳng Thức Để Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số 1.Phương pháp xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết từ trước. Phương pháp xuất phát từ một bất đẳng thức nào đấy đã đúng, sau đó biến đổi thành bất đẳng thức dạng Pa (1) (hoặc Pa), ở đây P là biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất). Sau khi chỉ ra phần tử đã cho ứng với phần tử đó thì P đạt giá trị a, ta sẽ suy ra kết luận min P=a (hoặc max P=a). Như vậy điều cốt yếu khi sử dụng phương pháp này là cần sự lựa chọn các bất đẳng thức thích hợp với đề ra để có thể biến đổi về bất đẳng thức dạng (1). Việc lựa chọn này được tiến hành bằng cách dựa vào cấu trúc của biểu thức P ban đầu cũng như các giả thiết của bài toán. Bài 1:Cho x,y,z là ba số dương và thỏa mãn điều kiện xyz=1 1 y 1 z 1 x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 x y z Hướng dẫn giải: (1) Hiển nhiên ta có bất đẳng thức sau: − +  2 2 x . xy y xy = )( y + Dấu bằng trong (1) xảy ra  x y ) nên từ (1) có ( ( ) Vì − +  +   2 2 0, 0, x x xy y xy x y x y ( ) (2)  +  + 3 3 . x y xy x y Do xyz=1,nên từ (2) có + +  + + 3 3 1 ( ) x y xy x y xyz 44 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất"  + +  + + 3 3 1 ( ) x y xy x y z 1 y 1 y 1 (3)     . + + + + + + 3 3 3 3 1 1 ( ) x x xy x y z Dấ bằng trong (3) dấu bằng trong (1) xảy ra =  x y 1 z 1 (4) Tương tự ta có:  + + + + 3 3 1 ( ) y yz x y z 1 z 1 + (5)  + + + 3 3 1 x( ) x z x y z = Dấu bằng trong (4)(5) tương ứng xảy ra khi = , y z z z + + 1 x y + z + (6) Cộng từng vế (3)(4)(5) và có P  = = 1 ( ) xyz x y z xyz Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (3)(4)(5) = = (do xyz=1)  = 1 x y z = = Vậy maxP=1  = 1 x y z Nhận xét:Trong bài này ta sử dụng bất đẳng thức (1),đó là từ bất đẳng thức hiển nhiên −   − +  2 2 2 ( ) 0 x y x xy y xy Bài 2:Cho x,y,z là ba số thực   và thỏa mãn x + + =  − 1;2 0 y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + + 2 2 2 x y z Hướng dẫn giải   Do + −  (1)  − −    2 x 1;2 1 2 2 0 x x x = − =   1 x Dấu bằng trong (1) xảy ra khi  2 x + −  (2) Tương tự ta có: 2 2 0 y y + −  (3) 2z 2 0 z Dấu bằng trong (2)(3) tương ứng xảy ra =−hoặc =−hoặc z=2  = 1 2, 1 y y z + + = ,nên ta có P 6  (4) Cộn từng vế (1)(2)(3) và do 0 x y z 45 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Dấu bằng trong (4) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3) và do + + = 0 x y z trong ba số x,y,z có hai số bằng -1,một số bằng 2. (5) Vậy maxP=6x,y,z thỏa mãn (5)   Nhận xét:Ở đây từ ,ta suy ra (1) (dựa vào định lí về dấu của x − 1;2 tam thức bậc hai) Bài 3: Cho x,y,z là các số thực   .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  0;1 P=2 + + ) ( − + + 3 3 3 2 2 2 ( ) x y z x y y z z x Hướng dẫn giải Do x,y,z   nên ta có:  0;1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2  (1) − − + − − + − − 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 0 x y y z z x  (2) dễ thấy (1)  + + ) ( + + + ) ( − + + 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 x y z x y z x y y z z x Do x,y,z            2 3 2 3 2 3 0;1 ; ; . x x x y y y z z z Nên từ (2) ta có:  (3) + + ) ( + + + ) ( − + +   3 3 3 3 3 3 2 2 2 ( ) 3 3 x y z x y y x y y z z x P Dấu bằng trong (3) xảy rađồng thời có dấu bằng trong (1) và (3) = = = = =    1 x y z = = = 1; 1; = 0 0 1 x y x y z z y z (4)  =   = = 0, y Vậy maxP=3 x,y,z thỏa mãn (4)   Nhận xét:Bất đẳng thức xuất phát (1),dựa vào điều kiện và , , x y z 0;1 dạng biểu thức P đầu bài. Bài 4: Cho x, y, z là các số thực   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  0;1 x y z . = + + P + + + 1 1 1 yz zx xy 46 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" Hướng dẫn giải + x x x +   Do , nên ta có 1 (1) , , x y z  0;1 + + 1 yz yz x  Thật vậy (1)  + +  +  − − 2 2 2 2 0 x xyz x x xyz x x xyz ( )  (2)  − − 1 0 x x yz Do x nên (2) đúng, vậy (1) đúng.  . Lại do     − − 0 1; 0; 0 1 0 x y z x yz + ( vì nó tương đương với ( )( )  ). Mặt khác dễ thấy: 1 yz − − +  1 1 0 y z y z 2 x x . (3) Từ đó từ (1) suy ra:  + + + 1 yz x y z 2 y y (4) Lập luận hoàn toàn tương tự có:  + + + 1 zx x y z 2 z z (5)  + + + 1 xy x y z P  (6) Cộng từng vế (3),(4),(5) và có: 2 Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (3),(4),(5).  trong ba số x,y,z có hai số bằng 1, một số bằng 0. thỏa mãn (7). Vậy max =  2 , P x y Bài 5: Cho x,y,z là các số thực   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  0;1 ( ) . = + + − + + 2 3 P x y z xy yz zx Hướng dẫn giải ) 0 z −    ( )( )( Do   − − , , x y z 0;1 1 1 1 x y ( ) ( + )   − + + + + − 1 0 x y z xy yz zx xyz ( ) 1 xyz  −  + + − + + x y z xy yz zx   Do , , x y z  + +  + + 2 3 0;1 x y z x y z  1 xyz  − P 47 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" xyz  , nên có P  Lại do 0 1 ( y )( )( ) − − − =       1 1 1 0 x y z = = z y Dấu bằng xảy ra trong (5) xảy ra  3 z xyz z = 0 trong ba số x,y,z có ít nhất một số bằng 0, ít nhất một số bằng 1. thỏa mãn (6). Vậy max =  1 , , x y z P Bài 6:Cho x,y,z,t là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện + + + = . 2 x y z t + + + + + + 4 4 4 4 x x y y z z t t . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = P 3 3 3 3 Hướng dẫn giải ) 0 y − )( Sử dụng bất đẳng thức(  (1) + 3 3 x y x (2)  +  + 4 4 3 3 yx x y xy (3) Lập luận tương tự ta có: +  + 4 4 3 3 x x z xz z (4) +  + 4 4 3 3 x x t xt t (5) +  + 4 4 3 3 y z yz y z (6) +  + 4 4 3 3 y t yt y t (7) +  + 4 4 3 3 z t zt z t Cộng từng vế (2) − (3) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) + + +  + + + + + + + + + + + 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3( ) x y z t x x z t y z t x z t x y t x y z (8) Dấu bằng trong (8) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2) − (7) 1 2  (do + + + = ) = = = = 2 x y z t x y z t Từ (8) suy ra : 48 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" ( ) ( ) ( ) ( ) + + +  + + + + + + + + + + + 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 x y z t x x y z t y x y z t z x y z t ( ) + + + + 3 3 3 3 t x y z t + + + + + + + + + 4 4 4 4 1 2 1 2 x x y y z z t t x y z t   =   P 3 3 3 3 4 1 2 Dấu bằng trong (9) xảy ra dấu bằng trong (8) xảy ra = =  = = x y z t 1 2 1 2 Vậy =  = = = = MinP x y z t 2.Các bài toán khác sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Trong các bài toán ở mục này,ta kết hợp nhiêu cách khác nhau để sử dụng bất đẳng thức trong việc tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm trong số.Cái đích cần đi đến là đưa các bất đẳng thức dạng   ( ) P a P a các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất(giá trị lớn nhất của biểu thức P),rồi sử dụng định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đã biết.Qua các bài dưới đây các bạn sẽ thấy rõ thêm tính đa dạng của phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của chúng ta. Bài 1: Cho x,y,z là số thực   .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  0;1 x z y x z y P = + + + − − − (1 )(1 )(1 ) x y z + + + + + + 1 1 1 y z x Hướng dẫn giải Do tính bình đẳng của các biến x,y,z nên không giảm tổng quát,ta có thể  giả sử x  y z   nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Từ y z x, , 0;1 − ) (1 + − + + + (1 ) (1 3 ) y z y z  − − + + (1 )(1 )(1 ) y z y z 3 49 https://tailieu.top/

Giải pháp "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất" (1)   − − y z + + 1 (1 )(1 )(1 ) y z  − = − = + + Dấu bằng trong (1) xảy ra 1 1 1 y z y z =    y z =   = = 0 y z + 2z 0 y   Do ,nên từ (1) ta có:  x 0;1 − 1 + x + (2) −  − − − + +  − − −  1 (1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) x x y z y z x y z 1 y z = =   0 y z = Dấu bằng trong (2) xảy ra  1 x y x y y   ,ta có: 1 (3) Sử dụng:   0 x y z + + + + 1 z z z y z y (4)  + + + + 1 1 x z 1 y x y (5) Viết lạ (2) dưới dạng: − − − +  (1 )(1 )(1 ) x y z + + + + 1 1 z z + + + + 1 1 y y z z hay P  (6) Cộng từng vế (3)(4)(5) suy ra:  P 1 Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu trong (2)(3)(4) (*) Vậy maxP=1 x,y,z thỏa mãn (*) Nhận xét: 1.các trường hợp của (*) = =,hoặc x Thí dụ: = = = = 1 1; 0,... x y z y z 2.Trong bài toán trên ta đã kêt hợp các phương pháp: sử dụng tính bình đẳng của các biến,sử dụng bất đẳng thức Côsi...để giải bài toán Bài 2:Cho x,y là các số thực dương,thỏa ,mãn điều kiện xy=1. 3 3 x + y + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + P 1 1 y x Hướng dẫn giải 50 https://tailieu.top/

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN - GTNN

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN - GTNN

Presentation Transcript