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Hypothesentest (Aufg.7.3). Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Seminar: Didaktik der Stochastik Dozentin: Frau Dr. Warmuth Referenten: Nils Dörholt Patrik Strauch Andreas Walz. Übungsserie 7 , Aufgabe 3

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hypothesentest aufg 7 3
Hypothesentest (Aufg.7.3)

Humboldt-Universität zu Berlin

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

Seminar: Didaktik der Stochastik

Dozentin: Frau Dr. Warmuth

Referenten: Nils Dörholt

Patrik Strauch

Andreas Walz

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Übungsserie 7 , Aufgabe 3

1. Informieren Sie sich zum Thema Stichprobenentnahme bei Wahlhochrechnungen.

2. Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem Lehrbuchauszug. Führen Sie dazu geeignete Zufallsgrößen ein. Erläutern Sie, welche Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde liegen.

3. Legen Sie in der Kurzfassung eines Stundenentwurfs dar, wie Sie das Testen von Hypothesen im Zusammenhang mit Wahlen in einer 12. Klasse behandeln würden. Der Kursentwurf soll (mindestens) drei kognitive Ziele beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde anstreben.

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Aufgabe 7.3.1

Informieren Sie [...] zum Thema Stichprobenentnahmen bei Wahlhochrechnungen.

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18-Uhr-Prognose

Grundlage: Wahltagsbefragung (Befragung von Wählern beim Verlassen des Wahllokals)

Wichtig: Statistisch sinnvolle Anzahl repräsentativ ausgewählter Stimmbezirke (bei Landtagswahlen ca. 250, bei Bundestagswahlen etwa 400)

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Repräsentativität

Stichprobe: unter statistischen Gesichtspunkten ein verkleinertes Abbild des jeweiligen Gebietes

Beachtung der wichtigen Merkmale: Region, Ortsgrösse, Altersverteilung, Haushaltsgrößen, Berufsgruppen, Bildungsstruktur in etwa gleichen Anteilen wie in der Gesamtbevölkerung.

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Weitere Angaben:

Erfassung statistischer Angaben: Alter, Geschlecht, Berufstätigkeit und Ausbildung, Motive für die Wahlentscheidung

1) Einschätzung der Stichprobenqualität

2) Grundlage für weitere Analysen

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„Hochrechnung “

Mitarbeiter beiöffentlichen Stimmenauszählungen

Ergebnis telefonisch ans Institut

Wenn Mindestanzahl an Stimmbezirksergebnissen vorliegt

1. Hochrechnung ca. 18.30 Uhr

Varianz („Hochrechnung) < 0,01

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Problem

Grenzen der Exaktheit

Beispiel: knappe Entscheidungen

um wenige 100 Stimmen

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Quelle

Siehe Aufgabenblatt (Aufg. 7.3.1)

(http://www.awv-net.de/cms/upload/awv-info/pdf/info- 024Thema-ExakteWahlprognosen-3S.pdf)

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Aufgabe 7.3.2

Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem Lehrbuch. Führen sie dazu geeignete Zufallsgrößen ein. Erläutern Sie, welche Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde liegen.

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Aufgabe

Eine Partei erreichte bei der letzten Wahl nur 3% der Stimmen. Man vermutet, dass es möglich ist, den Stimmenanteil zu verdoppeln. Bei einer Umfrage gaben von 1000 Wählern 41 an, diese Partei wählen zu wollen.

(Lehrbuch „Mathematik – Stochastik“ vom Cornelsen Verlag, 2006, S. 207)

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Zufallsgröße:

Sn- Anzahl der Personen die für Partei stimmen

mit Sn= X1+…+Xn

1, Stimme für die Partei

wobei Xi =

0, keine Stimme für der Partei

mit i= 1,2,3,….., n

und Xi- Merkmalsausprägung der i-ten Person

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Modellannahmen:

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

W- Raum ( Ω,F, P)

Binomialverteilung B (n,p)

n unabhängige Teilexperimente mit konstanter

Trefferwahrscheinlichkeit p

n - Stichprobenumfang, Anzahl der unabhängigen Teilexperimente

p - Trefferwahrscheinlichkeit

k - Anzahl der Treffer

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Aufgabe 3:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 41 oder mehr Personen diese Partei wählen wollen, wenn sich der Stimmenanteil nicht verändert hat?

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Modell: Binomialverteilung

n= 1000

p=0,03

k –Trefferanzahl ( 41 oder mehr)

P( Sn=k)=

gesucht:

P(Sn≥41)=

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Problem

P(Sn≥41)= 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)

Berechnung mit Taschenrechner nicht möglich aufgrund des sehr großen „n“.

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Lösungsmöglichkeiten:

Excel

Approximation der Binomialverteilung zur Normalverteilung mithilfe des ZGWS des Moivre -Laplace

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1. Lösung: Excel

Wert in der Tabelle:

P(Sn≥41) = 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)

= 1- 0,96977918

≈ 0,03

Somit P(Sn≥41) ≈ 0,03

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2. Lösung: Normalverteilung/ stetige Verteilung

Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre- Laplace:

Die Zufallsvariable Sn besitze eine Binomialverteilung mit Parametern n und p, wobei 0<p<1 vorausgesetzt ist. Dann gilt für jede Wahl reeller Zahlen a, b mit a<b:

a.) P

b.) P

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Faustregel zur Approximation der Binomialverteilung zur Normalverteilung

np(1-p) ≥9

Test: n=1000; p= 0,03

1000*0,03*0,97=29,1 ≥ 9

Folglich Approximation benutzbar

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Anwendung

P(Sn≥41) = 1- P(Sn<41)= 1- P(Sn≤40)

P(Sn ≤k)= ≈

P(Sn≤40) = = 0,967843

Somit ist P( Sn ≥41)= 1- 0,967843= 0,032.

Es handelt sich somit um eine gute Näherung für die Binomialverteilung. (geringe Abweichung der Werte)

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Aufgabe

Welche kritischen Zahlen ergeben sich für :

= 0,1 und = 0,05 bei H0: p=0,03

und H1: p= 0,06 ?

Geben Sie jeweils die Fehlerwahrscheinlichkeiten für einen Fehler 1. Art und 2. Art an.

 Hypothesentest

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Hypothesentest

Teste Ho gegen Alternative H1

1. Festlegung des Signifikanzniveaus

2. Berechnung des Verwerfungsbereichs/ kritische Zahlen

3. Entscheidungsregel aufstellen

4. Fehler 1. Art und 2. Art berechnen

Handelt sich um rechtsseitigen Hypothesentest

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Rechtsseitiger Hypothesentest

Ho: p=0,03 H1: p=0,06

1. = 0,1 und = 0,05

2. P(Sn ≥ k) ≤

P(Sn≥k)= 1- P(Sn≤k-1) ≤

 P( Sn≤k-1) ≥ 1-

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Lösung

= 0,1 = 0,05

P( Sn≤k-1) ≥0,9 P( Sn≤k-1) ≥ 0,95

P( Sn≤37) ≥0,9 P( Sn≤39) ≥0,95

V0= (38, 39, …, 1000) V1= (40, 41, …, 1000)

slide26
Lösung

Stichprobe V Stichprobe V

Entscheidung für Ho Entscheidung für H1

Ho richtigEntscheidung richtigEntscheidung falsch

Fehler 1. Art

H1 richtigEntscheidung falschEntscheidung richtig

Fehler 2. Art

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Aufgabentext

41 von 1000 gaben an die Partei wählen zu wollen.

 41 V₀: k=( 38,…, 1000)

41 V₁: k=(40, …, 1000)

 Nullhypothese Ho wird abgelehnt und H1 wird angenommen.

 Fehler 1. Art berechnen ( Ho abgelehnt, obwohl richtig)

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Fehler 1.Art

= 0,1 =0,05

Excel:

P(Sn>37)= 0,0857 P(Sn>39)=0,043

N-Verteilung

P(Sn>37)= 0,09 P(Sn>39)=0,0474

Fehler 1. Art ist Fehler 1. Art ist

ca. 8,5%. ca. 4,3%.

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Fehler 2.Art

Ho angenommen und H1 abgelehnt, obwohl H1 richtig ist.

Stichprobe 41 eigentlich nicht nötig, da man sich für die Alternative H1 entscheidet und Ho ablehnt.

Annahme: 41 nicht repräsentativ und nehmen ein Stichprobenergebnis von unter 38 an. In diesem Fall lehnen wir die Alternative ab und stützen uns weiter auf die Nullhypothese H0. Somit ist ein Fehler 2. Art möglich, falls H1 richtig ist.

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Neuer Fall

Stichprobe ergab 37 Wähler

 37 V₀ und V₁

 lehnen Alternative ab

Fehler 2. Art lässt sich nur bei Kenntnis des richtigen p berechnen

Ho:p=0,03 ( Nullhypothese)

H1:p=0,06 (Alternative)

Annahme: H1 mit p=0,06 ist richtig

Mit welcher Wahrscheinlichkeit mache ich Fehler 2. Art, wenn p=0,06 der richtige Wert ist?

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Lösung

Berechnung des Fehlers 2. Art:

n=1000; p (neu)=0,06

= 0,1 =0,05

Normalverteilung

P(Sn<38)= 0,001 P(Sn<40)= 0,001

Fehler 2. Art bei 0,1%

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Lösung

Fehler 2. Art bei Annahme p=0,04 richtiger Wert

=0,1 =0,05

Normalverteilung

P(X<38)= 0,315 P(X<40)= 0,4403

Fehler 2.Art liegt bei Fehler 2. Art liegt bei

31,5% 44%

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Gütefunktion

Gütefunktion des Tests gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ablehnen der Nullhypothese in Abhängigkeit von p an.

G(p)=Pp(V) 0≤p≤1

Die Operationscharakteristik des Tests gibt den Fehler 2. Art in Abhängigkeit von p an

O(p)=Pp(A)=1-G(p) 0≤p≤1

mit A:= Annahmebereich

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Aufgabe

Für den Einzug ins Parlament sind 5% der Stimmen nötig. Wie ist die Nullhypothese Ho=: p= 0,05 zu bewerten?

zweiseitiger Hypothesentest für =0,1

Ho testen gegen Alternative H1: p = 0,05

Berechnung mit Normalverteilung

P(Sn ≤k) ≥0,95 bei k= 61

P(Sn ≤k) ≤0,05 bei k= 39

 Verwerfungsbereich V=(0,1,…, 39)U( 62,…, 1000)

 Bei Stichprobe von 41 behalten wir die Nullhypothese bei und lehnen Alternative ab

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Fehler 2.Art

Für Nullhypothese entschieden, obwohl Alternative richtig ist.

Annahme: p= 0,06

p= 0,04

p= 0,03

P(39 ≤Sn≤ 61)= 0,89/ 0,56/ 0,037

Fehler 2. Art beträgt 89%/ 56%/ 3,7%

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Fehler 2.Art

Fehler 2. Art wird umso kleiner , je weiter der tatsächlich zugrunde liegende Modellparameter von dem Modellparameter unter Ho entfernt liegt

 sehr unwahrscheinlich, dass wir uns für Ho entscheiden, obwohl p=0,03 gilt

 große Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho entscheiden, obwohl p=0,06 richtig ist

 56% Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho entscheiden, obwohl p= 0,04 richtig ist

 Bezug zur 5% Klausel

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Aufgabe 7.3.3

Legen Sie in der Kurzfassung eines Stundenentwurfs dar, wie Sie das Testen von Hypothesen im Zusammenhang mit Wahlen in einer 12. Klasse behandeln würden. Der Kurzentwurf soll (mindestens) drei kognitive Ziele beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde anstreben.

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Lehrplan Berlin Sek. II

„Jahrgangsübergreifende Leistungskurse können eingerichtet werden. Für einen Teil der

Schülerinnen und Schüler ergibt sich die Reihenfolge MA-3, MA-4, MA-1, MA-2. In diesemFall ist die Stochastik vollständig im Kurs MA-4“(Rahmenlehrplan Mathematik, Sek II, 1. Auflage 2006, S.43)

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Vorhaben

Approximation der Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung

Benötigt: Satz von Moivre-Laplace

Grund: sehr großes n (Stichprobenumfang)

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Vorkenntnisse:

Unabhängigkeit

Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung

E(X), Var(X) und Standardabweichung

Binomialverteilung (Formel von BERNOULLI, E(X), Var(X) und Standardabweichung)

Normalverteilung

Standardisierung der Normalverteilung

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Lernziele:

Die Schüler sollen die Probleme der Anwendbarkeit der Binomialverteilung bei großen Stichprobenumfängen erkennen.

Die Schüler sollen den Satz von Moivre-Laplace verstehen und anwenden können.

Die Schüler sollen prüfen können, ob der Satz von Moivre-Laplace in einer bestimmten Situation anwendbar ist.

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Stundenentwurf

Leistungskurs, 12. Klasse

Doppelstunde/ zwei Einzelstunden

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1. Einführung

einführendes Gespräch über Wahlprognosen (außermathematische Motivation, Brücke zur Lebenswelt)

Aufgabe: Eine Partei erreichte bei der letzten Wahl nur 3% der Stimmen. Man vermutet, dass es möglich ist, den Stimmenanteil zu verdoppeln. Bei einer Umfrage gaben von 1000 Wählern 41 an, diese Partei wählen zu wollen. Wie groß ist die Wkt., dass 41 oder mehr Personen diese Partei wählen wollen, wenn sich der Stimmenanteil nicht verändert hat?

Frage: Wo tauchen bei dieser Aufgabe Probleme auf? Lasst uns bitte diese gemeinsam besprächen.

15-20 Min.

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Erwartungen

X~B(n,p)

Parameter: n=1000, p=0,03

Ergebnis:

 ohne Computer zu aufwendig

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Satz von Moivre-Laplace

frei Recherche zum Satz (PC, Bücher usw.)

20-25 Min.

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Erwartungen

Satzvon Moivre-Laplace:

Es sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p: 0<p<1, dann gilt .

Verständnis bzw. konkrete Fragen bezüglich der Argumente.

Faustregel: np(1-p) > 9 bzw.

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Besprechung

Besprechung des Satzes in seiner Bedeutung bzw. der Faustregel an der Tafel (möglichst Schülergespräch)

kurze wiederholende Besprechung der N(0,1)-Verteilung

  10-15 Min.

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Umsetzung der Aufgabe

Die Schüler sollen die Aufgabe nun in kleinen Gruppen (2-4 Schüler) rechnen.

  10-15 Min.

slide49
Präsentation

Vorstellung der Aufgabe von einer der Gruppen

  10 Min.

slide50
Fragen, Diskussion

Form: Unterrichtsgespräch/Schülergespräch (wenn möglich, sonst geleitetes Unterrichtsgespräch/ Lehrergespräch)

10 Min.