Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

1. phÇn i phÇn më ®Çu I.TÝnh cÊp thiÕt cña ®Ò tµi: Trong thực tế giảng dạy lớp 12 thì bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm. Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy ôn luyện học sinh lớp 12 tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đườngđồ thị hàm số tạimột điểm, đưa ra các phương pháp giải đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải vì các em chưa có nhiều bài tập để rèn luyệnkĩ năng phân tích và trình bày bài toán. Các em học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Chính vì vậy, tôi đã tìm hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương phápviết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốtại một điểm”nhằm giúp các em học sinh nắm chắc được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để các em có sự chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi đại học, cao đẳng. II. T×nh h×nh nghiªn cøu: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát và tổng kết kinh nghiệm sè kÕt qu¶ nghiªn cøu ban ®Çu ®Ó thÊy râ ®-îc kÕt qu¶ luyÖn tËp cña häc sinh. III. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña s¸ng kiÕn: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận và áp dụng vào thực tiễn giảng dạy. Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào bài tập. Đưa các bài toán khó về các bài toán thường gặp. IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI: Häc sinh líp 12A2 - Tr-êng THPT sè 1 B¶o Yªn. Thêi gian nghiªn cøu: Trong n¨m häc 2013 - 2014. 1 https://topdalat.vn/

2. PHẦN II TÓM TẮTLÝ THUYẾT 1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong(C): y = f(x) vàM(x0; f (x0)) ) (C  kí hiệu M’(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C) y f(x) M, M f (x0) T O x0 x x Đường thẳng MM’là một cát tuyến của ( C). thì M’(x; f(x)) Khi x → x 0 di chuyển trên ( C) tới M(x0; f (x0)) và ngược lại.Giả sử MM’có vịtrí giới hạn, kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của( C) tại M. Điểm M được gọi là tiếp điểm Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phươngtrình tiếp tuyến tạitại M(x0;y0) có dạng: y=f’(x0).( x -x0) + y0  (C ) Với:f’(x0)là hệ số góc của tiếp tuyến và y0= f (x0) Chú ý: Dạng bài: Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến y = (x ) f với (C)tại một điểm .  ( ; ) ( ) M x y C o o o Phương pháp giải: - Tính . ( ' x ) f - Tính hệ số góc của tiếp tuyến . k = ( ' ) f ox - Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C)tại điểm là: ( ; ) M x y o o o − = − ( ' )( ) y y f x x x o o o 2 https://topdalat.vn/

3. PHẦN III BÀI TẬP ÁP DỤNG A. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài tập 1. Cho hàm số có đồ thị (C).Viết phương = = + − + 3 2 ( ) 2 15 12 y f x x x x trình tiếp tuyến với (C)tại điểm A(2; - 2)(C). Giải = + −  = 2 ( ' ) 3 4 15 ) 2 ( ' 5 f x x x f Phương trình tiếp tuyến với (C)tại A có dạng: + = x − 2 ( 5 − ) 2 y x  = 5 12 y 1 1 Bài tập 2. Cho hàm số: . Viết phương trình tiếp tuyến với = + + 4 2 1 ( ) y x x C 4 2 7. (C)tại điểm có tung độ bằng 4 Giải 7 1 1 Gọi xolà hoành độ tiếp điểm  ta có . = + +  =  4 0 2 0 1 1 x x ox 4 4 2 −  7 phương trình tiếp tuyến tại +Với là: =  =     1 ) 1 ( ' 2 ; 1 xo f M 1 4 7 1 − = ) 1 −  = − ( 2 2 y x y x 4 4 −  7 phương trình tiếp tuyến tại +Với là: = −  ) 1 − = −     1 ( ' 2 ; 1 xo f M 2 4 7 1 − = ( 2 − ) 1 +  = − − 2 y x y x 4 4 Nhận xét 1: Bài tập 1 khi đã cho hoành độ và tung độvì vậy viết phương trình tiếp tuyến là tương đối đơn giản, học sinh chỉ cần tính đạo hàm vàtìm hệ số góc của tiếp tuyến, Đến bài tập 2thì độ khó đã tăng nênđầu bài chỉ cho tung độ chúng ta cần hướng dẫn học sinh tìm hoành độ rồi quay về bài tập 1,ngoài ra bài tập 2 còn có thể cho biết hoành độ chúng ta phải tìm tung rồi mới viết phương trình 3 https://topdalat.vn/

4. 1 1 tiếp tuyếncụ thể như sau((Cho hàm số: . Viết phương trình = + + 4 2 1 ( ) y x x C 4 2 tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng -2 )). Các bài tập tương tự Bài tập 3: + − 2 1 x 1. Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng = y 1 x 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Giải + − Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của 2 1 x  x = 2 = 5 1 x Phương trình tiếp tuyến : y –5 = y’(2)(x – 2)  y = -3x + 11 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B. A (0; 11); B ( 11 3; 0); SOAB = 1 1 3 2 121 6 OAOB = (đvdt) . 2 3 2 2.Cho hàm số +có đồ thị (C).Viết PTTT của đồ thị (C ) tại = = − 4 2 ( ) f x y x x điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0 3. Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2 có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm x0là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6 4.Cho hàm số y = f(x) = 2 3 x + − 1 x có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0là nghiệm phương trình f’(x0) = 7 + − 3 1 x x Bài tập 4.Cho hàm số có đồ thị (C). = y Cho hai điểm A, B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB . , tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại  ( , ) ( ) C M x y 0 0 Giải 4 1) − + − − − 3 1 4 − x x , ,   = =  = ' ( , ) ( ) C 0 M x y y y k 0 0 o 2 2 ( ( 1) x x 0 0 tiếp tuyến tại M có dạng (d) : 4 ( ( 1) x − Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . + − + − − − − 2 0 ( 3 1 5 − 3 4 − 4 − x x x x = − +  = − +  = + ) ( ) 0 0 1) y x x y y x x y x 0 0 0 2 2 2 2 ( 1) ( 1) x x x 0 0 0 0 0 4 https://topdalat.vn/

5. suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 2 0 2 0 0 ( 1) ( 1 x =  Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ : 2 0 0 2 2 0 0 ( 1) ( 1) 1 y =  1 2 1 2 2 7 1 1 2 2  Nhận xét 2: Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp, đầu tiên ta phải giải tích được điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa là =     + − −      1 x 5 − 3 4 − x x = + 0 1) y x + − 7 1 x x   + − 2 (1, ) 0 A x x 7 1 x x = 0 y 0 0     + − − 5 − 3 4 − x x = + = = −    2 1 1 y x x y x 0   − (2 1,1) B x x x 0 + − +       x x x = = = 0 x x A B 0 M (đpcm) − − Nhận xét :  x x à trung diem AB M l + 0 + − + 3 1 x x y y = = = 0 0 y A B M 0 + − 3 1 x x .   = ( , ) ( ) C 0 M x y y 0 0 o 0 Phương trình tiếp tuyến được viết theođiểm Xác định các tiệm cậnđứng và tiệm cận ngang của đồ thị, sau đó tìm giao điểm của tiếp tuyến với các tiệm cậnbằng cách giải hệ phương trình tìm ra tọa độ các điểm A, B. Bài tập 5. Cho hàm số 1 x + Tìm điểm M ( ) C  sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 .  ( , ) ( ) C M x y 0 0 2 x có đồ thị (C) = y 4 (ĐH 2007 khối D) Giải 2 2 + x + , =  → = ' ( , ) ( ) C y 0 M x y y 0 0 0 2 ( 1) x 1 x 0 Tiếp tuyến tại M có dạng : 2 0 1) 2 2 2 + 2 + x + x + = − +  = − +  = + '( )( y x ) ( ) ( ) d 0 y x x y y x x y x 0 0 0 0 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( x x x x 0 0 0 0 tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 2 1) 0 y =  Gọi      Gọi    =  =  ( ) d 2 1) + x A O 2 0 x + = +  = −  2 0 y x x x   − 2 0 2 2 ( ,0) A x ( 0 B ( x x 0 0 = y tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : 2 0 2 1) ( y x =  =  ( ) d 2 1) + y O 2 0 x + = + = y x   x 2 0 1) 2 0 1) 2 x + x +   2 2 (0, ) B ( 0 ( x x 0 0 2 2 ( x 0 0 x 5 https://topdalat.vn/

6. 2 0 1) 2 0 1) 2 2 x + x + ; OB = Tam giác OAB vuông tại O ; OA = = − = 2 0 2 0 x x 2 2 ( ( x x 0 0 Diện tích tam giác OAB : S = 1 2 OA.OB = 4 0 1) 2 1 2 ( 1 4 x + =  = + 4 0 2 . 4 ( 1) x x 0 2 x 0     1 2         = = − + − + 1 0 − = + 2 0 2 0 2 0 2 0 = −  = − 2 1 − 2 x x x x 2 x y 0 0 x    0 0 2 1 2 1 1( ) x x x vn =  = 1 1 x y 0 0 0 0 1 2 Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : − ; 2) − ( ; (1,1) M M 1 2 Nhận xét 3: như bài tập 4, nhưng sau khi tìm được tọa độ các điểm A, Bchúng ta phải nhận xét được tam giác OAB có đặc điểm gìđể có thể tính được diện tích một cách nhanh nhất.Cụ thể trong bài này thì tam giác OAB là tam giác vuông tại O vì vậy diện tích tam giác OAB là S = 1 2 OA.OB Bài tập 6.Cho hàm số 3 1 y x x = − + có đồ thị (C), và điểm tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm hoành độ điểm B theo Giải Điểm 0 0 ( , ) A x y  (C) 0 0 y x  = − Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng : ' 2 0 0 0 0 0 ( )( ) (3 3)( ) y y x x x y y x x x = − +  = − − + phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : 3 2 3 3 0 0 0 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( ) 0 ( ) 2 2 0 x x x x = − + =   Vậy điểm B có hoành độ 0 2 x = − Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp và cách giải tương tự ( , A x y (C) , tiếp 3 ) 0 0 0x + , − = −  = ' 2 ' 2 0 3 3 1 3 3 ( ) 3 3 x y x y x x 0 0 − +  = − − ) 2 − + 3 0 2 0 3 0 3 1 (3 3)( 1 ( ) x x y x x x x d 0 0 −   + = − − − = − +  − + =  − + = 2 0 3 0 2 3 2 0 ( ) ( 2 ) x 0 x x x x x x x x x x x x x 0 0 =   2 x x x x 0    0 x x 0 0 0 B x Nhận xét 4: Đây là bài tập thuộc dạng quen thuộc vì ( , A x y  (C) +  = − 3 0 3 1 ) y x x 0 0 0 0 ta vẫn làm theo các bước thông thường - Tính . ( ' x ) f - Tính hệ số góc của tiếp tuyến . k = ( ' ) f ox - Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm là: ( ; ) M x y o o o − = − ( ' )( ) y y f x x x o o o 6 https://topdalat.vn/

7. Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ta sẽ được hoành độ điểm B, chú ý là hoành độ của điểm A phải khác hoành độ của điểm B. 2 4 1 x + Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chưng minh rằngdiện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. Giải ( ) ; 1 1 a +   − x = Bài tập 7. Cho hàm số có đồ thị (C) y −     2 4 a  − M a C a Gọi − + 6 +    2 4 a a )( 1 ) = − + y x a Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( 2 1 a − +    2 10 1 ) a a 1;2 − x = − là 1; 1 A Giao điểm với tiệm cận đứng y = là ( a+ 2 2 B Giao điểm với tiệm cận ngang Giao hai tiệm cận I(-1; 2) 12 ; 1 a + Suy ra đpcm Bài tập 8. Cho hàm số 1 2 1 2 ( ) ( ) = = +  = = .24 12 = 2 1 . IA IB a S IA AB dvdt IAB − − 2 x 1 x có đồ thị (C) = y 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C)tại điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Giải *Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 ( ; ( M x f x 0 0 0 '( )( ) ( y f x x x f x = − + Hay 0 0 0 ( 1) 2 2 1 0 x x y x x + − − + − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 2 2 2 1 ( 1) x + − giải được nghiệm 0 0 x = và 0 2 x = *Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0 x y + − = và 1 2 + x Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ là lớn nhất có phương trình  )) ) ( ) C 2 2 − x  = 0 4 0 x y + − = 5 0 − x Bài tập 9. Cho hàm số có đồ thị (C) = y 1 tới tiếp tuyến của (C) tại M (− ; 1 ) 2 I 7 https://topdalat.vn/

8. Giải   3 + Thì phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị là     Gọi −  ; 2 ( ) M x C 0 1 3 + x 0 3 + hay − − ) 1 + − − ) 1 + = − + = − 2 ( 3 ) ( ( ) 2 ( 3 0 2 ( ) x x x y x y x x 0 0 0 0 2 1 ( ) 1 I + x x 0 0 Khoảng cách từ 1 ( 3 − − = d tới tiếp tuyến là: 1 6 + + x ) 2 ; 1 (− ) 1 − + ) ( 3 x x x 6 . = = 0 0 0 ( ) 9 4 4 + + 9 ( ) 1 9 1 x + ) 1 + 2 ( x 0 0 0 ) 1 + 2 ( x 0 9 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: , + ) 1 +  = 2 ( 2 9 6 x 0 ) 1 + 2 ( x 0 Vậy Khoảng cách d lớn nhất là bằng6 khi ( ) 1 ( ) 1 ( 0 + x Có hai điểm M thỏa mãn là M : .  6 d 9 ) . 2 = +  + =  = ( − −  2 1 3 1 3 x x x 0 0 0 2 ) ( ) + − − − + 1 2 ; 3 3 1 2 ; 3 3 M M hoÆc Nhận xét 5: Bài tập 9 là mở rộng của bài tập 8,chỉ khác nhau ở chỗ là bài tập 9 sau khi tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳngchúng ta phải lập luận tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. sao cho khoảng cách từ (− ; 1 ) 2 I Cách 1: chúng ta sử dụng bất đẳng thức Côsi như trên. Cách 2: chúng ta sử dụng đạo hàm bằng cách đặt ẩn phụ như sau 3( 1 ) 3( 1) 6 1 x x x d x x + + + + − − − + + + 2 6 ( 1) + x = = = 0 0 0 0 x ( ) 9 ( + 4 4 4 9 ( 1) 1) 9 1 0 0 0 + 2 ( + 1) + x = 0 d 4 9 ( 1) x 0 Đặt t = (x0 + 1)2, với Ta xét hàm số t  t t + 0 trên  ) 0;+ = ( ) f t 2 9 Tính đạo hàm rồi kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên chúng ta sẽ được kết quả cần tìm. 8 https://topdalat.vn/

9. B. CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG: Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k − + 1 1 x x Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số = y góc bằng 2. Giải =   0 x x 2 +  + = = − 2 = 2 => 2 0 x x + + 1) 1 = = 2 ( 2 ' x x y ( ) 2 2 1 x Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3) Hai phương trình tiếp tuyến: − − 3 = + = − và 3 9 y x 1 y x − + 3 1 x x Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) = C : biết tiếp tuyến song y + 2 = − − . song với : 7 1 d y x Giải =   0 x x − 7 + 1 = − = −  = Ta có ( 7 1 ) ( ) 2 2 1 + 2 1 2 1 x x 0 0 = − + = − − 7 3, 7 3 y x y x Có hai phương trình tiếp tuyến − +có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp 3 2 Bài tập 12.Cho hàm số y=x 3 2 x  − − = :3 5 4 0 x y tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Giải 3 5 k= Đường thẳng có hệ số góc . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với 5 3 dk = − đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình :   1 3 5 3 = x 1 5 3 5 3 = −  − = −  − + =  2 2 ' 3 6 y x x 9 18 5 0 x x   = x 2 x xvào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp 5 61 3 7 3 7 , Thay lần lượt 1 2 5 31 = − + = − − và y x y x tuyến là: 9 https://topdalat.vn/

10. Nhận xét 6: Các bài tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung một cách làm và đối với bài toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k. Cách làm -Tìm hoành độtiếp điểm vì f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến và y0= f (x0) - Tìm tung độ của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến khi đã cho hệ số góc - Chú ý: mối quan hệ giữa hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 Hai đường thẳng song song với nhau khi a1 = a2 và b1 khác b2 Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi a1. a2 = -1 10 https://topdalat.vn/

11. Bài toán 2.Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm ( ) A a bcho trước. Viết ; phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) = − + . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ 3 2 Bài tập 13.Cho hàm số 3 2 y x x 23 9 ; 2) − ( A thị từ điểm Giải Đường thẳng d đi qua điểm Avà có hệ số góc là k có dạng     23 9 = − − 2 (*) y k x   Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm 23 3 2 2 9 3 6 x x k − =  2 0 1 5 3 3 3 9 3 6 x x k − =                     23 9 − + = − − − + = − − − 3 2 (3 6 ) x 2 x 3 x 2 k x   x 3 x 2 x 2 x  − = 3 6 2 2 x x k    =        =  x =      =  k x  = −  k = x k 2 Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là 5 3 61 27 = − = − + = − : 2, : và 3: 9 25 d y d y x d y x 1 2 1 3 3 Bài tập 14.Cho hµm sè = − + 4 2 3 ( ) ; 0 ( A ). y x x C . ViÕt pttt cña (C) ®i qua 2 2 2 Gi¶i 3 cã d¹ng: 3 = + ; 0 ( A ) ( ) y kx d Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua 2 2 §-êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:  + = + − kx x x 2 2 2 3 1 3 3 4 2 3  cã nghiÖm.  − = 2 6 x x k =  0 x  − =  = 4 2 3 6 0 2 x x x Suy ra    = − 2 x 3  k = = 0 . y +) Víi x = 0 . Pttt lµ: 2 11 https://topdalat.vn/

12. 3 =  = − = − + 2 2 2 2 2 . x k y x +) Víi . Pttt lµ: 2 3  k = + 2 2 2 2 2 x +) Víi x= - . Pttt lµ: y = . 2 3 ; 0 ( A ) KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®Õn ®Õn thÞ (C). 2 3 3 3 = = − + = − + . 2 2 . 2 2 . y y x y x 2 2 2 Nhận xét 7: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm ( ) ; A a bcho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua điểm A Cách giải ( ) = − + (*) y k x a b Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm ( ) ( ) ( ) f x k =  = − +   f x k x a b / ( ) = − + (*) y k x a b Giải hệ phương trình trên ta tìm được k, thay k vào 12 https://topdalat.vn/

13. Bài toán 3. Áp dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm vào chứng minh bất đẳng thức . 3 4 Bài tập 14.Cho  − và a + b + c = 1. a,b,c a b c 9 Chứng minh rằng: + +  2 2 2 + + + 10 a 1 b 1 c 1 Giải •Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến •Bất đẳng thức đã cho có dạng ( ) M + +  ( ) f b ( ) f c f a •Xét hàm số 2 − x 1 x (x       3;3 4 ta có f (x)  với = = f(x)  − x 2 2 2 + + x 1 1) 1 3 = là Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x 18 25 3 = + y x 50 Ta chứng minh rằng : 18 ( ) 25       3 3 4  +   − x ;3 f x x 50 − − + 2       18 25 3 (3 1) (4 x 3) 3;3 4 x x xét luôn Thật vậy : − + =    − x ( ) ( f x ) 0 x + 2 50 50( 1) đúng. Do đó với a,b,c thuộc       và a+b+c = 1 ta có : 18 ( ) 1 + b 18 ( ) 25 3;3 4 − 18 25 3 3 18 25 3 a b c =  + =  + =  + ( ) f a , , ( ) f c a f b b c + + 2 2 2 1 50 c 25 50 1 50 a c 9 3 18 25 9 50 a b  + +  + + a b c + = + = .3 + Bất đẳng thức đã được chứng minh. Bài tập 15. Cho a, b, c > 0. + + 2 2 2 1 1 1 50 10 a b c 2 2 2 + + + + + + + + (2a 2a b c) (b c) + (2b c a) 2b + Giải (2c a 2c b) b) + Chứng minh rằng: + +  8 2 2 2 2 2 2 (c a) + (a •Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến •Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng ( ) M + +  ( ) f b ( ) f c f a Ta biến đổi như sau : Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3 13 https://topdalat.vn/

14. và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 BĐT đã cho trở thành 2 2 2 + + + (a 3) (3 a) + (b 3) (3 b) + f a 6x 9 6x 9 − + (c 3) (3 c) + ( )  f c + +  8 2 2 2 2 2 2 − − − 2a 2b 2c + •Bất đẳng thức đã có dạng ( ) M + ( ) f b 2 + + x với x  (0; 3) Xét hàm số = = y f(x) 2 3x 2 − + − 4(2x 3(x 3x 9) 2x 3) + f (x)  = 2 2 − 4 3 + 4 3 + Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: = y x 2 2 + − + + − − +       4 3 + 4 3 3x 3x 4 3 6x 9 6x 9 4 , 3 4 3 4 3 (4x 3)(x 1) 3(x 2x 3) − 4 4 b 3 3 Xét − + = − − =    f(x) x x 0, x (0;3) 2 2 2 2 2 + + (a 3) (3 a) + (b 3) (3 b) + 2 (c 3) (3 c) + − (c 3) (3 c) + 4 4 4 3 4 3 4 3 Từ đó ta có:  +  +  + a , c 2 2 2 2 2 2 − − − 2a 2 2b 2c 2 + + + (a 3) (3 a) + (b 3) (3 b) + 4 3 đpcm Vậy + +  b c) 3. + + + = + = (a 8 2 2 2 2 2 2 − − 2a 2b 2c Nhận xét 8: Bài tập 14, 15 là dạng bài tập về chứng minh một bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành các bước làm như sau: Bước 1: Chọn điểm rơi của bất đẳng thứcnếu đầu bài cho như bài 14, hoặc do vai trò các biến làbình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3 và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 như bài 15 Bước 2:Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng ( ) + + ( ) ..... f c +  ( ) f b f a M Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến củahàm sốy tại điểm rơi, chứng = f(x) minh được bất đẳng thức. Bài tập tương tự = 2 2 2 1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện + + a b c 1 a + b + c + 3 3 2 + +  CMR: 2 2 2 2 2 2 b c c a a b 14 https://topdalat.vn/

15. 2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1 1 3 3 3. Cho x,y,z > 0 và x y z 1 + +  .       1 1 3 a 3 b 3 c 3 + +  + + 3 Chứng minh rằng : a b c a b c 1 x + 1 y b c + 1 z 2 2 2 + + + + +  x y z 82 Chứng minh rằng : 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 6 5 a b + c + a + c a + b + + + + +  4.Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c 15 https://topdalat.vn/

16. PHẦN IV THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Kết luận Học xong chương trình lớp 11 học sinh cơ bản đã viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc. Đến lớp 12 học sinh mới được học viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm. Đasố học sinh còn chưa phân biệt được hay nói cách khác là còn nhầm lẫn giữa các dạng phương trình tiếp tuyến cơ bản với nhau. Học sinh thường hay nhầm lẫn mặc định khi điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị thì đó là tiếp tuyến tại một điểm.Sau khi đã hướng dẫn các em phân chia các loại của phương trình tiếp tuyến thì đa số các em không còn sự nhầm lẫn và đã phân biệt và trình bày bài làm khá tốt kể cả các bài phương trình tiếp tuyến trong cácđề thi đại học và các đề thi thử đại học. Thờigian áp dụng: Học kì I năm học 2013- 2014 Phạm vi: Lớp 12A2 Kết quả trước khi áp dụng: Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu Líp SÜ sè SL % SL % SL % SL % 61,9 % 12A2 38 1 2,6% 4 10,5% 8 25% 25 Kết quảsau khi áp dụng: Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu Líp SÜ sè SL % SL % SL % SL % 12A2 38 10 26% 14 36,8% 12 32% 2 5,2% 16 https://topdalat.vn/

17. PHẦN V TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12. 2. Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12. 3. Bài tập giải tích cơ bản 12. 4. Bài tập giải tích nâng cao 12. 5. Các đề thi ĐH - CĐ và các đề dự bị môn toán của BGD& ĐT. PHẦN VI PHỤ LỤC TT Nội dung Trang 1 Trang bìa 1 2 Phần I. Mở đầu 2 3 Phần II. Tóm tắt lí thuyết 3 4 Phần III. Bài tập 4- 15 5 Phần IV. Thời gian áp dụng và hiệu quả 16 6 Phần V.Tài liệu tham khảo 17 7 Phần VI. Phụ lục 17 17 https://topdalat.vn/

18. KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 18 https://topdalat.vn/