Download
1 / 43
E N D
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICASUNIDAD DE POSGRADO CURSO PRE-MAESTRÍA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA BIOESTADÍSTICA Probabilidades Dra. Ilse Janine Villavicencio Ramirez
Probabilidad Definición • Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. • Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre en la ocurrencia de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
Probabilidad • Los eventos futuros no pueden predecirse con absoluta seguridad, solo se puede llegar a aproximaciones de la ocurrencia o no del evento. • La técnica probabilística encuentra un valor entre 0 y 1, que es la probabilidad la que nos indicará: • si es cercano a uno, es casi seguro que ocurrirá tal evento, • caso contrario se aproximará a cero, esto indica que es muy posible que dicho evento no ocurra.
Experimento Aleatorio () • Es todo experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza. Ejemplos: 1: Lanzar una moneda 2 veces y registrar los resultados. 2: Lanzar un dado y registrar el resultado. 3: Observar el tiempo de vida de un componente eléctrico. 4: Lanzar un dado hasta obtener un 6 y registrar el número de lanzamientos requeridos. 5: Una caja contiene 3 bolas blancas y 5 rojas. Extraer una bola y observar el color.
Experimento Aleatorio () Condiciones de un Experimento aleatorio • Todo experimento aleatorio puede repetirse bajo las mismas condiciones infinidad de veces. • Todos los resultados pueden describirse con anticipación. • Si el experimento es repetido un gran número de veces, aparece un modelo de regularidad.
Espacio Muestral () Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los espacios muestrales pueden ser finitos o infinitos. Los espacios muestrales infinitos pueden ser clasificados a su vez en numerables y no numerables. Ejemplos: 1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)} 2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 ={t R / t > 0} 4 ={1, 2, 3, 4, . . . } 5 ={blanca, roja}
Punto Muestral () • Es cada resultado de un experimento aleatorio. Ejemplos: 1 =(c, c) 2 = 2 3 = 125.36 horas 4 = 9 5 = blanca
Evento o Suceso • Es un subconjunto del espacio muestral. Se les representa con letras mayúsculas. • Tipos de eventos: • Evento simple o elemental. Contiene sólo un elemento del espacio muestral. • Ejemplo: • En el experimento 2, lanzar un dado y registrar el resultado, • A = {2} es un evento simple.
Tipos de Evento • Evento compuesto. Contiene 2 ó más elementos del espacio muestral. • Ejemplo: A = {2, 5} • Evento seguro o universal. Es el espacio muestral. • Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Evento imposible o vacío. No contiene ningún elemento del espacio muestral. • Ejemplo: A = { }
Tipos de Evento • Eventos mutuamente excluyentes. Dos eventos A y B definidos sobre un espacio muestral son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes; es decir, si no pueden ocurrir simultáneamente. (A B = ). Ejemplo: En el experimento 1, lanzar una moneda dos veces, los eventos A: obtener una cara y B: obtener dos caras son mutuamente excluyentes.
Tipos de Evento • Eventos Colectivamente Exhaustivos. Dos eventos A y B definidos sobre un espacio muestral son colectivamente exhaustivos si son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral. (A U B = ). Ejemplo: En el experimento 1, lanzar un dado y registrar el resultado, los eventos A = {1, 2} y B = {3, 4, 5, 6} son complementarios.
Técnicas de Conteo • Principio de multiplicación. • Supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido de 2 se puede hacer de n1n2 maneras. Ejemplo: Un hombre tiene 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 camisas. ¿De cuántas maneras distintas puede combinar su ropa para vestirse?
Técnicas de Conteo • Principio de adición. Supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces el número de maneras en que se puede hacer 1 ó 2 es n1 + n2. Ejemplo: Un hombre tiene 3 jeans, 4 pantalones de dril y 2 pantalones de lanilla. ¿De cuántas maneras distintas puede escoger un pantalón para ir a trabajar?
Técnicas de Conteo • Factorial. El factorial de un número n de define de la siguiente manera: n! = n(n-1)(n-2) . . . (2)(1) con 0! = 1 Ejemplo: 5 alumnos se van a sentar en una fila con 5 carpetas. ¿De cuántas maneras distintas pueden ser ubicados los alumnos?
Técnicas de Conteo • Permutaciones. Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición de tales elementos de acuerdo a un orden definido. El número de permutaciones de n elementos tomados r cada vez (de r en r) es dado por: Ejemplo: ¿Cuántas señales con 3 banderas pueden formarse con 8 banderas de distinto color?
Técnicas de Conteo • Combinaciones. Una combinación de un conjunto de elementos es una selección de tales elementos sin tener en cuenta su orden. El número de combinaciones de n elementos tomados r cada vez (de r en r) es dado por: Ejemplo: El profesor de una clase de 20 alumnos desea escoger al azar un grupo de 3 para que rindan un examen oral. ¿Cuántos grupos distintos de 3 alumnos puede seleccionar el profesor?
Técnicas de Conteo • Permutaciones de elementos semejantes. Viene a ser el conjunto de permutaciones o disposiciones distinguibles que se pueden formar cuando algunos elementos son semejantes. El número de permutaciones de n elementos de los cuales son iguales entre si: n1, n2, ...nk (n = n1 + n2 + ... + nk) respectivamente, es dado por: Ejemplo: ¿Cuántas señales con 8 banderas pueden formarse si 3 son amarillas, 3 rojas y 2 azules?
Ejercicios ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las figuras blancas (2 caballos, 2 torres, 2 alfiles, el rey y la reina) en la primera fila del tablero de ajedrez? Los números de automóviles de cierta ciudad están formados por dos letras y cuatro cifras impares. Hallar la cantidad total de estos números, si se utilizan las 27 letras del alfabeto. De A a B hay 6 caminos y de B a C hay 4 caminos. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B? ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las letras a, b, c, d, e, f, de modo que c y d estén siempre juntas? ¿De cuántas maneras de modo que c y d nunca este juntas?
Ejercicios Cinco políticos se encuentran en una sesión. ¿Cuántos saludos de mano intercambian si cada político estrecha la mano de todos los demás sólo una vez? ¿De cuántas maneras se pueden colocar a 12 personas en tres habitaciones si la primera puede contener a 2, la segunda a 6 y la tercera a 4? Una persona tiene 6 amigos y desea invitar a su casa a 3 de ellos cada día, de modo que el grupo no se repite ni una sola vez. ¿Durante cuántos días podrá invitar a sus amigos? De un grupo formado por 7 hombres y 4 mujeres hay que escoger 6 personas de forma que entre ellos haya no menos de 2 mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la selección?
Probabilidad Definición clásica o a priori • Si un experimento aleatorio tiene n() puntos muestrales mutuamente excluyentes e igualmente posibles, y si n(A) de estos puntos muestrales presentan una característica tal como A, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A es:
Probabilidad Ejemplo • Para cubrir 6 puestos de trabajo se han presentado 7 hombres y 4 mujeres. Si la selección es al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una sola mujer sea elegida en el grupo de 6? • Una bolsa tiene 8 bolas blancas y 5 negras. Se extraen al azar 4 bolas. • Si la selección es con reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que 3 bolas blancas y 1 negra sean extraídas? • ¿Si la selección es sin reemplazo?
Probabilidad Definición de probabilidad a partir de frecuencias relativas o a posteriori Si un experimento aleatorio se repite n veces bajo las mismas condiciones y nA resultados están a favor de un evento A, la frecuencia relativa del evento A es: y la probabilidad del evento A es: En este caso, la frecuencia relativa del evento A proporciona una estimación de la probabilidad real del evento A.
Probabilidad Ejemplo • Una moneda es lanzada 1000 veces y se obtienen los siguientes resultados: Cara 440 veces y Sello 560 veces. Entonces, la frecuencia relativa del evento A = {cara} es 0.44, pero la probabilidad verdadera de A, en caso la moneda sea balanceada es 0.5.
Probabilidad Definición Axiomática Sea un experimento aleatorio, su espacio muestral y A un evento cualquiera de . Un número real P(A) es llamado la probabilidad de ocurrencia del evento A, si satisface las siguientes condiciones (axiomas): 0 < P(A) < 1 P() = 1 Sean A1, A2, ... Ak, k eventos mutuamente excluyentes de , entonces:
Teoremas de Probabilidad • Teorema 1. La probabilidad de un evento imposible es cero. P(Ф) = 0. • Teorema 2. (Teorema del evento complementario). P(A’) = 1 – P(A) • Teorema 3. Si A y B son dos eventos tales que AcB, entonces P(A) < P(B). • Teorema 4. (Teorema de la adición). Si A y B son dos eventos de un espacio muestral entonces: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Si A y B son además mutuamente excluyentes, entonces: P(AUB) = P(A) + P(B).
Teoremas de Probabilidad Ejemplo En un grupo de personas el 20% ha hecho un post grado, el 60% tiene hijos y el 10% tiene post grado y tiene hijos. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad que tenga un post grado o que tenga hijos? Teorema 5. (Teorema de la adición de 3 eventos). Si A, B y C son 3 eventos de un espacio muestral entonces: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) Nota: Los teoremas 4 y 5 pueden ser generalizados para la unión de n eventos.
Teoremas de Probabilidad Leyes de Morgan (A U B)’ = A’∩B’ (A ∩ B)’ = A’UB’ Ejercicios • La probabilidad de que el sábado un alumno vaya al cine es 0.25, de que haga deporte 0.2 y de que haga ambas cosas 0.08. • ¿Cuál es la probabilidad de que vaya al cine o haga deporte? • ¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte pero no vaya al cine? • ¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte o no vaya al cine?
Teoremas de Probabilidad Ejercicios • El encargado de control de calidad de una fábrica ha seleccionado 200 artículos producidos durante un día y encontró que 10 artículos tienen fallas de tipo A, 10 tienen fallas de tipo B, 12 de tipo C, 2 tienen A y B pero no C, 3 tienen fallas de tipo A y C pero no B, 5 tiene de tipo B y C pero no A y un artículo tiene las tres fallas. Estimar la probabilidad de que un artículo seleccionado al azar: • No tenga fallas de tipo A. • Tenga fallas de tipo A o B. • Tenga A pero no C. • Tenga B o no tenga C. • No tenga A o no tenga B. • No tenga A ni B. • Tenga sólo 2 fallas.
Teoremas de Probabilidad Ejercicios • Decir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: • Si P(A) + P(B) = 1 entonces A ∩ B = Ф. • Si P(A) = P(B’) entonces A’ = B. • Si P(A) = 0 entonces A’ = Ф. • Si P(A) = 0 y P(B) = 1, entonces P(A ∩ B) = 0.
Probabilidad Condicional Sea B un evento no vacío de Ω, tal que P(B) ≠ 0. Entonces la probabilidad condicional de que ocurra un evento A dado que ha ocurrido el evento B es: Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2?, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 si se sabe que el dado está cargado y sólo muestra números pares?
Probabilidad Condicional Axiomas de Probabilidad Condicional 0 < P(A|B) < 1 P(Ω | B) = 1 Si A1, A2, ... Ak son eventos mutuamente excluyentes entonces:
Probabilidad Condicional Teoremas de Probabilidad Condicional • Teorema 1. P(Ф | B) = 0. • Teorema 2. P(A’|B) = 1 – P(A|B) • Teorema 3. Si A1 y A2 son dos eventos tales que A1cA2, entonces P(A1|B) < P(A2|B). • Teorema 4. Si A, B y C son 3 eventos de un espacio muestral Ω entonces: P(AUB|C) = P(A|C) + P(B|C) – P(A∩B|C). Nota: El teorema 4 puede ser generalizado para la unión de n eventos.
Probabilidad Condicional Regla de Multipliación • Si A1 y A2 son dos eventos asociados pertenecientes a un espacio muestral Ω, entonces: P(A1∩A2) = P(A1) P(A2|A1) = P(A2) P(A1|A2) Demostración: A partir de la definición de probabilidad condicional. • La regla de la multiplicación puede ser generalizada para k eventos. Si A1, A2, . . . Ak son eventos pertenecientes a un espacio muestral Ω, entonces: P(A1∩A2 ∩ . . . AK) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ∩ A2) . . …...P(Ak|A1 ∩ A2 ∩. . .Ak-1)
Probabilidad Condicional Ejemplo • Al preguntar a un grupo de amas de casa que compran carne por el tipo de carne que compran mensualmente se obtuvo la siguiente información: El 50% compran carne de res, el 30% no compran carne de pollo y el 60% de las que compran pollo no compran carne de res. Si se elige aleatoriamente un ama de casa que compra carne, cual es la probabilidad que compre pollo, si se sabe que compra carne de res.
Partición Definición Los eventos A1, A2, . . . AK constituyen una partición de un espacio muestral si: para todo i=1,2,…., k para todo i diferente de j
Teorema de la probabilidad total Sean A1, A2, . . . AK cualquier partición de un espacio muestral y sea B un evento cualquiera de dicho espacio muestral, entonces la probabilidad del evento B es:
Teorema de Bayes Sean A1, A2, . . . AK cualquier partición de un espacio muestral y sea B un evento cualquiera no nulo de dicho espacio muestral, entonces se tiene que: El teorema de Bayes puede deducirse a partir de la definición de probabilidad condicional, la regla de la multiplicación y el teorema de la probabilidad total.
Ejemplo Una fábrica tiene 3 máquinas (M1, M2 y M3) que producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del total de artículos. Se sabe que el 5% de los artículos producidos por M1, el 10% de los producidos por M2 y el 20% de los producidos por M3 son defectuosos. Si se selecciona un artículo al azar de la producción de un día: • ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? • ¿Si el artículo seleccionado es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina M1?, ¿por M2?, ¿por M3?
Independencia de eventos Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Luego, si A y B son dos eventos independientes se cumple que: • P(A|B) = P(A) • P(B|A) = P(B) • P(A B) = P(A) P(B)
Independencia de eventos Si en general A1, A2, . . . AK son eventos independientes, entonces: P(A1 A2 . . . AK)= P(A1)P(A2) … P(AK) Teorema Si A y B son dos eventos independientes, entonces: A’ y B’ son independientes. A y B’ son independientes. A’ y B son independientes.
Ejemplo Juan, Luis y Manuel son tres amigos que suelen llegar tarde a clase. El profesor ha determinado que Juan llega tarde al 30% de las clases, Luis al 50% y Manuel al 60%. Para un día cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que sólo uno de los tres llegue tarde?
Ejercicios En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma sin haber peligro es 0.03. Hallar: • La probabilidad de que la alarma funcione cuando en realidad no hay peligro. • La probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione. • La probabilidad de que la alarma no funcione cuando en realidad hay un peligro.
Ejercicios Tres personas deben elegir a uno de ellos para una misión arriesgada. Para ello toman una urna con dos bolas blancas y una negra y extraen cada uno sucesivamente una bola sin reemplazo. El elegido será el que escoja la bola negra. Demuestre que todos tienen la misma probabilidad de que les toque, sea cual sea el orden en que efectúen las extracciones
