Sai lầm của HS khi tính giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích 11

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành Giáo dục TP. Cần Thơ. 1. Tên sáng kiến: Một số sai lầm của học sinh khi tính giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT Trung An năm học 2017- 2018 2. Quyết định Sáng kiến được công nhận tại quyết định số 28/QĐ – THPTTA ngày 02/04/2018 của Hiệu trưởng trường THPT Trung An. 3. Tác giả sáng kiến: Số TT 1 Ngày tháng năm sinh 26-08-1988 Chức vụ, đơn vị công tác Giáo viên trường THPT Trung An Trình độ chuyên môn Đại học phạm Toán Họ và tên Võ Thị Hồng Nga sư 4. Thời điểm sáng kiến được áp dụng: năm học 2017 – 2018 5. Nội dung sáng kiến: Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học, công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa,Sinh,….Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháplàm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Trong chương trình đại số và giải tích lớp 11, chương giới hạn đã được giảm tải rất nhiềunhưng để hiểu đúng bản chất và làm được những bài toán về giới hạn không phải là điều đơngiản. Hơn nữa phần giới hạn là một phần trừu tượng và tương đối khó. Không phải là học sinh của chúng ta không biết cách giải mà là trong quá trình giải các em lại mắc phải các lỗi mà sẽ bị trừ điểm hoặc sẽ không đạt được điểm ở những phần còn lại.Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về giới hạn, biết phân loại được một số dạng toán tính giới hạn, nắm được phương pháp giải cho một số dạng bài tập, từ đó giúp học sinh tính giới hạn dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán giới hạn nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung, và học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập nhỏ, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “Một số https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

2. sai lầm của học sinh khi tính giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT Trung An năm học 2017 – 2018 ”. Sáng kiến này được thực hiện trên cơ sở lý luận và cơ sở pháp lý sau: 1. Cơ sở lý luận a. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1.Giới hạn đặc biệt: 1 lim n n lim n 2.Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì lim n n u v lim n n u v lim . n n u v 1. Giới hạn đặc biệt: lim n 1 k n k lim ( ) ; 0 k lim n 0 ( ) k n lim n q q ( 1) ; lim n c n c q q 0 ( 1) 2. Định lí: 1 a) Nếu lim thì u lim 0 n u b a n b)Nếulim a ,lim thì u nv n b a u v lim 0 n ab . n u v a b c) Nếu lim , lim u a nv 0 0 0 0 lim b , 0 n n av , . , . av n u v thì n lim n b) Nếu n và lim a thì u u 0, n n n n và lim a a 0 u d) Nếu lim ,lim a u nv , , n n c) Nếu n và lim thì nv u v 0 , a a 0 0 n n thì u v lim . n n u lim 0 n * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0, cách khử dạng vô định. d) Nếu lim 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn a thì lim a u u n n , thì phải tìm , 0. u 2 S u u q u q q ... , 1 1 1 1 1 q 1 b. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: 0 x 2. Định lí: a) Nếu 0 x thì: 0 x x 0 x x 0 x x Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: lim x lim x lim x x ; c(c: hằng số) xx xc lim lim x ; k x 0 0 nếu k chẵn k x L và M xf x xg x lim ( ) lim ( ) x nếu k lẻ k x 0 M ( ) f x ( ) g x L lim c x c; lim c lim x 0 k M ( ) f x ( ) g x L lim x 1 x 1 x ; lim x lim x LM ( ). ( ) f x g x lim . 0 0 https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

3. 1 x 1 x f x L M và ( ) ( ) g x f x lim x lim x M lim x , 0 x 0 0 0 2. Định lí: * Nếu L b) Nếu ( ) xf x lim ( ) x 0 và xf x L xg x lim ( ) x 0 lim ( ) x 0 thì và L L 0 ( ) f x lim x L thì 0 0 thì: lim ( ) ( ) x dấu lim ( ) ( ) x dấu *Nếu x 0 nếu L và xg x cùng L c) Nếu xf x g x lim ( ) x f x lim ( ) x x xf x lim ( ) x 0 0 0 0 3. Giới hạn một bên: lim ( ) x x nếu L và xg x trái L xf x g x lim ( ) x f x L f x f x lim ( ) x x lim ( ) x x 0 0 0 0 0 thì: xf x L lim ( ) x 0 0 f x ( ) ( ) g x ( ) ( ) g x ( ) ( ) g x nếu lim x 0 xg x lim ( ) x x 0 0 f x và . ( ) Lg x nếu lim x xg x lim ( ) x 0 0 x 0 0 f x và . ( ) Lg x nếu lim x xg x lim ( ) x 0 0 x 0 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0, khử dạng vô định. , thì phải tìm cách ,0. c.Hàm số liên tục * Hàm số liên tục tại một điểm: x ( ) f xliên tục tại ( ) f x xf x lim ( ) x y 0 0 0 •Để xét tính liên tục của hàm số B1: Kiểm tra 0 x có thuộc tập xác định của hàm số không ? B2: Tính 0 x lim ( ) x x B3: So sánh 0 x * Hàm số liên tục trên một khoảng: * Hàm số liên tục trên một đoạn ; a b : lim ( ) x a •Hàm số đa thức liên tục trên R. •Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. * Giả sử ( ) y f x , ( ) y g x liên tục tại điểm x. Khi đó: •Các hàm số ( ) ( ) y f x g x , ( ) y f x ( ) f xtại điểm xta thực hiện các bước: y 0 xf x và (trong nhiều trường hợp ta cần tính f x , lim ( ) x x ( ) f x lim ( ) 0 0 f x ) 0 xf xvới và rút ra kết luận. ( ) f x lim ( ) 0 ( ) f xliên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. ( ) y f x ) liên tục trên y ; a b và ( ) f b f x f a f x ( ), lim ( ) x b 0 ( ) g x , x . ( ). ( ) f x g x liên tục tại y 0 f x ( ) ( ) g x •Hàm số liên tục tại xnếu y g x 0. 0 0 https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

4. ( ) f xliên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; * Nếu y b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y ; a b và ( ). ( ) thì phương trình ( ) f x liên tục trên y f a f b 0 ( ) f x 0 ( ) f x liên tục trên ; a b . Đặt f x , f x . Khi đó m M min ( ) a b max ( ) a b ; ; T c  (a; b): f(c) = T. m M luôn tồn tại ít nhất một số với mọi 2. Cơ sở pháp lý - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa,định lí đã học trong chương IV "Giới hạn". c a b : ( ) f c ; T ; - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về Giới hạn. - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừanhận. Chúng ta cũng không thể phủ nhận rằng khi học sinh học chương IV “Giới hạn” thường gặp phải những khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa giới hạn. - Không nắm vững phương pháp tính giới hạn dãy số. - Không nắm vững phương pháp tính giới hạn hàm số. - Không nắm vững định nghĩa hàm số liên tục. Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiệnmột số giải pháp như sau: a. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó. - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí. - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng. - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. b. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp... - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ... - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. c. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

5. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy đượchình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. d. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Kiểm tra với 4mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụngthấp– vận dụng cao. Kiểm tra tự luận kết hợp với hình thức kiểm tra trắc nghiệm. - Giáo viên đánh giá học sinh. - Học sinh đánh giá học sinh. e. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy họcsao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầmthường mắc phải khi giải các bài toán về giới hạn. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. f. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản. - Phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Ngoài những giải pháp đó, khi đi vào nghiên cứu thực tế tôi đã đưa ra những sai lầm thường gặp của học sinh thông qua những ví dụ cụ thể. Những sai lầm đó là: + Sai lầm khi vận dụng định nghĩa giới hạn (có 3 sai lầm). + Sai lầm khi vận dụng định lý của giới hạn dãy số (có 2 sai lầm). + Sai lầm khi vận dụng quy tắc tính giới hạn hàm số (có 1 sai lầm). + Sai lầm khi biến đổi giới hạn nhưng không có ngoặc đơn (có 1 sai lầm). + Sai lầm khi biến đổi công thức (có 1 sai lầm). + Sai lầm khi tính giới hạn một bên(có 2 sai lầm). + Sai lầm khi vận dụng sai tính chất (có 1 sai lầm). + Sai lầm vì không đọc kỹ đề bài (có 1 sai lầm). + Hiểu sai bản chất công thức (có 2 sai lầm) + Sai lầm khi hiểu sai định nghĩa hàm số liên tục (có 3 sai lầm). Trên cơ sở phân tích, ta có thể đưa ra một số biện pháp khắc phục như sau: https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

6. -Chuẩn bị kỹ bài giảng, kiểmtra kiến thức và kỹ năng của học sinh thông qua những bài tập cơ bản mà dễ mắc sai lầm. -Kịp thời uốnnắn những sai lầm mà học sinhgặp phải. -Nghiên cứu kỹ các phương pháp dạy học các tình huống điển hình: dạy học định nghĩa, khái niệm, định lý, quy tắc và áp dụng phù hợp với từng nội dung, từng đối tượng học sinh. Bài viết sáng kiến này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về giới hạn và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán giới hạn. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; học sinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. 6. Tính hiệu quả: Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát qua bài kiểm tra 1 tiết tình hình giải bài tập toán ở lớp 11C2 như sau Lớp 11C2 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải được 01 2,6 % Giải sai phương pháp 04 10,5 % Giải đúng phương pháp 33 86,9 % Kết quả kiểm tra: Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến 8 Điểm trên 8 Số lượng 2 29 7 Tỉ lệ (%) 5,3 76,3 18,4 https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/

7. Ở cấp độ trường trung học phổ thông, sáng kiến có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp. Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 11 chưa nhiều năm, song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này. Khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy tôi nhận thấy kết quả nhận biết của các em tăng lên rõ rệt, các em không còn nỗi lo sợ khi làm toán giới hạn mà ngược lại còn rất hứng thú đối với loại toán này. Một chút kinh nghiệm nhỏ bé tôi muốn trao đổi với các thầy cô cùng giảng dạy bộ môn Toán; Mong đón nhận ở các thầy cô lời góp ý, bổ xung để cho bản sáng kiến được hoàn thiện, áp dụng rộng rãi hơn đối với các trường THPT. 7. Phạm vi ảnh hưởng: - Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng trong toàn giáo viên toán ở trường THPT Trung An nói riêng và giáo viên toán ở các trường THPT có điều kiện và hoàn cảnh giống trường THPT Trung An nói chung, nó phù hợp với kiến thức của học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp 11. Cờ Đỏ, ngày 27 tháng 3năm 2018 Người mô tả sáng kiến (Ký và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Võ Thị Hồng Nga https://sangkienkinhnghiemmamnon3-4tuoi.com/