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TEu00d3RICA - Sistemas Hiperestu00e1ticos
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Sistemas HiperestáticosPresentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
…que las estrictamente necesarias, es decir, tiene más movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza sólo con las ecuaciones de equilibrio, sino recurriendo a los esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción, su uso es el más extendido. Ver video Consideraciones Preliminares Es necesario entonces dominar métodos más generales para vencer la hiperestaticidad de sistemas compuestos por barras (para el alcance de este curso, sistemas planos de barras). La diferencia entre el número de reacciones de vínculo (número de incógnitas - NI) y el número de grados de libertad del sistema (número de ecuaciones independientes de la estática - EE) que se pueden plantear para un sistema dado se denomina grado de hiperestaticidad(o grado de indeterminación - GI). (GI representan el número de ecuaciones adicionales necesaria para resolver el problema) Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno…
Es el método más intuitivo, y consiste en que al sistema hiperestático dado se lo libra de las ligaduras externas adicionales y se las sustituye por las acciones correspondientes. Así pues, en este método las incógnitas son fuerzas. (de ahí su nombre) Así, la resolución de cualquier hiperestático por el Método de la Fuerzas comienza por eliminar las ligaduras adicionales. El sistema libre de esta ligaduras, se convierte en un isostático denominado sistema base o fundamental. Consideraciones Preliminares Para cualquier sistema hiperestático se pueden elegir, como norma general, un número infinito de sistemas fundamentales. Una vez eliminadas las ligaduras adicionales y convertido el sistema en un isostático fundamental, es necesario introducir en su lugar las reacciones desconocidas (en las secciones dónde no existen desplazamiento lineales se introducen fuerzas y en las que no existen desplazamiento angulares, momentos). Veamos el Método de las Fuerzas.
Es el método más intuitivo, y consiste en que al sistema hiperestático dado se lo libra de las ligaduras externas adicionales y se las sustituye por las acciones correspondientes. Así pues, en este método las incógnitas son fuerzas. (de ahí su nombre) Así, la resolución de cualquier hiperestático por el Método de la Fuerzas comienza por eliminar las ligaduras adicionales. El sistema libre de esta ligaduras, se convierte en un isostático denominado sistema base o fundamental. Consideraciones Preliminares Para cualquier sistema hiperestático se pueden elegir, como norma general, un número infinito de sistemas fundamentales. Una ves eliminadas las ligaduras adicionales y convertido el sistema en un isostático fundamental, es necesario introducir en su lugar las reacciones desconocidas (en las secciones dónde no existen desplazamiento lineales se introducen fuerzas y en las que no existen desplazamiento angulares, momentos). Por último se plantean las ecuaciones (en término de desplazamientos) para la determinación de las reacciones desconocidas. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones canónicas y su número coincide con el grado de hiperestaticidad del sistema. Veamos el Método de las Fuerzas.
Método de las Fuerzas • Si el número de incógnitas (NI), es menor que el número de ecuaciones (EE), la estructura es inestable, (sistema hipostático). Constituye un sistema incompatible. • Si el número de incógnitas (NI), es igual al número de ecuaciones (EE), la estructura es estáticamente determinada, (sistema isostático). • Si el número de incógnitas (NI), es mayor que el número de ecuaciones (EE), la estructura es estáticamente indeterminada, (sistema hiperestático). …en nuestro caso: Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga:
Método de las Fuerzas …el Método de las Fuerzas consiste en: • Se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental, principal o base. • El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas. • Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas del sistema. Veamos algunos ejemplos: Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga:
Método de las Fuerzas • El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δijsuplementarios, distintos de cero. Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales posibles:
…las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, deben ser iguales a las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores. Método de las Fuerzas Estructura original Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3 C C2 C0 C1 C3 = + + + X3 X1 X2 Los efectos del momento flector total en una sección genérica C de la estructura hiperestática original valdrán: Por el Principio de Superposición…
…luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C. • Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo produzca. Método de las Fuerzas • Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tmy el de 5 tmson idénticos, sólo varía la escala de referencia de los mismos. Pero se desconocen los valores verdaderos de X1, X2 y X3
…puede escribirse: en la cual: • X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera. • M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de la incógnita X1. Método de las Fuerzas y generalizando, la expresión del momento en Cen la estructura hiperestática será: y en general: Siguiendo el razonamiento…
…debemos plantear ahora tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3) los enlaces son rígidos, los desplazamientos relativos de dichas secciones serán nulos. Método de las Fuerzas X2 X1 X3 Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula. Por lo tanto: Estado 3 Estado 1 Estado 2 Estado 0 Estructura original Veamos las ecuaciones de compatibilidad…
δ’1- desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X1, en la estructura fundamental. • δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores. Método de las Fuerzas • X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1(adimensional). • δ11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1 actuando en A. (etc.) y en general: δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xien la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de Xj = 1 [t o tm](según sea fuerza o par). …donde…
…aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales: donde: • M- momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura isostática). Consideraciones Preliminares • M’i - momentos en la estructura fundamental originados por Xi= 1 [t] ó [tm] Sustituyendo los valores de δij e igualando a cero resulta la ecuación de δ’1 : La expresión de los desplazamientos δ’ij la obtenemos…
…un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas X1; X2 y X3: Método de las Fuerzas o bien: Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos incógnitas hiperestáticas obtenemos…
…un sistema que puede representarse como sigue: dónde: Método de las Fuerzas • Frepresenta la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias. • Xrepresenta la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas Xi. • Trepresenta la matriz columna de los términos independientes. Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3). Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos incógnitas hiperestáticas obtenemos…
…el procedimiento descripto recibe el nombre de Método de Compatibilidad, porque las ecuaciones que se plantean para resolver el problema son ecuaciones de compatibilidad. Se le conoce también con los nombres de Método de las Fuerzas, dado que las incógnitas hiperestáticas seleccionadas para resolver el problema son fuerzas (o momentos) hiperestáticos, o Método de Flexibilidad, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de flexibilidad. Método de las Fuerzas Dado que hay que plantear y resolver tantas ecuaciones de compatibilidad como incógnitas hiperestáticas hay en el problema, este método es adecuado para estructuras de bajo grado de hiperestaticidad. Su principal desventaja consiste en que la forma de seleccionar las incógnitas hiperestáticas de un problema dado no es única y esto dificulta un planteamiento sistemático del método. Esto lo hace poco adecuado para el cálculo de estructuras por medios informáticos. Resumiendo…
Con este método se han generado tablas de barras simples resueltas con distintos grados de hiperestaticidad y estados de cargas
…y se aplicaba a los tipos de estructuras propias de la época: puentes metálicos, barras articuladas, arcos y vigas continuas, de reducido grado de hiperestaticidad. Con el siglo XX llega el uso del hormigón armado. Las barras constituidas con este material poseen nudos que pueden considerarse rígidos y por lo tanto las piezas trabajan fundamentalmente a flexión, por lo que el grado de hiperestaticidad de las mismas crece notablemente y consecuentemente el Método de las Fuerzas resulta poco práctico Método de las Deformaciones Además, con la aparición de los métodos de cálculo numérico a mediados del siglo pasado, los Métodos de Compatibilidad quedaron totalmente obsoletos. En la actualidad, el Método de las Deformaciones (dado que las incógnitas que se plantean son los movimientos de los nudos), del Equilibrio(porque las ecuaciones que se plantean son de equilibrio) o de la Rigidez(ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de rigidez) constituye la forma práctica de cálculo de estructuras. El “Método de las Fuerzas” fue desarrollado durante el siglo XIX…
Básicamente, este método consiste en identificar el número de movimientos incógnita que determinan la deformación de la estructura, satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los nudos de la estructura. Método de las Deformaciones El número de incógnitas del problema es, pues, igual al grado de indeterminación cinemática del problema (los giros y desplazamientos de los nudos). Imponiendo ahora las condiciones de compatibilidad en las piezas individuales, éstas están cinemáticamente determinadas; por lo tanto se pueden calcular, en función de las incógnitas cinemáticas, los esfuerzos que actúan sobre las barras, y en particular los valores de los extremos de piezas. Las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos proporcionan el número necesario de ecuaciones para resolver las incógnitas cinemáticas. El “Método de las Fuerzas” fue desarrollado durante el siglo XIX…
Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
