TEÓRICA - Pandeo - Presentación del Tema

1. Inestabilidad Elástica (Pandeo)Presentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Se ha comprobado experimentalmente el fenómeno llamado PANDEO en el cual una barra recta con carga centrada de compresión se mantiene recta hasta un cierto valor de carga y luego flexa repentinamente con una flecha que puede ser considerable. Este fenómeno de flexión lateral no solo se debe a inevitables imperfecciones de la barra y excentricidades de la carga N, sino que presenta también en ausencia de cualquier imperfección en cuyo caso se debe al hecho que cuando N alcanza un valor crítico NCR y lo supera, por poco que sea, el equilibrio rectilíneo se hace inestable, y es extremadamente improbable que el eje de la barra se mantenga recto. La carga para la cual la barra se pandea es menor que la de rotura estática, se llama carga crítica de Euler, y su expresión analítica es: (expresión obtenida experimentalmente para una barra doblemente articulada cargada axilmente con una carga de compresión) Por tanto, el principio de la inestabilidad o pandeo equivale técnicamente a la rotura de la pieza (dado que una vez que este se produce el elemento deja de cumplir las funciones para las cuales fue diseñado). Veamos algunos conceptos preliminares

3. Euler utiliza la ecuación de la línea elástica para flexión pura para la columna con extremos articulados para resolver el problema: (esfuerzos en la sección ) …llamamos …cuya solución general es: …con las siguientes condiciones de borde: Veamos algunos conceptos preliminares (la solución debe ser distinta de la trivial)

4. …pero si y no hay pandeo …por lo tanto, …y como el pandeo se produce para la menor carga crítica posible (para la longitud inicial ) resulta:

5. Calculamos la tensión crítica dividiendo la carga crítica de Euler por el área, obtenemos: …y reemplazando ahora el momento de inercia y el área por el radio de giro será: …y reemplazando por la esbeltez resulta: A continuación se muestra la gráfica de la ecuación y que es denominada curva o hipérbola de Euler. Observar que a medida que crece el factor de esbeltez (λ), crece también el peligro de pandeo pues disminuye.

6. Podremos calcular la carga crítica de una columna cargada a compresión axil, si las condiciones de borde son distintas de la barra simplemente apoyada introduciendo el concepto de longitud efectiva ()o también longitud de pandeo ()(definida en función de la curvatura de deformación que adopta la barra):

7. Si se resuelven las fórmulas para distintos materiales se ve que no es válida para piezas cortas, de pequeñas esbelteces. La esbeltez “λ“ es una propiedad geométrica del elemento, que depende de : • …su longitud • …de los tipos de apoyo en sus extremos • …del radio de giro y se calcula con la expresión: El comportamiento al pandeo varía con el tipo de apoyo en los extremos por lo que se trabaja con una longitud de pandeolp = K . l0 función de la longitud física de la barra l0

8. Una columna IPN 160 (DIN 1025) de 4 metros de altura se encuentra empotrada–articulada según el eje x-x y simplemente apoyada con un arriostramiento intermedio según y-y como se muestra en la figura. ¿Cuál será la carga crítica según Euler? DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40); E = 2100000 [kgf/cm2] Para el acero F-20 se cumple: Veamos ahora unProblema de verificación

9. Una columna IPN 160 (DIN 1025) de 4 metros de altura se encuentra empotrada–articulada según el eje x-x y simplemente apoyada con un arriostramiento intermedio según y-y como se muestra en la figura. ¿Cuál será la carga crítica según Euler? DATOS DEL MATERIAL: F-20 (CS = 1,40); E = 2100000 [kgf/cm2] Para el acero F-20 se cumple: …mientras que para el perfil IPN 160 (DIN 1025) es:

10. …calculemos el pandeo según el eje x-x:

11. …calculemos el pandeo según el eje y-y:

12. El pandeo se da respecto del eje y-y …y la carga crítica será la menor de ambas:

13. Para la deducción de la fuerza crítica de pandeo se ha empleado la fórmula de la línea elástica del elemento deformado; luego, el resultado obtenido sólo podrá ser empleado en el rango elástico del material. Por consiguiente los puntos de la curva de Euler por encima del esfuerzo de fluencia no tienen validez matemática ni práctica. La zona de validez de la expresión de Euler estará entonces determinada para valores de mayores que , donde: • F: Zona de Fluencia • E: Zona de Euler

14. En la figura se pueden observar la curva de Euler y puntos que representan resultados experimentales. Para valores se nota que hay buena aproximación entre ellos, sin embargo, para valores cercanos a la diferencia entre los mencionados valores es evidente. Diversos investigadores han propuesto aproximaciones para dicha zona mediante diversas funciones que dan lugar a los diversos métodos para el cálculo por pandeo. Así tendremos diversos métodos, entre ellos: • Método de Tetmajer • Método europeo (Tetmajer modificado) • Método de Johnson • Fórmula de la secante • Método omega (ω) (En el caso de elementos de máquinas se puede usar el método de Tetmajer, el europeo o el de Johnson) En cuanto a los factores de seguridad a utilizar hay que señalar que se toman de acuerdo a recomendaciones como por ejemplo las que se dan en la siguiente tabla:

15. …el método de Tetmajer (1986) aproxima con una línea recta los puntos no contenidos en Eurlemediante la siguiente expresión: Las constantes y son propias de cada material y en la siguiente tabla se muestran valores de ella para algunos materiales de uso frecuente en ingeniería: • F: Zona de falla por Fluencia • T: Zona de falla según Tetmajer • E: Zona de falla según Euler

16. …por su parte, el método europeo(o Tetmajer modificado) está basado en la recta de Tetmajer; pero en forma modificada, definiendo a las constantes y en función de (para cualquier material) con los siguientes rangos de valores: • F: Zona de falla por Fluencia () • T: Zona de falla según Tetmajer() • E: Zona de falla según Euler ()

17. En las barra reales, la única deformación que tiene importancia es la de flexión, pero para el estudio de resortes helicoidales y barras formadas por perfiles armados resulta necesario evaluar esta influencia. Supongamos una barra articulada en sus extremos y sometida a compresión y consideremos dos secciones infinitésimamente próximas. dz La deformación debida a la flexión consiste en una rotación relativa entre ambas caras. dz Mientras que en la deformación debida al corte hay un desplazamiento relativo de las dos caras en la dirección normal al eje de la barra (de modo que el eje de la barra no queda perpendicular a la sección como en la flexión). …y la pendiente que toma el eje de la barra podemos expresarla como: …veamos ahora la influencia en la deformación del esfuerzo de corte

18. En la posición deformada el elemento tendrá la siguiente forma: Suponiendo que y son las solicitaciones de la sección, el esfuerzo de corte lo obtenemos proyectando sobre el plano de corte: (por ser pequeño) …y por lo tanto: …y derivando: …con: …pero en flexión: …con: …que podemos escribir como: (momento de inercia modificado donde) …resultando: (con carga crítica de Euler)

19. …de donde podemos despejamos : …y por lo tanto: …con el signo negativo de obtenemos una raíz negativa que no tiene sentido físico, y con el signo positivo es:

20. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) • Estabilidad II – Enrique Fliess Apunte del CEI – Teoría de la Elasticidad Lineal – Estabilidad IIIC – H. Rezk • Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo • Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz • Mecánica de materiales - F. Beer y otros • Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez • Resistencia de materiales - V. Feodosiev • Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer • Resistencia de materiales - S. Timoshenko

21. Muchas Gracias