ESTUDIO DE CASOS - Inestabilidad Elástica - Pandeo de un Resorte Helicoidal

1. Inestabilidad ElásticaEstudio de CasosPandeo de un Resorte Helicoidal Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Puede ser que para un cierto valor dese produzca una cierta deflexión lateral del resorte, a lo que llamaremos pandeopues se produce un cambio en el modo de deformación. La teoría que se utiliza para calcular las cargas críticas es aproximada. Llamemos a la longitud inicial del resorte y al radio de la superficie cilíndrica donde está apoyada la hélice. Supongamos un resorte helicoidal comprimido axilmente sometido a una fuerza . Se puede formular la teoría general pero se llega a ecuaciones diferenciales muy engorrosas difíciles de resolver.

3. En la practica se sustituye el resorte helicoidal por una barra ficticia equivalente, de eje recto de características de rigidez equivalente a los del resorte helicoidal. La particularidad de esta barra equivalente frente a las barras ya estudiadas es que cuando se alcanza la carga crítica se produce un acortamiento apreciable de la barra. Vamos a determinar las características de la barra equivalente a las del resorte que son: rigidez frente a la solicitación axil, rigidez frente a la solicitación por flexión, rigidez frente a la solicitación por corte. El acortamiento de una barra de longitud inicial ante la acción de una carga que la comprime es: …vamos a encontrar una expresión equivalente con Nota: vamos a suponer que el resorte es de espiras cerradas (ángulo de la inclinación de la hélice ) Dada esta suposición, la única acción que debemos considerar es el momento torsor:

4. El acortamiento lo obtenemos mediante la aplicación del principio de los trabajos virtuales: …y siendo: …resulta: …y resolviendo: Esta expresión da el acortamiento del resorte en función de la carga, de constantes elásticas y características geométricas del resorte. Igualando y comparando coeficientes, se tiene:

5. Ahora vamos a encontrar la rigidez a la flexión, suponiendo para ello que el resorte de longitud es flexado por pares : Esto lo comparamos que una barra de igual longitud, con la misma carga, lo que nos dará un diagrama de tensiones constante a lo largo de la barra de valor . Para hallar la rotación relativa entre secciones extremas, lo haremos por el principio de los trabajos virtuales aplicando un par de pares de valor unitario en las secciones extremas lo que nos lleva a: …considerando una espira vista en planta, al par que actúa en ese extremo lo podemos representar como un vector. …para una sección dada cualquiera de la espira (definida por ) el momento lo podemos descomponer en una proyección en el plano de la sección del alambre y en una normal a la misma.

6. …y el giro relativo entre ambos extremos de ese resorte se obtiene como: …reemplazando resulta: …y siendo: …y resolviendo: Esta expresión da la rotación relativa entre secciones extremas del resorte en función del momento, de constantes elásticas y características geométricas del resorte. Igualando y comparando coeficientes, se tiene: …y para el instante inicial será: …de donde:

7. Vamos a determinar ahora la rigidez frente al esfuerzo de corte, para lo cual tomamos un trozo de resorte que comprende nada más que una espira y determinamos su deformación debida al esfuerzo transversal. …la distorsión del resorte helicoidal está dada por: Vamos a analizar como se deforma la espira (supuesta circular), determinando el desplazamiento relativo entre dos puntos sometidos a las fuerzas de valor . Suponiendo una sección cualquiera (definida por ) con la sección considerada, la fuerza produce un momento flexor: …el desplazamiento relativo será: …y siendo:

8. La distorsión está dada según la siguiente expresión: Esta expresión da la distorsión relativa entre secciones extremas de una espira del resorte en función del esfuerzo de corte, de constantes elásticas y características geométricas del resorte. Igualando y comparando coeficientes, se tiene: …de donde: …de donde: …y para el instante inicial será: Todas estas expresiones nos dan las rigideces de una barra equivalente. Suponemos ahora al resorte helicoidal como una barra con estas rigideces y vamos a calcular la carga crítica mediante la fórmula que considera la influencia del esfuerzo de corte, por lo tanto: …donde: (carga crítica de Euler)

9. …de donde: Además, el acortamiento del resorte será: …y siendo: …dividiendo m.a.m por será: …llamando será:

10. …y operando, despejamos : …ecuación de segundo grado en , despejando y obteniendo las raíces se obtiene:

11. …y reemplazando , y se tiene: …graficamos : …para el acero resulta: (…y no habrá pandeo para relaciones ) …otro punto a verificar es: (…con diámetro del alambre del resorte) Se obtienen dos ramas de la parábola. Con el signo negativo se obtiene la rama inferior (línea llena) y con la positiva la rama superior (punteada). La carga crítica se obtiene con la línea llena para un cierto valor de . (de los dos términos sólo sirve el de la rama inferior)

12. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) • Estabilidad II – Enrique Fliess Apunte del CEI – Teoría de la Elasticidad Lineal – Estabilidad IIIC – H. Rezk • Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo • Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz • Mecánica de materiales - F. Beer y otros • Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez • Resistencia de materiales - V. Feodosiev • Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer • Resistencia de materiales - S. Timoshenko

13. Muchas Gracias