probabilit s et variables al atoires n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Probabilités et variables aléatoires PowerPoint Presentation
Download Presentation
Probabilités et variables aléatoires

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 19

Probabilités et variables aléatoires - PowerPoint PPT Presentation


  • 163 Views
  • Uploaded on

Probabilités et variables aléatoires. Adapté de Yannis Korilis, Christian St-Jean, Dave DeBarr, Bob Carpenter, Jennifer Chu-Carroll et plusieurs autres. Expérience aléatoire et probabilité.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Probabilités et variables aléatoires' - Faraday


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
probabilit s et variables al atoires

Probabilités et variables aléatoires

Adapté de Yannis Korilis, Christian St-Jean, Dave DeBarr, Bob Carpenter, Jennifer Chu-Carroll et plusieurs autres

exp rience al atoire et probabilit
Expérience aléatoire et probabilité
  • Suite d’évènements dont les variables varient dans des intervalles de valeurs connus, sans que les valeurs précises le soient avec une certitude absolue
  • La fréquence d’occurrence de chaque valeur est utilisée comme mesure relative de sa certitude, ou probabilité d’occurrence
slide3

Approche évènementielle

  • Expérience aléatoire : Suite d’évènements pris dans un espace  sur lequel est définie une probabilité P.
    • Un événement est une partie de  notée A.
    • Chaque événement possède une probabilité P(A) telle que, dans l’espace probabilisé (, A, P), on a :

P()=1 (il est certain qu’un évènement se produise, sans savoir lequel)

P(A) + P(Ac)=1 (Si un évènement ne se produit pas, un des autres se produira)

    • La loi de probabilité triviale est :

Cas discret Cas continu

slide4

Approche par variable aléatoire

  • Variable numérique dont les valeurs dépendent des résultats d’une expérience aléatoire
    • Représente une projection de (, A, P) dans un espace numérique
    • Permet le calcul des probabilités par des méthodes de l’analyse mathématique au lieu de raisonner sur des ensembles
  • Variable aléatoire discrète : ses valeurs sont dénombrables
    • Espérance : la valeur moyenne
    • Variance: l’écart quadratique moyen par rapport à la valeur moyenne
slide5

Variable aléatoire continue

  • Ses valeurs sont des nombres réels
  • Utilise une fonction de densité de probabilité :
    • positive, intégrable , ,
  • Fonction de probabilité cumulative :
  • Espérance :
  • Variance :
slide6

Variables aléatoires indépendantes et conditionnelles

  • Probabilité conditionnelle :
    • Évènements indépendants :
    • Variables aléatoires indépendantes :
  • Théorème de Bayes :
slide7

Lois de probabilité discrètes (Comme quoi, les hasards ne sont pas tous pareils !)

  • Loi uniforme
    • X={1,2,…,n} :
  • Loi de bernoulli
    • X={0,1} :
slide8

Loi binomiale

    • L’évènement de probabilité papparaîtk fois en n essais => n épreuves de bernoulli, avec les combinaisons de k dans n
      • X={0,1,2, …, n) :
    • Loi géométrique
  • L’évènement de probabilité papparaît aukièmeessais => k épreuves de bernoulli, avec X=1 à la kième et 0 avant:
      • Loi sans mémoire : La probabilité de l’événement au kième essai ne dépend pas de l’historique des évènements
        • Propriété ignorée par les joueurs !
slide9

Loi de Poisson

Le nombre moyen d’occurrence d’un événement X dans un temps T est k

    • X={0,1,…} :
      •  =nombre moyen d’événement par unité de temps.
  • Relation avec la loi binomiale :
    • Si p<0.1 et n>50 : B(n,p)P(np)
slide10

Lois de probabilité continues

  • Loi uniforme
  • Loi exponentielle
  • Utilisée en fiabilitépour représenter une espérance de vie
  • E(x)= 1/ est souvent appelé MTBF (« mean time between failures ») et  est le taux de défaillance
    • P(X > x)=probabilité d’attendre plus de x avant l’apparition d’un phénomène lorsque 1/ est le temps moyen d’attente.
  • Loi sans mémoire : le passé ne permet pas de prédire l’avenir.
slide11

Loi Gamma

  • Généralisation de la loi exponentielle utilisée dans les files d’attentes. P(X > x) = probabilité d’attendre plus de x minutes avant la kième apparition du phénomène étudié, avec 1/ comme temps moyen d’attente entre deux apparitions du phénomène.
slide12

Loi de Gauss (« normale »)

  • Loi fondamentale en statistique. Très souvent utilisée en modélisation.
  • Loi limite de caractéristiques issues d’un échantillon de grande taille.
  • On a les convergences suivantes (souvent abusées dans les sondages !):
  • B(n;p)N(np;np(1-p)) (np et n(1-p) supérieurs à 5)
  • P()N(; ) (avec >18)
slide13

Loi du Chi 2 (Khi-deux de Pearson)

Dite « chi2 à k degrés de liberté »

  • Loi de Student

Dite « Student à k degrés de liberté »

  • Loi de Fisher-Snédécor

Dite « Fisher à k, l degrés de liberté »

slide14

Exemple 1

  • Un système de prise de décision binaire comprend trois modules indépendants et pend une décision positive s’il y unanimité chez les trois modules. Sachant que la probabilité d’une décision négative par un module est 0.02, 0.05 et 0.10, respectivement, quelle est la probabilité que le système prenne une décision positive?

P(A) =P(décision négative par module A) = 0.02

P(B) = P(décision négative par module B) = 0.05

P(C) = P(décision négative par module C) = 0.10

slide15

Exemple 2

Une machine utilise quatre dispositifs D1, D2, D3, D4 dont la défaillance peut intervenir de manière indépendante. La machine tombe en panne si D1 est défaillant ou que deux de D2, D3, D4les sont.

Si Ai dénote le fait que Di fonctionne sans défaillance pendant un intervalle T, quelle est la probabilité de fonctionnement correct de la machine durant l’intervalle si P(A1)=0.80, P(A2)=0.85, P(A3)=0.90 P(A4)=0.90?

slide16

Exemple 3

Un système S se présente de manière aléatoiresous deux états, 0 et 1, avec P(S=0)= 0.4 et P(S=1)=0.6. Une station T1 fournit des informations potentiellement erronées sur l’état de S. La probabilité que T1 soit juste pour l’état 0 est 0.98 ; la probabilité qu’elle le soit pour l’état 1 est 0.95.

A un instant donné, T1 reporte S dans l’état 0. Quelle est la probabilité que S soit vraiment dans l’état 0 ?

Posons E1 : {S est dans l’état 0}, O1 : {S est observé dans l’état 0 par T1 }

P(E1 )=0.4 P(O1 | E1 )=0.98 P(O1 | cE1 )=0.05

slide17

Exemple 4

Un système S se présente de manière aléatoire sous deux états, 0 et 1, avec P(S=0)= 0.4 et P(S=1)=0.6. Deux stations T1 et T2 fournissent des informations sur l’état de S. La probabilité d’erreur de T1 est 0.02 et celle de T2 est 0.06

A un instant donné, T1 donne S dans l’état 0 et T2 donne S dans l’état 1. Quelle est la probabilité que S soit dans l’état 0 ?

Posons E0 {S est dans l’état 0} et E1 {S est dans l’état 1}

O:{S est observé dans l’état 0 par T1 et dans l’état 1 par T2 }

P(E0 )=0.4 P(E1 )=0.6

P(O | E0 )=0.98*0.06 (= prob. que T1 soit vraie et T2 soit fausse sachant que S est dans l’état 0)

P(O | E1 )=0.02*0.94

slide18

Exemple 5

  • Une machine tombe en panne selon la loi exponentielle avec un facteur =0.5/heure. Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne entre la première et deuxième heure après le démarrage.
  • La durée de vie d'un composant d'un système est supposée suivre une loi exponentielle de paramètre . Un grand nombre de ces composants sont testés et on a observé que 5% ne durent pas plus de 100 heures.
  • Estimer la probabilité qu'un composant pris au hasard dure plus de 200 heures, ou T est la durée de la vie en heures

La probabilité de survie est

Pour T > 200,

slide19

Exemple 6

Le taux global de défaillance d’un processus est la somme des taux de chaque composant et ceux-ci suivent une loi de mortalité exponentielle. Les taux élémentaires sont donnés par des documents fournis par le designer.

Pour un taux de défaillance  = 12 10-6 h-1 et pour un fonctionnement continu pendant 208 jours par an, donnez la probabilité théorique que le processus fonctionne encore au bout de ces 208 jours.

t = 24 x 208 » 5000 heures

la probabilité théorique que le processus est fonctionnel encore est alors de R(5000) = e-0.000012.x5000 = 0,9418. Ceci signifie que la probabilité d'avoir une défaillance pendant la durée de fonctionnement de 5000 heures est de f = 1 - 0,9418 = 0,0582 soit 5,8 %.