TEÓRICA - Solicitación por Torsión - Analogía de la membrana

1. Solicitación por Torsión Analogía de la membrana Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Analogía de la membrana Existen problemas que, aunque difieren en su esencia y naturaleza física, pueden ser expresados analíticamente por las mismas ecuaciones diferenciales, por lo que es posible establecer analogías que faciliten su resolución. Así, la naturaleza física de un segundo problema, análogo a otro en su expresión analítica, permite una interpretación simple de las relaciones que vinculan las mismas variables, hecho este que posibilita el establecer en forma sencilla las leyes que rigen al primer problema. La solución del problema de torsión pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad. Se basa sobre el establecimiento de una determinada función  , denominada función de Airyo función de tensión, para el cual se busca conocer las tensiones xzy xy . Esta función debe satisfacer la ecuación diferencial que gobierna el problema de la torsión, cuya ecuación fundamental es: …teniéndose, además: La dificultad reside, precisamente, en conocer, para cada caso la función que, aparte de satisfacer la ecuación diferencial, debe cumplir con las condiciones de borde de cada problema particular. (1)

3. Analogía de la membrana La denominada "analogía de la membrana“ debida a L. Prandtl, permite determinar con facilidad las tensiones tangenciales, por cuanto existe similitud funcional entre la ecuación de Airyy la que define la forma que toma una membrana elástica fijada por sus bordes y sometida a una presión interior uniforme. Sea, un contorno cualquiera cerrado con una membrana elástica, sujeta interiormente a la acción de una presión uniforme p(como muestra la figura). Por efecto de esta presión, la membrana se deforma, y en ella aparecen esfuerzos de tracción, cuyo valor por unidad de longitud lIamaremosN. Un elemento de superficie dz, dyde la membrana debe encontrarse en equilibrio bajo la acción de la resultante de la presión p. Es decir, que la suma de las proyecciones de las fuerzas sobre un eje cualquiera, el x por ejemplo, debe ser nula.

4. Analogía de la membrana Efectuando un corte en la membrana por el elemento dz, dy, paralelo al eje z aparecen dos fuerzas de valor N dy, tangentes a la membrana y cuyas direcciones difieren en un ángulo infinitésimo z . Análogamente,un corte paralelo al eje y , pone en evidencia dos esfuerzos N dz, cuyas direcciones difieren en y. Si xes la coordenada del punto de la superficie de la membrana (con respecto a la posición inicial), resulta: (2) Si es el ángulo que la dirección de uno de los esfuerzos N dzforma con el eje y(o según el caso, N dycon el eje z), el esfuerzo opuesto formará unángulo+ z(o  + y ).

5. Analogía de la membrana …en consecuencia, proyectando sobre el eje x: …pero por ser  , z yy infinitésimos resulta: …de dónde: …y finalmente, teniendo en cuenta las (2): Si llamamos V al volumen encerrado entre el plano de referencia y la membrana deformada, su valor será: (3) …y las pendientes de las tangentes a las generatrices según dos direcciones ortogonales paralelas a los ejes z e y, tienen las siguientes expresiones:

6. Analogía de la membrana …comparando las (1) con (3) llegamos a las siguientes conclusiones, que constituyen la base de la analogía de la membrana: • Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la distribución de tensiones en la torsión, por una parte, y la superficie deformada de la membrana por la otra, son idénticas. • Si el valor que adquiere la función de tensión en cada punto se lleva como ordenada, el volumen encerrado por la superficie así generada y el plano de referencia, corresponde a la mitad del momento del par torsor y es igual al volumen encerrado por la membrana deformada. • Las dos componente ortogonal de la tensión tangencial en un punto de la sección, se corresponde con la pendiente de la tangente a la superficie de la membrana, en la dirección normal al punto considerado. En consecuencia, para resolver el problema de la torsión bastará fijar una membrana elástica por su contorno (que debe corresponder a la forma de la sección en estudio)deformarla mediante una presi6n interior p y medir las ordenadas en distintos puntos. Estas ordenadas nos darán el valor de la función en cada punto.

7. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

8. Muchas Gracias