TEÓRICA - Conceptos Básicos de Estática - Determinaciones Gráficas

1. Conceptos Básicos de EstáticaDeterminaciones Gráficas Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. (1) Determinación Gráfica del Baricentro de una figura compuesta • En primer término dividimos la sección en figuras simples (1, 2 y 3) G1 • En segundo término obtenemos gráficamente los baricentros de estas figuras simples (G1, G2 y G3) Es de nuestro interés obtener en forma gráfica la posición del baricentro de una figura compuesta como la indicada en la figura (2) G2 • En tercer término graficamos vectores de módulo proporcional al área de dichas figuras simples (R1, R2 y R3) (definiendo una escala de fuerzas) (3) G3 R1 R2 R3

3. (1) • Alineamos los vectores (R1, R2 y R3) • Definimos un polo (O1) • Trazamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) G1 • Trazamos líneas horizontales por G1, G2 y G3 R • Sobre estas llevamos los valores de (R1, R2 y R3) (2) G2 • Llevamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) de forma tal que 1 y 2 se corten sobre la dirección G1, 2 y 3 sobre G2y 3 y 4 sobre G3 O1 R2 • Las direcciones (1 y 4) definen un punto P perteneciente a la línea de acción de la resultante R R1 (3) R3 G3 (1) (2) (3) (4) R1 (1) (4) R2 (2) Ahora trazamos un polígono funicular R3 (3) (3) P

4. (1) R’1 G1 R’2 R R’3 G (2) P’ (1’) G2 Las líneas de acción de R y R’ se cortan en el punto G(baricentro de la figura compuesta) O1 (2’) (3’) R2 R1 (4’) (3) R3 G3 (1) (2’) (3’) (4’) R’1 (1’) Repetimos el procedimiento pero rotando los vectores R1, R2 y R3 en 90° (4) R’2 (2) R’ R’3 (3) P

5. (1) Determinación Gráfica del Momento Estático de un Área respecto de un eje (s-s) • En primer término dividimos la sección en figuras simples (1, 2 y 3) G1 • En segundo término obtenemos gráficamente los baricentros de las figuras (G1, G2 , G3 yG) G Es de nuestro interés obtener en forma gráfica el momento estático de una figura compuesta como la indicada respecto de su base (2) • En tercer término graficamos vectores de módulo proporcional al área de dichas figuras simples (R1, R2 y R3) paralelos al eje seleccionado (definiendo una escala de fuerzas) G2 s s (3) G3 R1 R2 R3

6. (1) • Alineamos los vectores (R1, R2 y R3) • Definimos un polo (O1) • Trazamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) G1 • Trazamos líneas paralelas a la dirección s-s por G1, G2 y G3 G • Sobre estas llevamos los valores de (R1, R2 y R3) (2) G2 O1 s s R2 R1 (3) R3 G3 (2) (3) (4) R1 R1 (1) R2 R2 Ahora trazamos un polígono funicular R3 R3

7. (1) • Llevamos las direcciones (1, 2, 3 y 4) de forma tal que 1 y 2 se corten sobre la dirección G1, 2 y 3 sobre G2y 3 y 4 sobre G3 • Las direcciones (1 y 4) definen un punto P perteneciente a la línea de acción de la resultante R y un segmento sobre el eje s-s G1 G • Definimos h y d. R • Siendo el vector R proporcional al área de la figura y por consiguiente a su masa, resulta: (2) G2 O1 Distancia G-(s-s) s  s R2 R1 (3) R3 G3 (1) (2) (3) (4) R1 h (1) (4) R2 (2) Ahora trazamos un polígono funicular d Distancia polar R3 (3) P …por ser ambos triángulos semejantes

8. Determinación Gráfica de Momentos de Segundo Orden, Ejes Conjugados y Ejes Principales de Inercia El círculo de Mohr–Land permite calcular los momentos de segundo orden (JS, JTy JST) respecto a cualquier par de ejes baricéntricos (S y T), hallar el conjugado de inercia de cualquier eje baricéntrico y determinar en forma gráfica los ejes principales de inercia de una sección dada.

9. Es de nuestro interés trazar el círculo de Mohr–Land y definir los ejes principales de inercia de una sección L, calcular los momentos de segundo orden (JS, JTy JST) respecto un par de ejes baricéntricos (S y T) cualesquiera y hallar el eje conjugado de inercia (R) del eje baricéntrico (S). Enunciado

10. Son datos, las características geométricas de la sección (que obtenemos de la tabla del perfil) Por ejemplo: L 40x20x3 (DIN 1029)

11. Defino el punto “A”, el segmento GA será el diámetro de la circunferencia de Mohr A continuación de B, llevo en el valor de JY Defino el punto “B” Defino el centro C = (JX+JY)/2 de la circunferencia B JY JXY A C Trazo la circunferencia de centro “C” y radio “GC” JX Trazamos la circunferencia de Mohr-Land como sigue: G A partir de G, sobre el eje “y” llevo, (en una escala conveniente), el valor de JX A partir de B, y normal al segmento GA llevo el valor de JXYy defino el polo “P” (sobre el cuadrante “+” si JXY > 0 y sobre el cuadrante “-” si JXY < 0 ) P

12. Trazo la tangente a la circunferencia por el punto “D” (tgD) T Mido la distancia de la tangente tgD al polo “P” (JS) JT B Definimos el punto “D” en donde la línea S-S corta a la circunferencia E JY JXY S JS A C JST JX tgE tgD Trazamos dos ejes baricéntricos cualesquiera y calculamos sus momentos de segundo orden: Para calcularJSTtrazo la cuerda D-E y mido la distancia al polo “P” G D S T Repito el procedimiento para otro eje baricéntrico T-T cualquiera Trazo un eje baricéntrico S-S cualquiera P

13. Trazo la cuerda D-P y defino el punto “F” Trazo el eje baricéntrico “R-R” R El eje “R-R” será conjugado de inercia de “S-S” dado que, por construcción, la cuerda “D-F” pasa por el polo “P” por lo que JSR= 0 F B JY JXY S A C JX Trazamos ahora, el eje conjugado de inercia del eje baricéntrico (S): G D S R P

14. Trazo el eje diámetro que pasa por el polo “P” y defino los puntos “H” e “I” Las tangentes a la circunferencia trazadas por los puntos “H” (tgH) e “I” (tgI) definen los momentos de inercia máximos (JI) y mínimos (JH) de la sección tgH tgI 2 H B JY JXY A C JH [para profundizar en el tema ver: “COMPLEMENTO TEÓRICAS - Ángulo central vs ángulo inscripto en una circunferencia”] JX JI Trazamos ahora, los ejes principales de inercia de la sección: 1 I G 1 2 Por lo que los eje baricéntricos trazados por “H” (2-2) e “I” (1-1) serán ejes principales de inercia, ortogonalesy conjugados de inercia entre sí P

15. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

16. Muchas Gracias