TEÓRICA - Conceptos Básicos de Estática - Características Geométrica de Secciones

1. Conceptos básicos de EstáticaCaracterísticas Geométrica de Secciones Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Consideremos un conjunto de puntos A1,A2,A3,…,Ai,cuyas coordenadas genéricas con respecto a una ternax,y,z son xi,yi,z¡ ysupongamos que cada punto posea una masa mi. Al conjunto de puntos materiales Aide masa milo denominaremos conjunto discreto de masas. Definimos como momento estático o de primer ordende la masa mi respecto del plano xy, al producto de la masa mi por su distancia z¡ al mismo, el decir: …y análogamente: Veamos el concepto de Centro de Masa Definimos como Centro de Masa (G)a un punto material cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos xy, yz y zx es igual a la suma de los momentos estáticos respecto a dichos planos de las masas componentes del sistema, es decir:

3. Consideremos un conjunto de puntos A1,A2,A3,…,Ai,cuyas coordenadas genéricas con respecto a una ternax,y,z son xi,yi,z¡ ysupongamos que cada punto posea una masa mi. Al conjunto de puntos materiales Aide masa milo denominaremos conjunto discreto de masas. Definimos como momento estático o de primer ordende la masa mi respecto del plano xy, al producto de la masa mi por su distancia z¡ al mismo, el decir: …y análogamente: Veamos el concepto de Centro de Masa Definimos como Centro de Masa (G)a un punto material cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos xy, yz y zx es igual a la suma de los momentos estáticos respecto a dichos planos de las masas componentes del sistema, es decir:

4. …dónde xG,yG,zG son las coordenadas respecto de los tres planos xy, yz y zx del Centro de Masa (G)y M la masa total del sistema. …si los ejes con respecto a los cuales tomamos momentos estáticos pasan por dicho Centro de Masa, las distancias xG,yG yzG serán iguales a cero (0). Veamos el concepto de Centro de Masa …es decir, la suma de los momentos estáticos de un conjunto discreto de masas respecto de un eje cualquiera que pase por su centro de masas, es nulo. Si consideramos ahora a los cuerpos materiales como conjuntos continuos de masas elementales las masas mise transforman en elementos diferenciales de masa dm y las sumatorias en integrales. Al centro de gravedad se lo designa también como baricentro del sistema de masas, denominación que se extiende a los centros de masas, de superficies y volúmenes, aunque impropiamente.

5. …cuando una figura plana o una líneaplanaposeen un eje de simetría, su baricentro pertenece al mismo. G Existen figuras que, si bien no poseen centro de simetría, admiten un centro de figura. En tal caso, el baricentro coincide con este último. Como se sabe, el centro de figura coincide con el punto de intersección de los diámetros. B b B G G G G G b

6. …del cual nos interesa conocer a qué distancia de la línea base se encuentra ubicado su baricentro. Supongamos una faja de espesor dy y ancho by, ubicada a una distancia y del vértice (faja que puede asimilarse a un rectángulo de superficie dF=by . dy). yg’ La distancia del baricentro de la figura al eje z resulta definida por la expresión: G F Estudiemos el caso del triángulo… Pero por semejanza de triángulos resulta: …y por lo tanto: …y como:

7. Cuando se trata de hallar el baricentro de una figura de contorno irregular, se procede a dividir la figura en superficies parciales en forma tal que las figuras parciales resultantes sean asimilables a superficies cuyos baricentros sean de fácil determinación B’ C’ C B B’ A’ D’ A’ A D …en el caso de la siguiente figura inferior, la superficie sombreada puede considerarse como diferencia de dos superficies: un rectángulo mayor de perímetro ABCD, de área F1 y baricentro G1 y otro menor, interior, de contorno A' B' C' D', área F2 y baricentro G2. El área de este segundo rectángulo es un área sustractiva ya que, restándola de la del rectángulo mayor, obtenemos el área de la figura sombreada. G2 G1 G1 G2 G3

8. Determinación de Momentos estáticos de superficies Momento estático de sección doble T Veamos como calcular el área sombreada de la sección doble T mostrada en la figura. Para ello, deberemos calcular: …donde: …y operando: - +

9. Sea la superficie de la figura (a), y dos ejes cualesquiera z, y de su plano. Consideremos un elemento dF de superficie, cuyas distancias a los ejes indicados sean z é y. Se define como momento de segundo orden del elemento de superficie respecto del par de ejes z, y al producto del área de la superficie elemental por las distancias a ambos ejes, es decir: Integrando esta expresión sobre toda la superficie tendremos el momento de segundo orden de la superficie respecto de los ejes considerados, así será: Veamos el concepto de Momentos de segundo orden de una superficie Momento centrífugo de la superficie Siendo las superficies magnitudes positivas, el momento centrífugo tendrá un signo que dependerá de los signos de las coordenadas de los elementos de superficie (ze y)

10. Supongamos ahora que hacemos girar el eje y alrededor de O hasta superponerlo con el eje z, es decir, la situación de la figura (b). La distancia z del elemento dF al eje y coincidirá con la distancia y al eje z, por cuanto ambos ejes son coincidentes y en consecuencia, será: Momento de Inercia de la superficie respecto del eje z El momento de inercia es siempre positivo. (excepcionalmente, podrá suponerse negativo un momento de inercia, al considerarla como elemento sustractivo para facilitar el cálculo del momento de inercia de una figura compuesta). Consideremos ahora un punto O y sea ϱ la distancia al mismo del elemento dF de superficie. Se denomina momento de inercia polar del elemento dF respecto del punto O(polo) al producto: Momento de Inercia Polar de la superficie respecto del Polo 0 El momento de inercia polar siempre es positivo.

11. Determinación de Momentos de segundo orden de figuras Momento de inercia del rectángulo Consideremos el rectángulo formado por franjas elementales dF = b dyque se observa en la figura. El momento de inercia respecto al eje baricéntricog - g está expresado por: Cuando se trata de hallar momentos de inercia de una figura de contorno irregular, se puede procede dividiendo la figura en cuestión en superficies parciales y obtener el momento de inercia como adición o sustracción de los momento de inercia parciales.

12. Determinación de Momentos de segundo orden de figuras t Momento de inercia de un perfil doble T Lo calcularemos como sustracción de momentos de inercia de rectángulos. El momento de inercia del rectángulo azul es: e g g h h0 El momento de inercia de los rectángulos rojos es: b0 …y el momento de inercia del perfil doble T es: …y siendo: b

13. Determinación de Momentos de segundo orden de figuras Momento de inercia del triángulo Determinemos el momento de inercia de un triángulo respecto a un eje x – x que pasa por un vértice y es paralelo al lado opuesto. Consideremos al triángulo formado por franjas elementales dF = x dycomo se observa en la figura, Así el momento de inercia será: …pero: Nos basaremos en esta expresión para calcular el momento de inercia polar de un círculo.

14. Determinación de Momentos de segundo orden de figuras Momento de inercia polar del círculo El momento de inercia del sector circular de arco ds, considerado como triángulo respecto al eje n – n pasante por su centro C y paralelo a su base ds, en función de lo visto para el triángulo, podemos expresarlo como: …y siendo: …además, como: …y como para el círculo:

15. Sea F la superficie de la figura y consideremos un par de ejes de coordenadas z, y de origen O. Para un elemento de superficie dF, de coordenadas z, y, se tiene: O z y z’   z e integrando sobre toda la superficie, resulta Giremos ahora los ejes, manteniéndolos ortogonales, un ángulo , de modo que pasen a ocupar la posición z', y'. y’ y

16. Con respecto a los nuevos ejes, las coordenadas de dF, en función de z é y resultan: z O z y y z’ y’ Los momentos de segundo orden respecto de los ejes z', y' serán:   z’   z Reemplazando z', y’ y operando será: Los ejes para los cuales el momento centrífugo se anula, se denominan ejes conjugados de inercia. y’ Variando el ángulo que forman entre sí los dos pares de ejes, variarán los momentos de segundo orden. y Los momentos de inercia, nunca podrán anularse, ni admitir valores negativos, pero sí alcanzarán valores máximos o mínimos. En cambio, los momentos centrífugos, que pueden ser negativos, podrán tener valores nulos.

17. Sea la sección de la figura, en la que g-g es un eje baricéntrico de la sección y x-x un eje paralelo al anterior situado a una distancia d. El momento de inercia de la sección con respecto al eje x-x está expresado por: G Veamos la relación entre los Momentos de Inercia de una sección con respecto a dos ejes paralelos g = 0 g y d Momento Estático de la sección respecto del eje baricéntrico g-g (SG = 0) Momento de Inercia de la sección respecto del eje baricéntrico g-g (JG) por lo que: x x Área de la sección (F) Esta relación conocida con el nombre de regla de Steiner expresa que: “El momento de inercia de una sección con respecto a un eje es igual al momento de inercia de la sección con respecto al eje baricéntrico y paralelo al anterior, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes”.

18. Determinación de Momentos de segundo orden de figuras Momento de inercia baricéntrico del triángulo Como vimos, el momento de inercia de un triángulo respecto a un eje x – x que pasa por un vértice y es paralelo al lado opuesto es: …para calcular el momento de inercia de un triángulo respecto a un eje baricéntricog – g paralelo al lado aplicamos la regla de Steiner: …donde:

19. Llamamos ejes principales de inercia al par de ejes conjugados ortogonales. Para dicho par de ejes, los momentos de inercia alcanzan valores máximos o mínimos. Consideremos la segunda de las expresiones que nos da el valor deJz’en función de . La función de Jz’ pasará por un máximo (o mínimo) cuando: Veamos ahora que son los Ejes Principales de Inercia de una sección de dónde: Existen dos valores del ángulo 1 que difiriendo 90° satisfacen la expresión. Los ejes que corresponden a estos dos últimos valores de 1 serán, pues, ortogonales, siendo Jz’máximo para uno de ellos y mínimo para el restante. Dichos ejes se denominan ejes principales de inercia, y los momentos de inercia correspondientes, momentos principales de inercia.

20. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

21. Muchas Gracias