COMPLEMENTO TEÓRICAS - Tensiones y Direcciones Principales (Autovalores y autovectores)

1. Ecuaciones de Equilibrio(sobre un plano arbitrario)Complemento Teóricas:Tensiones y direcciones principales como autovalores y autovectores de las mismas Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Definición de autovalores y autovectores de una matriz Dado un espacio vectorial y un endomorfismo materializado por una matriz cuadrada A diremos que y son autovalor(o valor propio) y autovector(o vector propio) asociado respectivamente de la matriz cuadrada A si se verifica: con …y elaborando la definición tendremos: Sistema homogéneo de “n” ecuaciones con “n” incógnitas (las “n” componentes del vector ) el cual para admitir solución distinta de la trivial deberá tener el determinante de los coeficientes nulo (ecuación característica). Si se resuelve la ecuación se tendrán “n”raíces (simples o múltiples) para , cada una de las cuales se irá reemplazando en el sistema de ecuaciones , del cual se obtendrán los correspondientes vectores propios asociados. Para el caso de dimensión n = 3 queda:

3. Definición de autovalores y autovectores de una matriz siendo: Para el cálculo de los vectores propios se podrá aplicar el método de los cofactores de cualquier fila de la matriz , en caso que sea simple. Si es raíz doble y se puede extraer un solo vector propio asociado también se podrá usar el método de los cofactores. En cambio si es raíz doble y se pueden encontrar dos vectores propios asociados, no se podrá usar el método de los cofactores. En el caso de las ecuaciones de equilibrio resulta:

4. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

5. Muchas Gracias