COMPLEMENTO TEÓRICAS - Deformaciones en la Flexión - (Utilización de Diagrama de Momentos Reducidos)

1. dq ds q C Deformaciones en la FlexiónEstudio de Casos:Utilización de Diagrama de Momentos Reducidos dq B r A dz A’ Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol B’ M/(E.J) B1 A1 Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. C Consideremos una porción de línea elástica comprendida entre dos puntos cualesquiera Ay B. B dq línea elástica r Consideramos dos secciones muy próximas, separadas entre si dsdz. Ambas presentan un giro relativo d. A ds q Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, (AB’ y A’B), forman entre si un ángulo  que suponemos pequeño. dq dz Supongamos que el diagrama entre los puntos A1y B1es el diagrama de momentos flectores dividido por E.J (cambio la escala del diagrama) A’ B’ B1 A1 M/(E.J) Supongamos conocida la línea elástica. Para calcular la flecha y la rotación relativa de una sección dada procedemos como sigue: Diagrama de momentos reducidos

3. C El área sombrada será: B dq r El resultado de la integral dada por esta ecuación no es sino el áreadel diagrama de momentos reducidos. A ds q dq TEOREMA I: “El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera Ay Bde la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.” dz A’ B’ B1 A1 M/(E.J) La rotación relativa de una sección dada, la calculamos como sigue:

4. Podemos apreciar que cada segmento dsde la elástica contribuye a la longitud fen una cantidad: C B dq integrando estas distancias podemos obtener el valor de f: r A f ds q df dq Momento estático con respecto a Bdel área del diagrama de momentos reducidos TEOREMA II: “Dado dos puntos Ay Bpertenecientes a una línea elástica, la ordenada de Brespecto a la tangente en Aes igual al momento estático con respecto a Bdel área de momentos reducidos comprendida entre Ay B.” dz z A’ B’ B1 A1 M/(E.J) La flecha de una sección dada, la calculamos como sigue. Observemos el segmento BB’:

5. En este caso vamos a determinar la flecha y el ángulo en el borde libre de la estructura en voladizo de la figura. Dado que la tangente a la elástica en Bcoincide con el eje no flexado de la viga, la flecha  resulta ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces el teorema II tenemos: Por otro lado, la pendiente en A es el ángulo  que forma las tangentes en A y B, por lo que según el teorema I tenemos: Veamos algunos ejemplos de aplicación: Ejemplo 1

6. En este caso vamos a determinar la flecha máxima (max)de la viga simplemente apoyada de la figura. La flecha máxima tiene lugar en el punto C donde la tangente a la elástica es horizontal. El ánguloentre las tangentes en A y C resulta igual a A. Este ángulo podemos calcularlo de la siguiente manera aplicando el teorema II y calculando la distancia BB’: Pb/L Pa/L …y operando convenientemente se tiene: Veamos algunos ejemplos de aplicación: La distancia anterior también puede calcularse como: Ejemplo 2

7. Por otro lado, el área rayada en el diagrama de momentos reducidos también debe darnos el valor de A. Siendo que ya conocemos el valor de este ángulo podemos calcular z, que es la distancia desde A hasta el punto donde la flecha es máxima (max). Pb/L Pa/L Si aplicamos nuevamente el teorema II podemos determinar la distancia CC’: Veamos algunos ejemplos de aplicación: Ejemplo 2

8. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

9. Muchas Gracias