COMPLEMENTO TEÓRICAS - Circunferencia de Mohr

1. Círculo de MohrComplemento Teóricas:Estados Triaxiales de Tensión Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial Analicemos las condiciones de equilibrio de un prisma de base triangular como el que se muestra en la figura. Este prisma se forma seccionando el paralelepípedo elemental por un plano inclinado que, independientemente del ángulo de inclinación , permanece paralelo a uno de los ejes principales, que en nuestro caso es el eje y. Proyectemos todas las fuerzas sobre el plano seccionando sobre los ejes que coinciden con las direcciones de y . Estas expresiones se pueden escribir como sigue:

3. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial Verifiquemos el álgebra. Recordando las siguientes relaciones trigonométricas: ; Operando resulta: • verifica y también: • verifica

4. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial …estas son las tensiones en el conjunto de planos paralelos a uno de los ejes principales, operando y ordenando: + = 1 …en el sistema de coordenadas  ,  esta es la ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje  a la distancia del origen y radio: Este círculo se denomina círculo de Mohro diagrama circular del estado tensional

5. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial …en forma análoga pueden graficarse los círculos de Mohrpara planos paralelos a los otros ejes: C D B (ver Resistencia de Materiales – Feodosiev – pags. 256/258) Se puede demostrar que a los planos de inclinación arbitraria les corresponden en el sistema de coordenadas (,) los puntos que se encuentran en el triángulo curvilíneo rayado B, C, D formados por los tres círculos de Mohr

6. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial Estas tres familias de circunferencias pueden escribirse en la forma siguiente luego de una serie de transformaciones: (1) La primera de las ecuaciones representa una familia de circunferencias (ecuación de la forma ) en el plano , , cuyo centro se encuentra sobre el eje  a una distancia igual a y donde les un parámetro. Dicha familia está limitada por las dos circunferencias que corresponden a los valores extremos que puede asumir l, que son 0 y 1, es decir:

7. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial …y cuyos radios son respectivamente y . Las restantes ecuaciones representan otras dos familias de circunferencias, también con el centro sobre el eje , limitadas por los valores extremos de los parámetros my n, que son también 0 y 1. Las abscisas de los centros de ambas familias son para la segunda y para la tercera. En cuanto a los radios de las circunferencias extremas, tenemos para la segunda familia y para la tercera familia .

8. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial D • Definimos los puntos C y D C q1 q3 A B • A partir de estas medimos los ángulos q1yq3cosenos directores l y n de la dirección del plano en cuestión • Trazamos dos perpendiculares al eje spor los puntos A y B representativas de los ejes xyz Así, el punto P (, )(de un determinado estado tensional) puede encontrarse en forma gráfica, trazadas las circunferencias con los valores de ()

9. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial D • Con centro en la circunferencia C 1y radio c1C trazamos un arco C P c3 c1 q1 q3 • Defino el punto Pde coordenadas seránsNytN tN sN A B • Con centro en la circunferencia C 3y radio c3D trazamos un arco

10. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial Analicemos la validez de esta construcción gráfica…

11. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial (ver Estabilidad - Segundo Curso – Enrique D. Fliess – pags. 41/52) …y las tres circunferencias trazadas se cortan sobre un punto P de coordenadas ( , )

12. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial Recordemos las ecuaciones que definían las tensiones normales y tangenciales para estados planos, para un plano que forma un determinado ángulo  cuya normal coincide con x: …y teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonométricas: ; …podemos escribir: (2a) …y elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro resulta: (2b)

13. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial A continuación, en un sistema de coordenadas  ,  graficamos una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje  a la distancia del origen de coordenadas y radio : …y recordando las tensiones principales: …y demostraremos que las coordenadas del punto T( , ) tienen el valor dado por la expresión (2a) y (2b). Graficamos los puntos Q (x , xy) y Q’ (y , yx). Llamando 2 al ángulo que forman y ,se tiene: …pero en la figura:

14. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial …y reemplazando: pero: …teniendo en cuenta que el ángulo 2 se mide en sentido contrario al convenido en la determinación de la ecuación de  y  , es necesario reemplazar por : Análogamente:

15. El círculo de Mohr para el estado elástico espacial …y teniendo en cuenta que: resulta: Pes el polo del círculo de Mohrque surge de trazar por N una paralela a la verdadera dirección de 2y por M una paralela a la verdadera dirección de 1: …o de trazar por Q una paralela a la verdadera dirección de xy por Q’ una paralela a la verdadera dirección de y: r t …y la dirección y módulo de las tensiones (, , ) serán: s …y la recta es la traza del plano sobre el que actúan , 

16. Construir el círculo de Mohrpara el haz de planos cuyo eje sostén tiene la dirección del eje z (estado doble con n = 0) y mediante ella determinar. • Magnitud y dirección de las tensiones principales. • Las componentes de tensión en un plano del haz que forma un ángulo  = 60° con el eje “y” (sentido horario). Enunciado Datos: x = 530 kg/cm2 ; y = -610 kg/cm2 ; xy = 60 kg/cm2 ; zx = zy = 0;  = 60º (respecto del eje y) Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un punto A. Se pide:

17. Ángulo = 60° respecto del eje “y” (sentido horario). y Consideraciones preliminares a = 60° x b = 30° …es equivalente a tomar un ángulo  = 30° respecto del eje “x” en sentido anti horario. Al ser un método gráfico, el círculo de Mohrrequiere que se fije una escala de magnitudes para poder trazarla, en este caso de tensiones. Los valores que se midan del gráfico una vez trazado deberán ser afectados por dicha escala para obtener los valores correspondientes.

18. Convención En un estado planorepresentado por un elemento de superficie contenido en el plano x-y definimos: Par de ejes principales de inercia (1 - 2), ubicados respecto de los ejes coordenados (x – y) rotando la terna un ángulo medido en sentido anti horario y I y’ Consideraciones preliminares II x’ Par de ejes genéricos (x’ – y’),ubicados respecto de los ejes coordenados (x – y) rotando la terna unángulo medido en sentido anti horario sy sx q x b Las tensiones(consideradas positivas) que actúan sobre el elemento de superficie son: tyx txy En el círculo de Mohrgraficaremos las tensiones normales ()con su signo, y las tangenciales ()las graficaremos como positivas si generan respecto al baricentro de la superficie elemental giros horarios y negativas si generan giros anti horarios. +

19.  Construimos la circunferencia de Mohr Se ubica el centro“C” de la circunferencia a una distancia respecto del origen de coordenadas “O” igual a: Resolución B (-610; 60)  O C A (530; -60) Se ubican los puntos “A”de coordenadas (x; xy) y“B” (y; yx) de acuerdo a la convención adoptada A -C-Bes diámetro del círculo de Mohr. Se establece un sistema coordenado tal que las abscisas representan las tensiones normales, siendo positivo hacia la derecha y las ordenadas representan las tensiones tangenciales, siendo positivas hacia arriba

20.  Definimos el polo “P”del círculo de Mohr, para ello: Trazamos por Auna paralela a la dirección de x. Trazamos por Buna paralela a la dirección de y. Ambas rectas se cortan sobre la circunferencia definiendo el polo “P” B (-610; 60) s3  -613 [kg/cm2] P  O s1  533 [kg/cm2] s2 = 0 C A (530; -60) P-Aserá la traza de referencia del eje “x” y P- Bserá la traza de referencia del eje “y” para medir ángulos En los estados planos de tensión una de las tensiones principales es i = 0; las otras dos tensiones serán los puntos en los que el círculo de Mohrcorta al eje de abscisas.

21.  Las direcciones principales las obtenemos uniendo el polo “P”con 1 y 3 II Dónde la recta corta al círculo de Mohrobtenemos el punto “D”que define al estado tensional para el plano que forma un ángulo = 60º respecto del eje “y” (o  = 30° respecto del eje “x”) D B (-610; 60) s3  -613 [kg/cm2] P 30°  510 [kg/cm2]  O s1  533 [kg/cm2] s2 = 0 C A (530; -60)  = 30° 30°  572 [kg/cm2] I qI 3° qII 93° s30°  260 [kg/cm2] Las tensiones yque actúan sobre un plano definido por el ángulo = 60º respecto del eje “y” (o  = 30° respecto del eje “x”), se determina trazando desde el polo Puna recta con una inclinación definida por (o )

22.  De esta forma los ángulos medidos son el doblede los medidos a partir delpolo “P” II 2 = 60° B D P  O C A  = 30° 2qI 6° I 2qII 186° qI 3° y x qII 93° …y las restantes familias de circunferencias serán: Nota: también podemos medir los ángulos a partir del centro del círculo “C” considerando que las trazas de referencia de los ejes“x”e“y” son las siguientes:

23. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

24. Muchas Gracias