SKKN Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc

1. MỤC LỤC DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT ..................................................................... 1 I. LỜI GIỚI THIỆU .............................................................................................. 2 II. TÊN SÁNG KIẾN ............................................................................................ 3 III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN .................................................................................. 3 IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN .......................................................... 3 V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ............................................................. 3 VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ .. 3 VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN ..................................................... 3 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 3 1. Cơ sở lý luận .................................................................................................. 3 2. Thực trạng ...................................................................................................... 4 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ .. 5 1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, quãng đường .............. 5 2. Ứng dụng trong cách bài toán về tối ưu chi phí sản xuất ............................ 45 CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG TÂM GDNN-GDTX YÊN LẠC” ................................................................................................................... 53 1. Về phương diện lý luận ................................................................................ 53 2. Về phương diện thực tiễn ............................................................................ 53 3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến .................... 55 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 57 VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT ..................................... 57 IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ................... 57 X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN ................................. 57 XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU ..................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO. .................................................................................. 59 Lop5.com.vn

2. DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Chữ viết tắt GD&ĐT GTLN GTNN GDTX GDNN-GDTX GV HS SGK THPT Nội dung Giáo dục và đào tạo Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Giáo dục thường xuyên Giáo dục nghề nghiệp –giáo dục thường xuyên Giáo viên Học sinh Sách giáo khoa Trung học phổ thông 1 Lop5.com.vn

3. BÁO CÁO KẾT QUẢNGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I. LỜI GIỚI THIỆU Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thểkhông đề cập đến.Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thểhiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sảnxuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽcác quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trởthành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậykhông phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấythực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học cónguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học làcông cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học chương trình THPT, đặc biệt dạy học khối GDTX nhìn chung mới chỉ tậptrung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duytri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trongtoán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức vàthường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuấtcòn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình môn Toán. Như vậy, trong giảng dạy môn Toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứngdụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học khôngtrừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giảiquyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêmsự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sảnxuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình vàgiáo dục xã hội”. Có rất nhiều ứng dụng Toán học để giải được các bài toán thực tế, để giúp các em học sinh dễ dàng tiếp cận được với các bài toán thực tế dựa trên những kiến thứcđược học trong chương trình GDTX cấp THPT, tôi đã chọn “Ứng dụng của đạo hàmđể giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 2 Lop5.com.vn

4. II. TÊN SÁNG KIẾN “Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc” III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN -Họ và tên: Nguyễn Văn Điệp -Địa chỉ: Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc -Số điện thoại: 0973870375 -Email: nguyenvandiep2909@gmail.com IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm. V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học chuyên đề về ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tếcho đối tượng học sinh tại Trung tâm GDNN- GDTX Yên Lạc. VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ Ngày 06 tháng 9 năm 2018. VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN CHƯƠNG I:CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận Trong học tập và nghiên cứu toán học. Để đạt được hiệu quả tốt đều cần có sự hài hoà giữa lý luận và thực tiễn.Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động thực tiễn của con người đi đúnghướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp lý luận có ý nghĩa hơn. Mục đích của dạy học Toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em. Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường. 3 Lop5.com.vn

5. 2. Thực trạng Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên, … còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về lĩnh vực này, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên quan đến các bài toán thực tế để có được cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hội. Điều đó nói lên vai trò toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vựccủa khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, vănhọc … Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng dụng toán học để phục vụ giảng dạy cũng như đã tập hợp được một số tình huống. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả. 4 Lop5.com.vn

6. CHƯƠNG II:ỨNG DỤNG HÀMSỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn: Một là,các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học. Qua cácví dụ minh họa dưới đây, tác giả sẽ chỉ ra những dạng toán thường gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đặt ra? Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Như chúng ta đã biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên phải "thiết lập được hàm số". Như vậy ta có thể mô tả quy trình giải các bài toán thực tếnhư sau: Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả "dưới dạng ngôn ngữ Toán học" cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài. Bước 2. Dựa vào các kiến thức liên quan đến các vấn đề thực tế như trong kinh tế, đờisống, khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét chỉ xét với tình huống 1 biến). Bước 3. Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa. 1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển,quãng đường Bài toán 1.Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kíchthước là , a bvới , 0 a b . Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất Phân tích: Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông cắt đi. Như vậy, ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1 a −    2 0 a x x nên ta có cạnh của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành 2 a   0 x . 2 5 Lop5.com.vn

7. −  x 2 − 0. ) b )( x 2 Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là Đến đây ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp ( = − 2 V x a x b ( ) max x   V x Bài toán trở thành tìm     a 0;2 Lời giải a   Gọixlà cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0 . x 2 Khi đó thể tích khối hộp là: ( )( 2 V x a x b = − ) ( ) ( ) − = a b x + ( ) V x − + abx V x = 2 4 2 3 2 x x max x   ( a b x + Bài toán trở thành tìm     a 0;2 ( ) ( 4 ) = − + Ta có ' 12 4 2 V x x ab ( ) ) 2  = a b + − = − ab b +  , . a b  ' 12 4 0, ab a 2 2 V =luôn có 2 nghiệm phân biệt: Do đó ' 0 + − − ab b + + + − ab b + 2 2 2 2 a b a a b a =  = x x 1 2 6 6 +      a b + =  0 x x 1 2 3    Theo định lý Vi-et, ta có: 0 . x x 1 2 ab =  0 x x 1 2 12  =     a a ( ) − = −     ' 0. 0 . Do đó 2 V a ab a a b x x Hơn nữa, ta có 1 2 2 2 Bảng biến thiên a x 0 1x 2 ( ) ' V x − 0 + max ( ) V x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Vđạt giá trị lớn nhất khi + − − ab b + 2 2 a b a = = x x 1 6 6 Lop5.com.vn

8. Bài tập tương tự 1: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 12cmvà chiều rộng bằng 10 . cmNgười ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng ( như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm xđể hộp nhận được thể tích lớn nhất. ) x cmrồi gập tấm nhôm Lời giải Áp dụng kết quả của câu trên ta có 12 10 + − − + − 10 10.12 12 11 31 2 2 = = x 6 3 Bài tập tương tự 2:Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn cạnh hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng ( ), x cmrồi gập tấm nhôm như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm xđể hộp nhận được thể tích lớn nhất. cmNgười ta . Tương tự bài toán 1, khi tấm nhôm có dạng hình chữ nhật trở thành hình vuông thì , a b = khi đó ta có: + − − ab b + 12 6 2 2 a b a a ( ) = = = = 2 x cm 6 6 Bình luận:Ngoài cách giải dùng "công thức giải nhanh" ta đã thiết lập. Ta thấy rằng còn có thể xét các trường hợp của đáp án để tìm lại số đo các kích thước hình hộp, từ đó tính thể tích. Bài toán 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao ( ) 4 , msong song và cách tường gốc của cái cột đỡ. ( ) 0,5 m kể từ 7 Lop5.com.vn

9. Phân tích: Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình bằng hình vẽ. Để xác định được độ dài ngắn nhất của ACthì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng nào? Để từ đóđịnh hướng được cách đặt ẩn phụ thích hợp. Đồi với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là phân tích AC AB AC = + = x + 2 2 và hướng thứ hai là AC AM 0, MC =  f xbiểu diễn độ đến đây HC Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt chỉ cần tính được AB theo xlà đã có thể lập được hàm số ( ) dài AC. Ta sử dụng đến quan hệ tỷ lệ trong định lý Thales thuận (MH // AB) nên HC MH x BC AB x + ( ) f x = = = min ? ta có . Bài toán trở thành tìm 0,5 =  0, thì khi đó ta sẽ HC x Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt biểu diễn độ dài AC P x = Do đó ta chuyến hướng qua tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy . MCH AMK  = = Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó .sin MC MH  = và thành tìm ( ) min ? g  = ( ) ( ) + (việc khảo sát hàm số này rất phức tạp). Q x =  .cos . Khi đó bài toán trở AM MK Lời giải . Theo định lý Thales ta có: ( ) 0,5 x x =   = + 0 0,5 HC x BC x Đặt + 4 HC BC MH AB x = =  = AB + 0,5 x ( ) 2 + 16 0,5 x Do ABC   = + + vuông tại 2 2 2 B AC AB BC 2 x 8 Lop5.com.vn

10. ) ( x ) ( 2 + + 0,5 16 2 x x = Hay 2 AC 2 65 4 + + + + 16 4 4 3 2 x x x x Đặt ( ) ( ) =  , 0 . f x x 2 x ( ) f x =với x  0. min ? Bài toán trở thành tìm           65 2 65 4 + + + − + + + + 4 3 16 2 16 4 3 2 2 4 3 2 x x x x x x   x x x ( ) x = Ta có ' f 4 x + − − 2 16 8 4 3 x x x ( ) x  = ' f 3 x =   2 x )( ) ( ) x ( )( =  − + + + =  = − ' 0 2 2 1 2 4 0 2 f x x x x 1 2  0 x  Bảng biến thiên: + 2 x 0 ( ) x − 0 + ' f ( ) f x ( ) 2 f 125 4 ( ) f x ( ) 2 = = min x  f Dựa vào bảng biến thiên ta có 0 125 4 5 5 2 AC = = min Do đó ta có       =  Cách khác:Đặt 0;2 x ACB 1 4 KM MH = + = + = + AC AM MC Khi đó ta có cos sin 2cos sin x x x x 1 4 Đặt ( ) g x ( ) g x = + = . Bài toán trở thành tìm min     ? 2cos sin x x    0;2 − + 8cos 2sin =  sin 3 3 x x x ( ) = Ta có: ' g x cos 2 2 x ( ) ( ) =  =  ' 0 tan 2 tan 2 63 26'6'' g x x x arc o 0 9 Lop5.com.vn

11. ( ) g x ( ) g x ( ) m  =  min     5,5902 AC Lập bảng biến thiên suy ra min 0    0;2 Bình luận:Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình ( ) x = hay ( ) g x = ' 0 ' 0. f Hai là, ngoài việc sử dụng "ứng dụng đạo hàm" để tìm GTLN –GTNN của hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt 1 , , ; 0 2      = =   AB b BC a a  b x a y b Dùng hệ trục Bxy( )   + = , . : 1 Ta có BC Bx BA By AC       1 2 1 2 4 b  + = ;4 1 M AC Khi đó a thỏa mãn 1 4 b ( ) = + + = min min 1 2 2 2 AC a b Bài toán trở thành tìm 2a 65 4 + + + + 16 4 4 3 2 x x x x      +        16 x 4 x 65 4 Ba là, ta có: ( ) = = + + + 2 f x x x 2 2 x 8 x 8 x 4 x 65 4 x x ( ) f x  = + + + + + + 2 x 2 2 2  3 3 2  3 8 65 4 125 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( ) f x  + + = 3.4 3 x = 2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Bài tập tương tự:Tìm chiều dài Lbé nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao kể từ tim cột đỡ. ( ) 3 3 mvà cách tường ( ) 1 m 10 Lop5.com.vn

12.       =  0;2 x ACB Đặt 1 3 3 sin BH MH = + = + = + AC AM MC Khi đó ta có: cos sin cos x x x x 1 3 3 sin Đặt ( ) g x ( ) g x = + = min     ? . Bài toán trở thành tìm cos x x    0;2 − sin 3 3cos cos x 3 3 x x ( ) = Ta có ' g x sin 2 2 x        ( ) =  =  =  ' 0 tan 3 0; g x x x 3 2 Lập bảng biến thiên, ta có:   x 0 3 2 ( ) ' g x − 0 + ( ) g x 8        ( ) g x ( ) m  = = min     8 . AC g Do đó min 3    0;2 Bài toán 3.Cần phải xây dựng một hố ga dạng hình hộp chữ nhật có thể tích ( ) V mkhông đổi, hệ số 0 k cho trước (klà tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Phân tích: Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến. Như vậy, ta cần hiểu yêu cầu bài toán "tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì?" Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất. Lời giải ( ) , 0 x y x y   lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga. Gọi hlà chiều cao của hố ga ( ) 0 . h  3 Gọi 11 Lop5.com.vn

13. V hx V kx = =  = = và Theo đề bài ta có: h kx V xyh y 2 Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần hố ga là nhỏ nhất. Khi đó ta có: ( ) + 2 1 k V V kx ) 1 V kx k x ( ) ( ) = + = + + = + 2 2 2 2 2 2 2 S xh yh x kx kx x kx tp 2 2 ( + 2 k V k x Xét hàm số ( ) = + 2 2 f x kx Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) x  f xvới 0. +       1 k 2 V ( ) − + 2 1 2 3 k x k V k x ) 2 ( ) x = − = Ta có: ' 4 2 f kx 2 2 kx ( + 1 k V ( ) x =  =  ' 0 0 f x 3 0 2 k Bảng biến thiên: + 0x 0 0 x ( ) x − + ' f ( ) f x ( ) f x 0 ( )         + 1 k V ( ) f x = . min x  f Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 2 2 k 0 ( ) + 1 k k V 4 k kV + = = và . h y Khi đó 3 3 ( ) 2 2 1 Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, Ta có thể sử dụng bất đẳng thứcđể tìm min S tp + + +                   1 1 1 k k k 2 V V V ( ) + 2 1 2 k V k x k k = + = + +  2 2 3 2 2 S kx kx 3 tp x x k 12 Lop5.com.vn

14. +       1 k V ( ) + 1 k V k =  = 2 2 kx x Khi đó, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 2 2 x k Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa mãn yêu cầu bài toán trên ta đi đến ( ) 3 2 2 4 1 k +   + =  Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết kx hay h ky = (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp)thì liệu rằng bài toán có thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với . h kx = Do đó const min , 0 y kx k =   const min , 0 y ky k =   Bài tập tương tự 1:Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích ( ) V m , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác định kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Lời giải Gọi , , x y hlần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.   =    + 1 k V x k 2 k 2 kV kx + h + =  = = y y quan hệ giữa chúng là: 3 ( ) 2 1 1 k ( ) 1 k k V h 3 2 V = const và thay thế = y =   V 2 k 2 kx = + y ⎯ ⎯ ⎯ → S =  = = ? h Nếu , , x y h ? + tp 1 1 k =   V 2 k 2 ky = + h + ⎯ ⎯ ⎯ → S =  = = ? x Nếu , , x y h ? tp 1 1 k 3 Dựa vào bài toán 3, ta có: V xyh h x k =   Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài khối hộp. Bài tập tương tự 2:Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hố nước bằng gạch và có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không có nắp, có chiều cao là hvà có thể tích là chiều cao hcủa hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? Lời giải Gọi , , x y hlần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp. =   6 = 2 = x h h ⎯ ⎯ ⎯ → S =  = = min ? y , , x y h ? tp 3 , 0 4 4 2 ( ) Hãy tính 18 . 3 m 13 Lop5.com.vn

15. V xy V x =  = = = và 3 V xyh h y x Theo đề bài ta có 3 2 Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần hố ga là nhỏ nhất. 8 3 4 3 4 3 16 2 V x V x V x V = + = + +  = 3 3 3 36 2 2 S x x 3 tp 3 4 3 4 3 2 V x= V  = =  = 3 2 2 x x h Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 9 Bình luận: So với bài toán 3, bài toán này chỉ có 1 điểm khác biệt chính là đáy "không = =     , 0 y V kx k ⎯ ⎯ ⎯ → = min S nắp". Bạn đọc có thể tổng quát bài toán lên thành , , x y h ? const Bài toán 4.Có hai vị trí , A Bnằm về cùng phía đối với bờ sông ( ) hình vẽ. Khoảng cách từ Ađến bờ sông là ( ) 45 . mKhoảng cách giữa A và B là đến bờ sông (phía , A B) để lấy nước sau đó đi về vị trí B. Hỏi đoạn đường tối thiểu người đó đi từ Ađến B(có ghé qua bờ sông) là bao nhiêu mét? dnhư ( ) mKhoảng cách từ Bđến bờ ( ) 5 409 . mMột người đi từ A 30 . sông là Phân tích: Gọi M là điểm nằm trên cạnh ON (vị trí để từ A đến để lấy nước từ bờ sông). Khi đó ta cần xác định M sao cho ( )min + AM MB 14 Lop5.com.vn

16. , , AB AO BNnên ta có thể mô tả độ dài cạnh AM Do đề bài đã cho độ dài theo OM. Tuy nhiên để biểu diễn độ dài cạnh BM theo độ dài OM thì ta cần biểu diễn MN theo OM. Điều này dẫn đến việc cần phải tính độ dài ON. ( ) ( ; ON d A BN AB BN  = = − − ) 2 2 HN Đến đây ta nhận thấy biểu thức: = + = + + + 2 2 2 2 S AM MB OA OM MN NB ( ) 2  = + + − + =   30 100 45 và 0 2 2 2 S x x với x x ON OM ( ) f x )( ) = min  ? ONf x Bài toán trở thành tìm ( 0; x Lời giải Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của A lên BN ( BN . ) 2 = = − − 2 ON AH AB HN Dựa vào hình vẽ ta có Gọi Mlà vị trí mà người đó đi từ Ađến bờ sông. ( ) ( , 0 OA x m x =   phải đi là: S AM MB = + = ) + 100 . Khi đó đoạn đường tối thiểu mà người đó + + Đặt 2 2 2 2 OA OM MN MB ( ) 2  = + + − + 30 100 45 2 2 2 S x x Đặt ( ) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 2   == + + − + với 0 100. 30 100 45 2 2 2 x f x x x   f xvới 0 100. x + 100 x + x ( ) x = − ' Ta có: f − + 30 12015 200 2 2 2 x x x = = −  40 x x ( ) x =  ' 0 f ( )  200 0;100  Bảng biến thiên: 40 100 x 0 ( ) x − 0 + ' f ( ) f x 125 )( ) ( ) ( ) m = = = min min x  40 125 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: S f x f ( 0;100 15 Lop5.com.vn

17. Bình luận: Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải như sau: ( ' ' min AM MB MA MB BA AM + = +   ) + =  ' ', , thẳng hàng. MB BA A M B = + = + = ' ' ' ' 100 75 125 2 2 2 2 BA A B BB Do đó Bài toán 5. Một con đường được xây dựng giữa haithành phố A và . B Hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng ( cần xây một cây cầu bắc qua sông, biết rằng A cách con sông một khoảng bằng ( ), xác định vị trí xây cầu EF(theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất? Phân tích: Ta thấyrằng vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa 2 thành phố là nhỏ nhất tương ứng với độ dài đường gấp khúc AFEB nhỏ nhất. Lúc này do đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết khoảng cách AF như hình vẽ với AF vuông góc với BF. Khi đó nếuta đặt CF x x p ED p x AF p =  Tổng khoảng cách lúc này là ). r kmNgười ta a km Bcách con sông một khoảng bằng ( ) ( , 0 )   như hình vẽ. Hãy b km a b =   ( )    = − , 0 ( ) 2 = + + + + + + − + 2 2 2 S AF EF EB x a r p x b Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )   S xvới 0 . x p Lời giải , 0 p x − ( ) =  =   = và . CF x ED x p Đặt AF p Khoảng cách giữa hai thành phố sẽ là: ( ) 2 = + + + + + + − + 2 2 2 S AF EF EB x a r p x b 16 Lop5.com.vn

18. ( ) S xvới 0 ( ) 2 = + + + x − + 2 2 2 S x x a   r p x b Đặt . Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số ( ) . p − x + x + p ( ) = + ' S x Khi đó ( ) 2 2 2 x a − 2 b p x ( ) ( ) ( ) 2 =  ( p + − = − ) + ' 0 2 2 2 S x   x b )   − p x p x x a ) ( ( ) ( 2 2  + − = − +  − − + = (*) 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x b x p x x a a b x a px a p ( )  = − =  Xét ' 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a p a p a b a p b − − + −   2 a p a a p a apb b apb b ap a ap a − ( ) = =  0; x p + 2 2 b   Do đó phương trình (*) 2 =   ( ) =  0; x p 2 2 b 2 2 a b ( ) x ( ) = +    '' 0, 0; S x p Mặt khác, 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) + 2 2 x a 2 + − 2 b p x       ap a + ( ) = min S x S Do đó b ap a + = x Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố ngắn nhất thì b Bài tập tương tự 1: Hai thành phố A và Bnằm ở hai phía khác nhau của một con sông thẳng, lòng sông rộng 800 , mthành phố Aở phía bên phải cách bờ 6km và cách thành phố Btheo đường chim bay 16 1500 . mNgười ta muốn xây một cây cầu CDvuông góc với bờ sông sao cho quãng đi bộ từ Ađến B(độ dài đường gấp khúc ACDB) là ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường đó? kmthành phố Bcách bờ trái ; 17 Lop5.com.vn

19. Lời giải Sử dụng kết quả của bài toán vừa rồi ta xác định đại lượng quan trọng p (chính là đoạn BE song song dòng sông, BE ⊥ ) EA 9 231 10 ( ) 2 = − 6 0,8 1,5 + + = , đồng thời 2 p AB Khi đó, 1,5 1,5 6 9 231 50 ap a + p = = = x + b ( ) 2  = + + + − + = min 16,4 2 2 2 S x a r p x b Bài tập tương tự 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ Cđến B là 1 km. Khoảng cách từ Bđến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. Lời giải Trước tiên, ta xây dựng hàm số ( ) f x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. = − = + . Theo đề bài, mỗi km dây =thì ta được: 2 4 ; 1 SA x CS x Đặt BS x điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD, như vậy ta có hàm số ( ) f xđược xác định như sau:   ( ) f x Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) và từ đó xác định được vị trí điểm S. ( ) x = − + +với 2 0;4 3000. 4 5000. 1 x x f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng x ( ) x 3000 5000. = − + ' f + 2 1 x x ( ) x =  − 3000 5000. + =  − 1 5000 + + = 2 ' 0 0 3000 0 f x x + 2 1 x 18 Lop5.com.vn

20.       3 4   =  = 2 x 16 x  9 x 3 4  + =    = 2 3 1 5 x x x  0 0 x f xliên tục trên đoạn   Hàm số ( ) 0;4       3 4 Ta có ( ) ( ) 4 = = = 0 17000; 16000; 20615,52813. f f f 3 4 13 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) x = f xlà 16000 và tại . Khi đó chi phí thấp 3 4 = − = − = 4 4 nhất và điểm Snằm cách Amột đoạn (km). SA x Bài toán 6. Giả sử bạn là chủ xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20lít. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất thì độ cao bồn chứa cần làm là bao nhiêu mét? Phân tích: Ta đặt ra một số câu hỏi định hướng như sau: - Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất? - Có thể tổng quát bài toán này lên không? Ta nhận thấy để ít tốn nguyên vật liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao lên ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay chính xác hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho.  = + = đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h. Đến đây ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích 2 const V r h  = = , tức là đang cho mối liên hệ giữa bán kính đáy r và chiều cao V V r h h r  +  2 2 2 (với r, h lần lượt là bán kính 2 S S S rh r Mà ta đã biết tp xq đ =   = . 2 h của hình trụ. Từ 2 19 Lop5.com.vn

21. Như vậy ta có thể tìm được min Và ta thấy nên tổng quát bài toán này lên thành lẻ trường hợp 20 V = lít. Sphụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h. const V = tp thay vì chỉ xét riêng Lời giải Gọi r, h( ) r h  lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi V r  Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm rsao cho diện tích toàn phần của , 0 =   = 2 V r h h đó ta có: 2       V V  =  +  =  +  =  + 2 2 2 2 2 2 2 2 S rh r r r r khối trụ nhỏ nhất. Do đó,  tp 2 r r V  ( ) f r Xét hàm số ( ) = = + min r  ? 2 f r r . Bài toán trở thành tìm r 0 V ( ) r = − Ta có: ' 2 f r  2 r 34 V  V  ( ) r =  =  = ' 0 f r h 3 2 Bảng biến thiên:  V  r 0 3 2 2 ( ) r ' f − 0 + ( ) f r       V  f 3 2       V  ( ) f r = min r  f Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 2 0       4  4.20  V ( ) m = =  2,94 . h f Khi đó, 3 3 Bình luận: Ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy             2 V  V  V  V  =  + =  + +  2 .3  2 2 2 2 S r r 3 tp 2 2 4 2 r r r 20 Lop5.com.vn

22. 34 V  V   =  = r h 3 2 4  V 3 h r = =  = 2 2 h r Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta thấy: 4 2 V  3 Bài tập tương tự 1: Trong các khối trụ có diện tích toàn phần bằng S,khối trụ có thể tích lớn nhất khi bán kính đáy rvà đường cao hlần lượt bằng bao nhiêu? Lời giải − = +  =  2  2 S r S    = − Ta có 2 2 2 S rh r h r tp 2 2 r r       S  Sr =  =  − = −  3. 2 2 V r h r r r 2 2 r Sr Xét hàm số ( ) ( ) f r = −  = Bài toán trở thành tìm 3. max x  ? f r r 2 0 S S  ( ) r ( ) r = −  =  = ' 3 Ta có: ; ' 0 2 f r f r 0 2 6 Bảng biến thiên: + 0r 0 r ( ) r − + 0 ' f 1250 ( ) f r       S  ( ) f r = max x  . f Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 6 0 S  = = . r h Khi đó, 6 Bài tập tương tự 2: Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 150 . mĐáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/ tôn giá 90 nghìn đồng/ m . Vậy phải chọn kích thước bình như thế nào để chi phí xây dựng là thấp nhất? Lời giải mthành làm bằng 3 2, 2 21 Lop5.com.vn

23. Gọi , r hlần lượt là bán kính đáy và chiều cao của bình chứa hình trụ ) 0 . r h  ( , 150 r  = =  =  = Khi đó, 150 2 3 V r h m h 2 Tổng chi phí xây dựng là: ( ) 100. + + 90. 120. P r S S S xq n đ 27000 r ( ) ( )  = + =  +  =  + 220. 90. 220 90 2 220 2 2 P r S S r rh r xq đ ( ) P r =với r  min ? 0. Bài toán trở thành 27000 r 3675 11 ( ) ( ) =  − =  = Ta có: ; ' 440 ' 0 P r r P r r  2 Bảng biến thiên: + r 0 r ( ) − 0 + ' P r ( ) P r P min 3675 11  = và r Dựa vào bảng biến thiên tha thấy yêu cầu bài toán  150 = . h 2       675 11  3  Bài toán 7. Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn ( ) 140 mhàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu? 22 Lop5.com.vn

24. Phân tích: Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Ta cần rào cạnh AB, BC, CD, EF như hình vẽ. Việc đề bài cho ta 240m rào tức là đã cho tổng chiều dài của 4 cạnh AB, BC, CD, EF hay 3 240 AB BC + = = . với yêu cầu S AB BC max = thì khi đó độ dài cạnh BC sẽ là ) 240 3 240 3 x x x x − = − 0 AB S x ( Như vậy nếu đặt 240 3 x = − =  0. Do đó, 2 BC Lời giải Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Đặt 0 AB x BC =   Diện tích hình chữ nhật ABCD là Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 80. x   ( ) ' 240 6 f x x = − ( ) ' 0 40. f x x =  = Do '' f ( ) 0;80 x  = −    240 3 0 80 ( 240 3 x x = ) − = − 240 3 2 S x x x x = − 240 3 với 2 f x x x 0 Ta có: ( ) x ( ) =−    nên 6 0, 0;80 x )( ) = = =  = max max 40 4800 40 S f x f x ( 4800m . 2 Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là Bình luận:Ta có thể biến đổi ( ) 240 3 4800 3 f x x x = − = ( ) 2 − −  x = 40 4800. 40. 2 x Dấu "=" xảy ra khi Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy: ( ) 2 + − 3 240 3 4 x x 1 3 1 3 ( ) f x ( ) ( ) = − = −  = 240 3 3 240 3 4800 x x x x = −  = Dấu "=" xảy ra khi 3 Bài tập tương tự 1:Một khu vườn hình chữ nhật được xây dựng bên cạnh một nhà để xe. Người làm vườn có hàng rào dài 100mvà dự định làm một hàng rào 3 cạnh: mặt bên của nhà xe sẽ là cạnh thứ 4. Kích thước nào sẽ làm chodiện tích khu vườn lớn nhất? 240 3 40. x x x 23 Lop5.com.vn

25. Lời giải Gọi ( ) x mlà chiều rộng của hình chữ nhật như hình vẽ, (0 đó chiều dài dạnh hình chữ nhật sẽ là 100 2x = Xét hàm số ( ) ( 100 2 f x x = − Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( ) ' 100 4 f x x = − ; f   Khi 100. x − . ( ) − 100 2 ) , x   S x x ( Diện tích hình chữ nhật ) 0;100 x ( ) x f xvới ( ) 25 m 0;100 ( ) x =  = Ta có: ' 0 x Bảng biến thiên: 25 100 0 x ( ) x − + 0 ' f 1250 ( ) f x )( ) ( ) = = max x  25 1250 f x f Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( 0;100 Vậy một hình chữ nhật có chiều rộng là 25mvà chiều dài là 50msẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập tương tự 2: Một người nông dân có 15000000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được? Lời giải + = Theo đề bài ta có: 30.50000 2 .60000 15000000 y − − 150 15 12 500 5 x x  + =  = = 15 12 1500 x y y 4 Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằngcông thức: 24 Lop5.com.vn

26. − 500 5 1 2 x ( ) = = = − + 2 2. . 2 . x 5 500 S x y x x 4 1 2 ( ) Xét hàm số ( ) trên khoảng ( ) = − + 2 5 500 f x x x 0;100 1 2 1 2 ( ) x ( ) ( ) x ( )  = − + =  − + =  = ' 10 500 ' 0 10 500 0 50 ; f x f x x Bảng biến thiên: 50 100 x 0 ( ) x − 0 + ' f 6250 ( ) f x Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích lớn nhất của đất rào là 6250. Bài toán 8. Một chất điểm chuyển động theo quy luật ( ) với s tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm tmà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Phân tích: Với kiến thức vật lý đã được học, ta biết ( ) lớn nhất trong 5 giây đầu tiên thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã được học. Lời giải Ta có: ( ) ( ) ' 12 3 9 v t s t t t = = − −  ( ) ' 0 2 v t t =  = = − − + 6 9 1 2 3 s t t t t ( ) = ' . v t s t Do đó để tìm giá trị ( ) =− + ' 6 12 2 v t t Bảng biến thiên: 2 5 0 t ( ) − 0 + ' v t 3 ( ) v t ( ) 0;5 ( ) 2 = = max t  3. v t v Dựa vào bảng biến thiên ta có:  Bình luận:Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ nét nhất chính là qua các bài toánchuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài 25 Lop5.com.vn

27. toán chuyển động như vậy, ta còn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác. Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ hơn. Bài tập tương tự:Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là ( )( ) s t kmlà hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuân theo biểu thức sau: ( ) ( ) 2 s t e te km = + . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? Lời giải Ta có: ( ) ( ) ' 2 2 6 v t s t te e te = = + +  23 + 3 1 t + t ( ) 1 ( ) = + = = 23 + 3 1 t + 3 1 t + 2 2 6 10 / 4 4 4 4 v e e e e km s t Bài toán 13. Một nguồn điện với suất điện động Evà điện trở r được nối với một biến trở Rnhư hình vẽ. Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ đạt cực đại? Phân tích: Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần có kiến thức về dòng điện 1 chiều đã học ở lớp dưới: công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ là = và 2 P RI E + = I . đồng thời cường độ dòng điện trong mạch sẽ là R r Đến đây, ta thấy P có thể tính theo R và r. Và do đó ta có thể vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P. Lời giải E + = = với I 2 P RI Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có R r 2 2 RE R RE R ( ) Xét hàm số ( ) ( )  =  =  2, 0 . 2, 0 P R f R R ( ) ( ) + + r r ( ) ( ( 4 ) 2 + − + − + 2 R r R R r r r R R r ( ) R = = ' Ta có: 2 2 f E E ) ( ) 3 + R 26 Lop5.com.vn

28. ( ) R =  = ' 0 f r R Bảng biến thiên: + r 0 R ( ) ' f − 0 + R ( ) f r ( ) f R 2 E ( ) f R ( ) f r = = = Suy ra max . r R . Khi đó 4 r Bài tập tương tự:Một dòng điện (đơn vị Ampere –A) trong mạch máy khuếch đại tuân theo hàm số theo thời gian t (giây) cho bởi công thức: ( ) ( ) 0,1cos 120 6   cảm có độ lớn 2mH , biết rằng ( ) . ' L V Li t =      =  + i t t A . Hãy xác định biểu thức của điện áp đi qua cuộn ? Lời giải        Ta có: ( ) 12 sin 120  = −  + ' i t t 6        ( ) ( ) V  = 24.10 sin 120 = −  + − . ' 3 V Li t t L 6 Bài toán 9. Thể tích Vcủa 1kgnước ở nhiệt đột (t nằm ở giữa 0oCđến 30oC ) được cho bởi công thức: = − + ( ) − 999,87 0,06426 0,0085042 0,0000679 . 2 3 3 V t t t cm Ở nhiệt độ nào thì nước có khối lượng riêng lớn nhất? Phân tích: Khối lượng riêng lớn nhất tương ứng với thể tích của vật nhỏ nhất. Do bài toán đã xác lập hàm nên ta có thể dùng công cụ đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên. Lời giải ( ) ' 0,06426 2.0,0085043 V t =− + ( 79,53138 0 ;30 ' 0 3,9665 t   − 3.0,0000679 Ta có: 2 t t )    t o o ( ) =  V t Bảng biến thiên: 27 Lop5.com.vn

29. 3,9665 30 0 t ( ) − 0 ' V t + ( ) V t V min Dựa vào bảng biến thiên ta có khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ bằng 4 oC . Bình luận:Trong thực tế, ở nhiệt độ 4oCthì nước có khối lượng riêng lớn nhất. Đây là kiến thức ta đã được học từ Vật lý lớp 7. Bài tập tương tự 1:Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức ( ) 0,1 1,2 98,6 T t t t =− + + với 0 Fahrenheit) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất độ celcius ( Celcius) của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra? (Biết rằng 32 1,8   trong đó T là nhiệt độ ( oF - 12, 2 t oC - − F o = ) C o Lời giải ( ) =− + Ta có: ( ) ' T t ' 0,2 1,2 T t t =  = 0 6 t ( ) ( ) ( ) 12 = = =      0 98,6 37 = = T F C o o ( )  =  = 6 102,2 = 39 max t  39 6 Đồng thời ta có: T F C T t C t o o o  0;12 98,6 37 T F C o o t = Vậy nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là 39oC khi Bài tập tương tự 2: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngàyxuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là ( ) 45 f t t t = − (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f '(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu? Lời giải Ta có ( ) ( ) 45 ' 90 f t t t f t t = −  = Đặt ( ) ( ) 90 3 ' 90 6 g t t t g t = −  = − ( ) ' 0 90 6 0 15 g t t t =  − =  = Lập bảng biến thiên của ( ) g t ta suy ra 6. 2 3 − 3 2 3 2 t 2 t t = 15 là giá trị cần tìm. 28 Lop5.com.vn

30. Bài toán 10. Hai con tàu A và Bđang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu Achạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu Bchạy về vị trí hiện tại của tàu Avới vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất? Phân tích: Trên Trái Đất hay các hành tinh hoặc thiên thể hình cầu, vĩ tuyến là một vòng trong tưởng tượng nối tấtcả các điểm có cùng vĩ độ. Trên Trái Đất, vòng tròn này có hướng từ đông sang tây. Vị trí trên vĩ tuyến được xác định bằng kinh độ. Một vĩ tuyến luôn vuônggóc với một kinh. Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai Địa cực, có độ dài khoảng 20.000 km, chỉ hướng bắc –nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo. Mặt phẳng của kinh tuyến 0 tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến180o, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu –Bán cầu đông và Bán cầu tây. (theo wikipedia.org). Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác là hải lý (1 hải lý = 1852 mét). Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất 2 tàu cách nhau một khoảng d. = = + , trong đó A đi được.Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính ( ) 1 1 5 AB BB = − o(chạy qua đài quan sát thiên văn 2 2 2 d AB AB AA AAchính là quãng đường của tàu Khi đó 1 1 1 1 1 2 2 29 Lop5.com.vn

31. Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và AA v t S vt BB v t =  =  =  1 A . thời gian là: 1 B Lời giải Tại thời điểm tsau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d. Khi đó tàu Ađang ở vị trí ( ) 1 1 1 5 d AB AA BB = + = − 1A và tàu Bđang ở vị trí 1Bnhư hình vẽ. ( = ) ( ) 6 2 2 2 + = 2 7 − + Ta có: 2 2 2 AA t t 1 = BBlà quãng đường tàu Bđi được 7 BB v t t Với 1 1 B = = Và AAlà quãng đường tàu Ađi được 6 AA v t t 1 1 A = − + Suy ra 85 70 25 2 d t t − − 170 70 2 85 t t ( ) t Đặt ( )   = = − + 0 ' với 85 70 25 t f 2 f t t t + 70 25 2 t 7 ( ) t ( ) h =  = ' 0 f t 17 Bảng biến thiên: + 7 17 t 0 ( ) t ' f − 0 + ( ) 6 85 17 f t       7 6 85 17 )( ) = =  min  3,254 (hải lý) f t f Dựa vào bảng biến thiên ta có: 17 ( + 0; t Bài tập tương tự 1: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là ( )  1vvà trên đường bộ là v v v . Hãy xác định 2 1 2 30 Lop5.com.vn

32. phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất? Lời giải Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D AC CD AE CE t v v v − CD v = + = + Thời gian là: 1 2 1 2 h h − 1 −  1 .cot h v h   tan v sin  = + = + t  sin v v 1 2 − 1 2  1 .cot h v h Xét hàm số ( )  = + t  sin v 1 2 ( ) t  = min ? Bài toán trở thành tìm          cos sin 1 v cos v h h h Ta có: ( )  = − = − ' t   sin sin 2 2 2 v v 1 2 1 2 v v Khi đó: ( )  =   =  ' 0 cos 1 t 2 1 v v ( )    = min cos t Lập bảng biến thiên, ta suy ra 2 1 Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí Acách bờ 5km, trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách Bmột khoảng 7 có thể trèo thuyền từ Ađến M với bận tốc 4km/hrồi đi bộ từ Mđến Cvới vận tốc 6km/h. Xác định độ dài đoạn BMđể người đó đi từ Ađến C nhanh nhất? Lời giải kmNgười canh hải đăng . ( ) =   = − = + 2 với 0 7. 7 Khi đó: và BM x km x MC x 25 Gọi AM x + − 2 25 7 x x + Theo đề bài ta có 4 6 + − − + 2 2 25 7 3 2 25 4 25 x x x x Xét hàm số ( ) ( ) x = +  = ' f x f 4 6 + 2 x 31 Lop5.com.vn

33.  =        0 x    0 x ( ) x =  + =    = 2 ' 0 2 25 3 2 5 f x x x = 2 20 x 2 5 x − ; ( ) 29 12 74 4 14 5 Khi đó:( ) ( ) 7 = = = 0 2 5 ; f f f 12 − ( ) 14 5 ( ) = = min x  2 5 f x f Vậy  12 0;7 Bài toán 11. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được Nlô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x(triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng N và xliên hệ với nhau bằng biểu thức ( ) 30 N x x x =− + + nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó? Lời giải ( ) ' 2 30 N x x =− + ( ) ' N x  =  ( ) ( ) ( ) 30 6 N =  Vậy nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng. Bình luận:Ta có thể sử dụng tam thức bậc hai: ( ) ( )  231 15 231, 0;30 N x x x = − −    x = Do bài toán đã cho sẵn hàm nên ta không quá khó để vận dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên. Tuy nhiên với các bài toán cần phải có một bước thiết lập hàm thì không dễ chút nào. Các bài toán tiếp theo bạn đọc sẽ thấy rõ hơn. Bài tập tương tự 1:Một công ty xác định rằng tổng thu nhập (USD) từ việc sản xuất và bán xđơn vị sản phẩm được cho bởi công thức: ( ) 2 . 60 1000 x x − + tổng thu nhập lớn nhất? Lời giải ( ) ( ) 60 1000 x x − + ( ) ' 0 30. P x x =  = Ta có bảng biến thiên: ( )   6, 0 30 2 x . Hãy tìm số lô hàng lớn = 0 15 Ta có: x =     0 6 N ( ) =  =  = 15 231 max x  231 15 N N x x Đồng thời:   0;30  2 . 15 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 150000 = Hãy tìm số xđơn vị sản phẩm cần sản xuất và bán để P x 150000 2 − − 60 x ( ) =   ' , . Ta có: P x x 2 2 32 Lop5.com.vn

34. + 30 − x ( ) − 0 + ' P x 1500 ( ) P x ( ) =  = max 1500 30. P x x Từ bảng biến thiên, ta có: Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất thì cần sản xuất và bán 30 đơn vị sản phẩm. Bài tập tương tự 2:Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và định rằng tổng chi phí dành ( ) ( ) 2 4 , 6 6 x − phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất? Lời giải 2 ' 2 6 x − xác cho việc cải tiến là 2 = + +  với xlà số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản C x x x ( ) = − Ta có C x ( ) 2 =   7 5 x x ( ) ( ) 2 =  − = =  ' 0 6 1 C x x 6 Bảng biến thiên: + 7 6 x ( ) − 0 ' C x + ( ) C x 20 =  = Dựa vào bảng biến thiên ta có: min 20 ( ) 7 C x Lưu ý:Để xét dấu các khoảng của thức bậc hai thông thường ta có thể "trong vùng của số, chọn số thế vào, nếu ra số dương thì ghi + và ngược lại" Bài toán 12. Doanh nghiệp A chuyên kinh doanh xe gắn máy và tay ga các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe tay ga Lead với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 40 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2.000 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. Vậy doanh ' C x , ngoài việc sử dụng dấu của tam 33 Lop5.com.vn

35. nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất? Phân tích: Ta có thể thử mô tả bài toán bằng bảng sau: Giá mua vào 1 chiếc xe Giá bán ra 1 chiếc xe Lợi nhuận khi bán 1 chiếc xe Số lượng Tổng lợi nhuận Ban đầu 27 40 13 2000 26 tỷ (triệu đồng) (triệu đồng) (triệu đồng) Như vậy việc giảm giá bán trên 1 chiếc xe sẽ làm giảm lợi nhuận thu được khi bán 1 chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua xe của khách hàng. Theo giả thiết nếu giảm giá 1 (triệu đồng) thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. Từ đây nếu gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc Lead. Ta thấy rằng giá bán chỉ có thể dao động trong khoảng 27 triệu đồng đến 40 triệu đồng. Ta xác định lại số lượng xe bán ra sau khi giảm giá ứng với giá bán mới là x. Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệm sẽ bằng tổng doanh thu –Tổng chi phí và là một hàm phụ thuộc theo biến x. Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm được giá trị x thỏa yêu cầu bài toán. Lời giải Gọi xlà giá bán mới của mỗi chiếc Lead mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận thu được sau khi giảm giá là cao nhất, 27 Suy ra số tiền đã giảm là 40 . x − ( ) 800 40 x − .   40. x Đồng thời số lượng xe tăng lên là ( ) 2000 800 40 + − = − 34000 800 ) x x Vậy tổng số sản phẩm bán được là: Doan thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: ( Chi phí mà doanh nghiệp phảibỏ ra là: ( 24000 800x x − ) − 34000 800 .27 x Lợi nhận công ty đạt được là: ( ) 34000 800 x x − Đặt ( ) 800 f x = ( ) ' f x =− ( ) − − .27 800 = + − 34000 800 55600 918000 2 x x x ( ) f x + − 55600 918000 max x   2 x x . Bài toán trở thành tìm 27 40 + 1600 55600 Ta có: x 139 4 ( ) x =  =  ' 0 34,75 triệu đồng f x Lập bảng biến thiên: 34 Lop5.com.vn

36. 139 4 + x 0 ( ) x − ' f + 0 48050 ( ) f x       139 4 ( ) f x = = triệu đồng hay 48 tỷ và 50 triệu max x   48050 f ta thấy 27 40 đồng. Bình luận: Trong kinh doanh ta thấy tùy vào từng thời điểm khác nhau, dựa theo nhu cầu của thị trường mà các nhà kinh doanh không ngừng thay đổi chiến lược kinh doanh của mình trong đó có những lúc “đại hạ giá” mà chúng ta vận thường quen với tên gọi là “sale off”. Với tâm lý thích giá vừa túi tiền nên các ta luôn thấy các bảng hiệu “sale off” (giảm giá) trưng bày trước rất nhiều cửahiệu. Dĩ nhiên kinh doanh là cả một sự tính toán nhiều biến số thay đổi từng giây, từng phút chứ không hẳn chỉ dựa trên chất lượng tốt của sản phẩm. Bài tập tương tự 1:Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30 USD, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định tăng giá bán và họ ước tính rằng cứ giá mà tăng lên 1 USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng. Biết rằng nhà sản xuất bóng đèn với chi phí 18 USD mỗi bóng. Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất? Lời giải Gọi xlà giá bán mới, ( ) 30 x  x− 30 Lượng tiền tăng trong giá bán là: ( ) ) x− 100 30 Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra trong tháng sẽ giảm ( 300 100 − − Số bóng đèn bán ra hàng tháng theo giá mới là: 30 x x− 18 Lợi nhuận mỗi bóng đèn là: Lợi nhuận thu được hàng tháng là: ( )( 18 6000 100 x − − Đặt ( ) 100 f x x =− ( ) ' 200 f x =− ( ) ' 0 39 f x x =  = ) =− + − 100 7800 108000 2 x x x ( ) f x = + − 7800 108000 max x  ? 2 x . Bài toán trở thành tìm 30 + 780 Ta có: x USD. Bảng biến thiên: 35 Lop5.com.vn

37. + 39 30 x ( ) x − 0 + ' f 44100 ( ) f x ( ) f x ( ) = = USD. max x  39 44100 f Dựa vào bảng biến thiên ta có: 30 Vậy nhà sản xuất cần bán 39USD/ bóng để đạt giá trị lợi nhuận cao nhất. Bài tập tương tự 2:Một công ty nhận sản xuất 400000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bộ lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/ giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 USD/máy vàtổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuất 400000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy ước tính số máy mà công ty nên dùng để chi phí nhỏ nhất. Lời giải Gọi ( ) , 1 20, x x x    sản xuất tương ứng. Chi phí lắp đặt các máy là 80 . x Chi phí vận hành các máy là: 400000.5,76 200x 11520 80 C x x x Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) là số máy sử dụng và ( ) C xlà hàm tổng chi phí Tổng chi phí là: ( ) = +   x C xvới 1;20 11520 x ( ) = − Ta có: ' 80 C x 2 = = −  12 x x ( ) =  ' 0 C x    12 1;20  ( ) ( ( ) 12 =      1 11600 C ) ( ) ( )  = =  = 20 2176 = min x  12 1920 12 C C x C x Đồng thời:  1;20 1920 C Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ là nhỏ nhất. Bài toán 13. (Ứng dụng trong sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số 100 100 t ( ) = + (con vi 1000 N t lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật + 2 t 36 Lop5.com.vn

38. khuẩn), trong đó tlà thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vị khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất? Phân tích: Tương tự như những bài trước, do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn. Lời giải Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm t là ( ( 100 t + ) ( ) + − 2 100 100 100 2 t t t − 2 2 100 100 + t ( ) = =   ' , 0 N t t ) ( ) 2 2 2 2 100 t =   10 t t ( ) =  = = − 2 ' 0 100 N t t  10 0 Bảng biến thiên: + 10 0 t ( ) − 0 + ' N t 1005 ( ) N t ( ) ( ) 10 = = max 1005 . N t N Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Bình luận:Ngoài ra ta cũng có thể làm như sau: 1100 100 100 100 t 100 2.10 t t ( ) = + = +  + = 1000 100 1000 1005 N t + 2 + t Do 100 100 t Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 100 +  = =  = 2 . 20. 10 t t t t t t ( ) = = 0.2t n Bài tập tương tự 1:Giả sử đám vi khuẩn tại thời điểm phát triểu về số lượng của vi khuẩn tại thời điểm t chính là thử ban đầu của ta có 0 100 n = bao nhiêu con vi khuẩn? là số lượng cá thể trong một n f t , t nlà số lương cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ 0 ( ) t . Giả sử mẫu ' f vi khuẩn. Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là 37 Lop5.com.vn

39. Lời giải ( ) ( ) ' 4 = 0100 n = = ⎯ ⎯ ⎯ → 100.2 ln2 1109  4 t Ta có: con vi khuẩn. ' .2 ln2 f t n f 0 Bài tập tương tự 2: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có ncon cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng ( ) 480 2 P n = trên một đơn vụ diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? Lời giải Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có ncon cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng ( ) ( ) ( ) 480 2 . f n nP n n n gam = = − Xét hàm số: ( ) 480 20 ; f x x x x = −  ( ) ' 480 4 f x x  = − ( ) ' 0 480 4 0 12. f x x x =  − =  = ( ) − n gam . Hỏi phải thả bao nhiêu cá 2 ( ) + 2 0; Bảngbiến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng ( tại điểm 12. x = Từ đó, suy ra ( ) ) 0;+hàm số fđạt giá trị lớn nhất f nđạt giá trị lớn nhất tại điểm n= 12. Bài toán 14. (Ứng dụng trong Hóa học).Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào thì tỉ lệ mol 2 : H O mol dần? COgiảm dần khi số cacbon tăng 2 Phân tích: Để làm bài này, ta cần có hiểu biết về kiến thức về chương Hidrocacbonđã học ở chương trình hóa lớp 9 hoặc hóa lớp 11. Từ đây ta thiết lập công thức tổng quát cảu 1 hidrocacbon là + − . C H 2 2 2 n n k Sau đó thực hiện phản ứng cháy: ( + − ) 0 + ⎯ ⎯ ⎯ xt t → + , 1 C H O nCO n k H O 2 2 + − 2 2 2 2 n n k Đến đây ta thấy được tỷ lệ mol giữa nước và khí cacbonic sinh ra chính là: 38 Lop5.com.vn

40. H O n n + − 1 n n k = . 2 CO 2 + − 1 n n k Tới đây ta có thể xét hàm ( ) =  * , . f n n Khảo sát và tìm điều kiện của k (chính là số liên kết  ). Lời giải Công thức tổng quát của một hidrocacbon là trong phân tử. Phương trình phản ứng cháy là: + −với klà số liên kết C H 2 2 2 n n k ( + − ) 0 + ⎯ ⎯ ⎯ xt t → + , 1 C H O nCO n k H O 2 2 + − 2 2 2 2 n n k H O n n + − + − 1 n 1 n n k n k .Xét hàm số ( ) = =  * Ta có: , f n n 2 CO 2 − 1 k Theo giả thiết ta có ( ) ( ) n = Ta có: f nlà hàm nghịch biến nên: ' . f 2 n − 1 k ( ) n      1 0 −    ⎯ ⎯ ⎯ k → = ' 0 0 1 0 f k k k 2 n Công thức tổng quát cần tìm là: + (Ankan). C H 2 2 n n Bình luận:Việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau, góp phần giúp cho bài giải Hóa trở nên dễ dàng hơn khi cso công cụ Toán học hỗ trợ, ngược lại ta cũng thấy được những ứng dụng của Toán học trong quá trình tìm hiểu các môn học khác, điều này góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta lĩnh hội được khi học. Bài tập tương tự:Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ , , 2 2 NO O + ⎯ ⎯ ⎯ thuận nghịch. Giả sử , x y lần lượt là nồng độ phần trăm của khí NO và tham gia phản ứng. Biết rằng tốc độ phản ứng hóa học của phản ứng trên được xác định v kx y = với klà hằng số của tốc độ phản ứng. Để tốc độ phản ứng xảy ra nhanh nhất thì tỉ số x ybằng bao nhiêu? o ⎯ ⎯ ⎯ → dk t xt Biết rằng đây là một phản ứng 2 . NO Nitơ đioxit và Oxy là: 2 O 2 2, Lời giải ( ) + =   = = − 2 2100 Ta có: , do 100%,0 100. x y x v kx y kx x ( ) Xét hàm số ( ) ( ) = − = − 2 2 3 100 100 f x kx x k x x 39 Lop5.com.vn

41. ( ) f x = max  ? Bài toán trở thành ( ) 0;100 x ( )  =   0 200 3 0;100 x ( ) x ( ) x    ; = − = = 2 Ta có: ' 200 3 ' 0 f k x x f x  Bảng biến thiên: 200 3 x 100 0 ( ) x − ' f + 0 f    200 3   ( ) f x       200 3 ( ) f x = max  f Dựa vào bảng biến thiên suy ra: ( ) 0;100 x 100 3 x y = − =  = 100 2 y x Do đó ta có: Bài toán 15 (Ứng dụng trong Y học). Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định theo công thức ( ) G x lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ( xđược tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất? Lời giải   0;30 x G xđạt giá trị lớn nhất. ( ) = − 2 trong đó xlà liều 0,025 30 , x x để ( ) Bài toán đi tìm 3 18 25 ( ) ( ) = − = − + 2 3 2 0,025 30 G x x x x x 125 9 36 25 ( )  = − + 2 ' G x x x 125 =   0 20 x x ( ) = = ' 0 G x Bảng biến thiên: 40 Lop5.com.vn

42. + 20 0 x ( ) − 0 + ' G x 100 ( ) G x ( ) =  = max 100 20 G x x Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hay lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là20 . mg Bài toán 16 (Ứng dụng trong thể thao).Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần phải chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát tà Ađến Bnhư hình vẽ. Hỏi rẳng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận đồng viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s. Phân tích: Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quãng đường vận động viên đó phải đi sẽ là . AC CB + ( ) 0 . AC x x =  Khi đó ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động viên đi dọc theo bờ hồ. Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng ứng dụng của đạo hàm. Lời giải Gọi Clà vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và AC với 0 200 x   . Gọi , c b v vlần lượt là vận tốc khi chạy và vận tốc khi bơi. Giả sử đặt = x 41 Lop5.com.vn

43. AC v x = = là thời gian đi từ Ađến C. t Khi đó ta có: 1 4,5 c ( ) 2 = + − 50 200 2 BC x Đồng thời quãng đường bơi chính là: ( 1,5 ) 2 + − 50 200 2 x BC v = = là thời gian đi từ Cđến B. t Khi đó: 2 b Tổng thời gian của vận động viên là: ( 1,5 ) 2 + − 50 200 2 x x   = + = + với 0 200. x T t t 1 2 4,5 ( 1,5 ) 2 + − 50 200 2 x x Xét hàm ( ) = + . f x 4,5 )( ) ( ( 200 + = min  ? f x Bài toán trở thành tìm ( 0;200 x ) − − 200 x 2 9 2 3 ( ) x ( ) = +  Ta có: ' . , 0;200 f x ) 2 − 50 2 x ( ) x ( ) ( ) ( ) 2 2 =  − = + −  − = ' 0 3 200 50 200 8 200 50 2 2 f x x x − 400 25 2 2  =  182,322 x 0 Bảng biến thiên: + x 0x 0 0 ( ) x − + ' f ( ) f x ( ) f x 0       − 400 25 2 2 )( ) ( ) s =  min  75,87 f x f Dựa vào bảng biến thiên ta có: ( 0;200 x Bình luận:Bình luận: Một lần nữa việc vận dụng đạo hàm đã giúp tối ưu hóa bài toán thời gian cho vận động viên trên. Ta tự hỏi thực tế mô hình trên liệu có thực? Tìm hiểu kiến thức khoa học trên wikipedia, ta có thông tin sau: Ba môn phối hợp (thuật ngữ tiếng anh: Triathlon) bao gồm chạy bộ bơi và đua xe đạp. Ban đầu các vận động viên đua bơi lội. Tiếp đó là đua xe đạp tới đường chạy, 42 Lop5.com.vn

44. cuối cùng các vận động viên chạy marathon để về đích. Đây là môn thể thao được người chơi ngoài trời và là một môn thểthao mới được chơi tại thế vận Hội từ năm 2000 ở Sydney, Á Vận Hội và thậm chí tại SEA Games. Ba môn phối hợp đòi hỏi các vận động viên phải có một sức bền cả về thể lực lần tinh thần. Đây là môn thể thao thi đấu cá nhân hoặc đồng đội. Môn thể thao này có rất nhiều người tham gia. Bài toán 17.(Ứng dụng trong kỹ thuật vi tính).Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần từ thứ nhất của hai trục tọa độ 2 chiều. nội tiếp được đường cong y chữ nhật lớn nhất có thể nội tiếp được đường cong trên? Phân tích: = e− . Hỏi diện tíchlớn nhất của hình x = e− y x Ta có thể mô tả bài toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm số Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy diện tích của hình chữ nhật chính là: xe− = = . S xy x Đến đây ta nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để tìm x nào cho chúng ta được tương ứng y thỏa mãn diện tích hình chữ nhật trên là lớn nhất. Lời giải = Đặt ( ) ( ) ( ) . ' 1 f x xe f x x e =  = − ( ) ' 0 1 f x x =  = . Đồng thời ( ) '' f x ( ) ( ) max 1 f x f e− = = = xe− . S xy x Ta có diện tích hình chữ nhật: − − x x ( ) = − − =−    − − − . 1 0, xe x e e x x x x  0,3678 . 1 Do đó ta có: Bài toán 18 (Ứng dụng trong Thủy lợi).Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học” (ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, llà độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, l– đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương được gọi là có dạng thủy động học nếu với Sxác định, llà nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nướcnhư thế nào để có dạng thủy động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật). Lời giải Gọi , x ylần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. 43 Lop5.com.vn

45.   =   2 = S x S x =  = S xy y Theo bài ra ta có: 2 + =   2 ,0 l y x y x S x ( ) f x Xét hàm số ( ) = + Bài toán trở thành tìm min x  ? . f x x 0 − 2 x 2 2 S x S ( ) x = − + = Ta có: ' 1 f 2 2 x S x S ( ) x =  − =  =  = = Cho ' 0 2 0 2 2 f x S x S y 2 Bảng biến thiên: + 2S x 0 ( ) x ' f − 0 + ( ) f x ( ) min f x ( ) ( ) f x = min x  2 . f S Dựa vào bảng biến thiên ta có 0 Do đó mương có dạng thủy động học khi kích thước của mương là:  =   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 2 x S . S = y 2 S x =  = 2 . S x x Bài toán 19 (Ứng dụng trong xây dựng). Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần cẩu bánh hơi có thể dùng được để xây dựng tòa nhà cao tầng mái bằng có chiều cao Hvà chiều rộng 2l(biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng như góc nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng (Hình vẽ). Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển thoải mái. Lời giải 44 Lop5.com.vn

46. Gọi hlà khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu, h H   . Gọi , , , , A B C E  là các ký hiệu như hình vẽ. 0 − H h l ( ) = + = +    , 0 90 0 AC AB BC Khi đó cánh tay cần cẩu là   sin cos − H h l Đặt ( ) f  ( )  = + = Bài toán trở thành tìm . min    ? f   sin cos      0;2 ( 2  )   − −  −     sin cos 3 3 l H h cos sin sin cos ( ) (  ) = − + = Ta có: ' . . f H h l sin cos 2 2 2 − − H h H h ( )  =   =    = =  ' 0 tan 0 tan 0 3 f k 3 l l Bảng biến thiên:  arctank a 0 2 ( ) a ' f − 0 + ( ) f a 5 Dựa vào bảng biến thiên ta có: l ( )  ( ) ( = ) = − + + + . min    arctan 1 . 1 2 f f k H h k l 2 k      0;2 Như vậy, ta vừa điểm qua một loạt các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế. Có thể thấy ngoài những lĩnh vực trên, vẫn còn nhiều lĩnh vực khác nữa cần đến kiến thức của đạo hàm trong giải quyết các bài toán tối ưu của chúng. 2. Ứng dụng trong cách bài toán về tối ưu chi phí sản xuất Học sinh học tại Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc phần lớn là con em các hộ nông dân, công nhân tham gia lao động, sản xuất tại địa phương. Do đó, công việc sản xuất, lao động hết sức quen thuộc với các em. Tuy nhiên, trong quá 45 Lop5.com.vn

47. trình lao động, sản xuất, làm thế nào để tối ưu được chi phí sản xuất (gồm nhân công, vật liệu, …) mà sử dụng các kiến thức về hàm số học tại chương trình GDTX cấp THPT thì không phải HS nào cũng cũng có thể vận dụng được. Dưới đây tác giả xin đưa ra một số bài toán về tối ưu chi phí sản xuất: Bài toán.Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật ( . 3 đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/ kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công là thấp nhất. Khi đó chi phí thuê đó là bao nhiêu? Phân tích: Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x, h lần lượt là chiều rộng và chiều cao của đáy bể. Như vậy, ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do đó chiều dài của đáy bể là 2x. Từ đó ta thiết lập được diện tích cần xây dựng bể là S. )( ) 0; x  + 500 ) 3 Đáy bể là hìnhchữ nhật có chiều dài gấp m không nắp có thể tích bằng 2 m . Hãy xác định max S x Bài toán trở thành tìm ( Lời giải Gọi ( ) x mlà chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là và ( ) h mlà chiều cao của bể.( , 0 x h  ( ) 2x m ) 500 3 500 3 250 3 x ( )  =  = 3 2 2 m x h x Bể có thể tích 2 Diện tích cần xây là: 250 3 x 500 x ( ) = + + = + = + 2 2 2 2 2 2 6 . x 2 2 . x S xh xh x x 2 500 x Xét hàm số: ( ) x  = + 2 với 0. 2 S x x 500 x ( )  = − + ' 4 S x x 2 500 x ( ) =  − + =  = ' 0 4 0 5 S x x x 2 Bảng biến thiên: 46 Lop5.com.vn

48. + 5 0 x ( ) − 0 + ' S x ( ) S x 150 Suy ra chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất ( ) min 5 150 S = = và S = đồng. Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.60000 90000000 3 Bài toán tương tự 1.Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích bể làm bằng bê tông giá 100000 / 2 90000 / đ m , nắp bằng nhôm giá mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kínhđáy bằng bao nhiêu? mĐáy 150 . 2 đ mPhần thân làm bằng tôn giá 2 120000 / . đ mHỏi chi phí sản xuất để bể đạt . Lời giải 150 h  =   =  = 2 Ta có: 150 150 V R h 2 R Mà ta có: ( ) f R =  +  +  2 2 100000 120000 180000 R R Rh 150 R  27000000 R ( ) f R  =  +  =  + 2 2 220000 180000 220000 R R R 2 Để chi phí thấp nhất thì hàm số ( ) R  f Rđạt giá trị nhỏ nhất với mọi 0 Ta có:  − 3 27000000 R  − 440000 27000000 R ( ) R =  − = ' 440000 f R 2 2 R 3 440000 27000000 30 440 R ( ) R =  =  = ' 0 0 f R 2  R 3 Bảng biến thiên: 30 440 + x 0 3 ' y − + 0 y ( ) f R min R  0 47 Lop5.com.vn

49. 30 440 ( ) f R  = min R  R Dựa vào bảng biến thiên ta có:  3 0 150 R  22 9 h R  = = 3 Bài toán tương tự 2: Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100000 đồng/ đồng/ mHãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể). Lời giải Gọi chiều cao hình trụ là ( )( ) 0 h h m  Gọi bán kính đáy hình trụ là ( 0 x x  2 m , chi phí làm mặt đáy là 120000 2. )( ) m . 5 5 ( ) m =  =  = 2 . V x h h Thể tích khối trụ là:  2 1000 1000 1 100 x =  = . 2 S xh Diện tích mặt xung quanh là: xq x =  2 2 đ S x Diện tích hai đáy là: Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là: 1000 240000 f x x 1000 ' f x x 1 ' 0 480  ( ) ( ) = +   2 0 x x ( ) = − +  Ta có: 480000 x 2 ( ) x =  = f x 3 Bảng biến thiên: 1 + x 0 480 3 ' y − + 0 5 2 y  17201,05 Vậy với số tiền1 tỷ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là: 48 Lop5.com.vn

50. 9 10 17201,05 (thùng). 58135 Bài toán tương tự 3.Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20000 đồng mà cứ tăng thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất? Lời giải Gọi ( ) là giá của một cốc cà phê và ( ) x x   là số cốc 20000 0 2000 y y cà phê bán trong một tháng. Theo đề bài ta có: − − − − 20000 2000 21000 20000 1900 2000 − 20000 2000 − x x =  = −  = − 10 40000 10 x y y y Ta có lợi nhận là: ( ) = − = − − = − 2 18000 40000 10 18000 22000 10 L xy y y y y y y  = − 22000 20 =  ' L y − =  =  = ' 0 22000 20 0 1100 29000 L y y x Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá 29000 đồng thì đạt lợi nhuận lớn nhất. Bài toán tương tự 4. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất? Lời giải Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x(nghìn đồng). Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100x chiếc. 49 Lop5.com.vn