Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

1. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể làphân môn Đại số 11, các em học sinh đãđược tiếp cận với giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số cũng như cách giải của nó. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán tìm giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số rất phong phú vàđa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng –Trung cấp chuyên nghiệp các em sẽ gặp một lớp các bài toán vềgiới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số màtrong đó có không ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong quá trình tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm sốdẫn đến kết quả sai. Trong quá trình dạy học môn toán THPT tôi nhận thấy học sinh rất gặp rất nhiều khó khăn trong việc tínhgiới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Hầu hết các em không phân biệt được các dạng củagiới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Điều này vô cùng quan trọng vì trong mỗi dạng lại có cách giải khác nhau, nếu không phân biệt rõ sẽ dẫn đến giải sai và cho kết quả sai. Để giúp học sinh hiểu và tính được giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tốt hơn tôi nghĩ phải có biện pháp giúp học sinh làm sao có thể hiểu tường tận từng vấn đề từ đó có thể hiểu sâu hơn và tính được giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số một cách nhanh chóng dễ dàng hơn mà không phạm phải những sai lầm đáng tiếc. Là một giáo viên tôi rất trăn trở với vấn đề này, tôi luôn có suy nghĩ làm thế nào để có thể làm cho học sinh hiểu tường tận và cặn kẽ hơn về giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Vì vậy lúc nào tôi cũng cố gắng tìm tòi các biện pháp giúp học sinh có thể hiểu được các dạng toán tìmgiới hạn của dãy số và giới hạn của hàm sốđơn giản dễ hiểu nhằm giúp học sinh có hứng thú từ đó học nội dung về giới hạntốt hơn. Qua tìm hiểu tôi nhận thấy: “Hệ thống bài tập giới hạn”có thể giúp cho học sinh có một cách nhìn mới hơn về giới hạn. Giúp học sinh hiểu sâu hơn về giới hạntừ đó có thể giải được các bài toán tìm giới hạnmột cách nhanh chóng, không những thế cách trình bày còn gọn gàng hơn, chặt chẽ, dễ hiểu hơn, nhất là không tính sai kết quả. Đây là sai lầm mà học sinh thường dễ gặp phải, và cũng làm mất điểm của học sinh trong quá trình làm bài thi. Trong qúa trình tìm hiểu nguồn thông tin trên mạng tôi cũng thấy có rất nhiều thầy cô giáo ít nhiều suy nghĩ về vấn đề này thông qua rất nhiều đề tài liên quan đến giới hạnvới nhiều cách tiếp cận khác nhau, và cách đề cập đến vấn đề này cũng khác nhau. Tên một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã biết: Phương pháp giảibài tập giới hạn hàm số lớp 11; Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn;... Với các đề tài này các tác giả đều đề cập đến đối tượng nghiên cứu là học sinh hệ THPT. Còn với đối tượng là học sinh hệ GDNN - GDTX với ý thức tổ chức kỷ luật yếu, học lực yếu thì việc áp dụng các sáng 1 Lop4.com.vn

2. kiến trên đối với học sinh là rất khó vì bản thân học sinh có trình độ về các môn văn hóa thường yếu, ý thức lại chưa cao, lại đang trong độ tuổi ham chơi. Vì vậy để các em có thể tiếp thu tốt nội dung bài học cũng như có thể ghi nhớ bài học từ đó vận dụng tốt vào việc giải bài tập, tôi thấy việc mình phải có phương pháp phù hợp cũng như lựa chọn những nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh. Vì vậy trong quá trình giảng dạy đại số 11 tôi đã “Hệ thống bài tập giới hạn”từ đó học sinh có thể tiếp cận với nội dung kiến thức về giới hạnmột cách đơn giản nhất, dễ hiểu nhất để có thể làm được các dạng bài tập của chương nhằm tạo hứng thú trong học tập từ đó đạt kết quả học tập tốt góp phần đạt thành tích cao trong năm học. Tôi nhận thấy việc “Hệ thống bài tập giới hạn” sẽ giúp các em tiến bộ hơn, có ý thức hơn từ đó tiếp thu bài học dễ dàng hơn, phù hợp hơn với đối tượng học sinh hệ GDTX. 2. Tên sáng kiến “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” 3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương - Số điện thoại: 0987357077 E_mail: lethi.minhly2@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến - Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ giáo viên trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào học đại số ở lớp 10a1, 10a2 trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Ngày10/3/2020 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: A. Lý do chọn đề tài: Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các môn học khác như vật lí...dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng ra những kiến thức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân, trong vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động...Tuy nhiên sau khi họcxong chương giới hạn toán 11 thì không có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới hạn. Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về lí luận. Theo tôi nhận thấy sở dĩ học sinh như vậy là do hệ thống bài tập đi với lí thuyết đôi khi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng học sinh. Bài tập đưa ra ở các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến thức ở mục sau. Do vậy hiệu quả của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa 2 Lop4.com.vn

3. cao. Vì vậy tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn. Bắt đầu từ những bài trong lí thuyết cho đến các bài toán. Tôi sử dụng các phương pháp so sánh, phương pháp tổng hợp từ đóhệ thống sắp xếp và phân thành từng dạng có phương pháp giải đơn giản và cụ thể nhằm hạn chế khó khăn của học sinh khi học chương giới hạn. Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi quyết định chọn đề tài:“Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” B. Nội dung đề tài: PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Dãy số có giới hạn 0: 1.1. Định nghĩa 1:Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 nếu với mổi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. ( ) lim 0 un=hoặc lim 0 n u → n u =hoặc Kí hiệu: 0 1.2. Một vài giới hạn đặc biệt 1 lim k n 1   * * q  ) =0 (k ; =0(k ) ;limqn=0( ) N N lim 1 kn Định lí: Cho hai dãy số (un) và (vn).Nếu |un|vnvới mọi n và lim vn=0 thì lim un=0 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1. Định nghĩa: ( ) − = lim 0. n u L Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu ( ) n u → un=hoặc lim n u =hoặc 0 Kí hiệu: lim 0 0 = 2.2. Một vài giới hạn đặc biệt. limc 2.3. Một số định lý . Định lý 1: Giả sử lim(un)=L khi đó c lim 3 nu L lim nu L và = = a) 3 lim nu L = b) Nếu un0 với mọi n thì L0 và Định lý 2: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì : (  =  n n u v L M ( n n ) lim a) )= lim . . u v L M b) 3 Lop4.com.vn

4. u v L M ( ) lim , 0 M =  n c) n u : = S 1 q 1 q 2.4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1 − 3. Dãy số có giới hạn vô cực: 3.1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là + nếu với mổi số dương bất kỳ, mọi số hạng củadãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: lim(un)=+ hay limun=+ hay un→+ Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim(un)=− hay limun=− hay un→ − 3.2. Một vài giới hạn đặc biệt limkn =+ (k  * * N ) N ) limnk=+(k  3.3. Định lý: Tính chất 1:Nếu = và =  thì )được cho trong lim lim lim( u nv u v n n n bảng sau: lim ) lim lim( u nv u v n n n + + + + – – – + – – – + Tính chất 2:Nếu = và  thì )được cho trong lim lim 0 lim( u nv L u v = n n n bảng sau: ) lim lim( u u v L n n n + + + + – – 4 Lop4.com.vn

5. – – + – + – 0 0 nv nv Tính chất 3:Nếu  , = và hoặc kể từ một số hạng lim 0 lim 0 u L nv = n u v n được cho trong bảng sau: nào đó trở đi thì lim n u v n nv lim L n + + + – + – – – + + – – II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: ( ) ( ) P n Q n u = 1. Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức: n 1.1. Nếu bậc P = bậc Q , hệ số của n có số mũ cao nhất của P là a0, hệ số của n có số mũ cao nhất của Q là b0 thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và ( ) 0 b 1.2. Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q , thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi đến kết quả : lim(un) = 0. 1.3. Nếu k = bậc P > bậc Q, thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi đến kết quả : lim(un)=. ( ) ( ) a lim u = 0 . đi đến kết quả: n f n g n u = 2. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn. n 2.1. Rút nkra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp. 2.2. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. Ghi chú: Những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc điểm trên đều có thể giải được III. CÁC VÍ DỤ: 5 Lop4.com.vn

6. Bài 1. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể 1 n 1 b) un= a) un= 2 3 n giải 1 a) Dự đoán 0 = limn 2 Kiểm chứng: với số dương 1 100ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<1 100 1 10000ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều 10000 1 0 n với số dương 1 có |un|< b) Dự đoán lim = 3 Kiểm chứng: với số dương 1 100ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<1 100 1 999ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<1 999 Bài 2. Dãy số (un) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao? 1 n với số dương b) un=1 a)un= +1 2 n giải 1 a) 0 +  1 limn 2 Vì với số dương 1 2ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>1 2 1 b) lim 3 0 −  n Vì với số dương 1ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>1 6 Lop4.com.vn

7. Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0 Bài 3. Xác định giới hạn của các dãy số sau? 1 n n 1 c) lim1 a) lim b) lim 4 5 n n n 1 2 3 4 1 e) lim    f) lim    d) lim     3 n Giải a) và b) là những dãy số có dạng un=1 nên có giới hạn là 0 n k c) và d) là những dãy số có dạng un=1 nên có giới hạn là 0 kn e) và f) là những dãy số có dạng un= qvới |q|<1 nên có giới hạn là 0 n Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn 0 đặc biệt Bài 4. Tìm giới hạn các dãy số sau. Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong dãy số khi n tăng 1 3 n 1 a) un= b) un= 4 + − n 3 Giải 1 n 1 n 1 n vì lim    a) lim( 3) 3 + = ( 3) 3 lim 0 + − = =   Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng 1       1 1 b) lim( vì 4) 4 lim ( 4) − − ( 4) lim 0 − = − − = = n 3 n n 3 3 Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa Bài 5. Tìm giới hạn các dãy số sau. b) lim   c) lim2    1 n 1 1 n a) lim    1 + −   2 4 n n 3 7 Lop4.com.vn

8. 2 n 3 + 1 n 1 n d) lim e) lim f) lim 3 3 + − 1 n 1 + Giải 1 n a) lim    1 0 + = 1 1 + =   2 b) lim    1 1 n 0 0 0 − = − =   4 n 3 2 c) lim 2.0 0 = = n 2 n 3 + 3 1 0 0 + + d) 3 = = lim 1 n 1 + 1 n e) lim 3 0 3 3 + = + = 1 n f) lim 3 0 3 3 − = − = Bài 6. Tìm giới hạn các dãy số sau. 21 sin n n a) lim b) lim 1 n + 1 3 + Giải 1 1 n 1 n 21 a) và lim suy ra lim 0 0  = = 1 1 sin n 2 2 2 n n + + 1 n sin n 1 n b) và lim suy ra lim 0 0 = =  1 3 3 n 1 n 3 3 + + Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 7. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể a) un=n3 b) un=− n giải 3 a) Dự đoán limn = + Kiểm chứng: Với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000 8 Lop4.com.vn

9. với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000000 ( ) b) Dự đoán n lim − = − Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un<-100 với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều có un < -1000000 Lưu ý: nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn vô cực Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau? n 3 2       a) limn b) lim3n c) 4 lim Giải a) Là dãy số có dạng un=nknên có giới hạn là + b) Là dãy số có dạng un=knnên có giới hạn là + c) Là dãy số có dạng un= qvới q>1 nên có giới hạn là + n Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau. ( ) lim 3.n ( ) lim + n n 1 a) b) c) lim 3 3 2 4 2 n n + 1 2 3 d) e) lim n 1 2 3 lim      n       − Giải ( ( ) a) 3.n 3 = + ) n lim b) 3 2 n + = + lim 1 c) lim 0 = 4 2 n n + 1 2 3 d) lim = + n       9 Lop4.com.vn

10. 1 2 3 e) lim = − n      − Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau. ) ( 2 2 3n +2n+5 7n +n-8 n +1+4n 3n- 2 a) b) c) n +2n+3 - n 2 lim lim lim 2       Giải       + 3 n      1 2 1 2 − 1 n d)  e) f) lim lim lim + + 2 2 n n 1 n 1             2 n 1 n 5 n 8 n 2 n 1 n 5 n 8 n 2 n 3+ + 3+ + 2 2 3n +2n+5 7n +n - 8 3 7 2 lim =lim =lim = a) . 2 7+ - 2 n 7+ - 2 2         1 n 1 n n 1+ +4 1+ +4 2 2 n +1+4n 3n- 2 1+4 3 5 3 2 lim =lim =lim = = b) .       2 n 2 n n 3- 3- )( ) ( 2 2 n +2n+3 - n n +2n+3+n ) ( 2 lim n +2n+3 - n =lim c) . 2 n +2n+3+n       3 n 2+ n 2 2 n +2n+3- n 2n+3 = =lim lim =lim         2 2 n +2n+3+n n +2n+3+n 2 n 3 n n 1+ + +1 2 3 n 2+ 2 =lim = =1 1+1 2 n 3 n 1+ + +1 2             1 n 1 n 2 n       2 2 1 = = = lim lim lim 0 d) . +             2 1 n 1 n n 1 + + 2 n 1 1 2 2 10 Lop4.com.vn

11.               n       +      1 2 1 2 1       + − n 1 1 2 2 = = − lim lim 1 e) n n − 1              =   3 1 n f) = + lim lim 1 n 1 n + 2 n 1 + 3 Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 2 3 2 3n +5n+4 2-n 2n -6n+9 1-3n 6+3n-n 3n +5 2n 2n +3  2n -4n +3n+7 n -7n+5 n - n +1 3n+1  1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 2 2 3 Bài           5 3 2 3 2 1-5n 5n+1 3n 4)lim ; 5)lim + ; 6)lim ; 5 2 2 2. Tính các giới hạn: ( ( ) 2 2 2 2 3n +1- n -1 n 2n +1- n +1 n+1 2 1)lim n +n -n ; 2)lim ; 3)lim ; ) 2 2 2 2 6 4)lim n +1- n -1 ; 5)lim( n +n - n +1); )lim n-1( n+2 - n ); PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: 1.1. Định nghĩagiới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm: Giả sử a b ( ; )là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập a b x0 điểm x0) nếu với mọi dãy số n f x L lim ( )= . ( ; )\{ }. Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0(hoặc tại x ( )trong tập a b ( ; )\{ } mà lim x0 x x0 ta đều có = n n ( )→ hoặc f x L khi x x0 lim → f x ( ) L Ta viết: → = x x 0 1.2. Định nghĩagiới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự như trên. 1.3. Định nghĩagiới hạn của hàm số tại vô cực:Gỉảsử hàm số f xác định trên khoảng a ( ; ) + . Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới +nếu với mọi dãy số n x ( ) trong a ( ; lim x ) + mà =+, ta đều có: n lim ( )= . Ta viết: f x L = lim →+ f x ( ) L n x 11 Lop4.com.vn

12. Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự. 1.4. Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái:Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x b 0 0 . Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần tới x0(hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ta đều có n x x 0 → ; )x ( ( ) R  ) trong x b ; ) mà , x ( ( lim x x0 = 0 n n )= . Ta viết: = lim ( lim f x ( ) f x L L + Giới hạn bên trái. (tương tự)Ta viết: = lim → f x ( ) L − x x 0 Nhận xét: • → 0 L lim x ( ) f x lim x ( ) f x lim x ( ) f x L =  = = x − 0 + 0 x x → → 2. Một sốhàm sốcó giới hạn đặc biệt: Với x R 0  , ta có: a) = (c: hằng số) b) lim → lim → xc 0 c x x  = 0 x x x 0 Với mọi số nguyên dương k ta có: 1 1 neáu k chaün neáu k leû + =−  k k • • • lim →− lim →+ 0 lim →− 0 = + = ; = lim →+ x x k k x x x x x x 3. Một số định lí về giới hạn 3.1. Một số định lí về giới hạn hữu hạn (L, M  R). = Định lí 1: Giả sử lim → f x ( ) lim → g x ( ) L M = x x x x 0 0 a) lim → f x ( ) g x ( ) L M     + = + x x 0 b) lim → f x ( ) g x ( ) L M     − = − x x 0 c) Đặc biệt, lim → f x g x ( ) ( ) lim → ( ) LM cf x   cL   =  =  x x x x 0 0 ( ) f x g x ( ) L M (M  0 ) d) lim → = x x 0 = Định lí 2: Giả sử lim → f x ( ) L x x 0 a) lim → f x ( ) L = x x 0 3 3 b) lim → f x ( ) L = x x 0 ( ) 0, \{ } c) Nếu f x  và x J x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0, thì    0 L lim → f x ( ) L = x x 0 12 Lop4.com.vn

13. 3.2. Một số định lí về giới hạn vô cực 1 ( ) = +thì = Định lí: Nếu lim → 0 lim → f x ( ) x f x 0 x x x 0 Qui tắc 1: Nếu =  và = thì: lim → f x ( ) lim → g x ( ) L x x x x 0 0   lim → f x ( ) lim → f x g x ( ) ( )   L x x x x 0 0 + + + + – – – – + – + – Qui tắc 2: Nếu  = và g x ( ) hoặc g x ( ) với lim → f x ( ) 0 lim → g x ( ) 0 L 0 0 = x x x x 0 0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì: \{ } x J x0   ( ) f x g x ( ) lim → L g(x) x x 0 + + + – + – – – + + – – II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: ( ) ( ) g x f x 0 0       1. Giới hạn của hàm số dạng: lim x → a 13 Lop4.com.vn

14. Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số. Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. Sau đó rút gọn tử, mẩu ( ) ( ) g x f x         2. Giới hạn của hàm số dạng: lim x → Chia tử và mẫu cho xkvới k là số mũ lớn nhất của x. Chú ý: Nếu x→+thì coi như x>0, nếu x → −thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. ( ) f x ( ) g x ( ) →   3. Giới hạn của hàm số dạng: lim x - −    Đưa x mũ lớn nhất ra làm thừa số chung hoặc nhân lượng liên hợp ( ) ( ) f x g x ( ) →   lim x . 0. 4. Giới hạn của hàm số dạng: .   Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên III. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau: + + 2 3 1 x 3 − 1 a) b) c) d) 2 lim(x +1) → lim → xlimx lim → ( ) 2 x 1 →− x x 1 x -1 x 1 giải a) Xét hàm số f(x)=x2+1. Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1 ta có f(xn)= (xn)2+1 suy ra lim f(xn)=(-1)2+1=2 Vậy 2 lim(x +1)=2 → x -1 + + 2 3 1 x b) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn), xn -1 với mọi n và limxn=1, x + + + + + 21 1 1 + 2 2 n 3 3 1 3 1 x x x ta có f(xn)= suy ra lim f(xn)= Vậy = = 2 2 lim → x x 1 n 3 c) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn 1 với mọi n và limxn=1, ( ) 2 x− 1 3 . vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ra ta có f(xn)= nx − 2 ( 1) limf(xn)= + 3 − Vậy = + lim → ( ) 2 1 x x 1 d) Xét hàm số f(x)= 1 x. Với mọi dãy số (xn) , xn 0 với mọi n và limxn=-, 14 Lop4.com.vn

15. 1 x ta có limf(xn)=0. Vậy = 0 xlim →− Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau? a) →3 x →−3 x →+ x 1 lim x x Giải a) → 3 x →− 3 x →+ x b) x c) x d) x lim4 lim lim lim x 4 5 →+ 1 x e) x c) x d) e) lim x lim x lim x 4 5 3 5 →− →− →− →+ b) c) d) lim 3 lim4 4 lim lim x 4 5 x x x = − = = + = + →+ 1 x 1 x e) f) g) h) lim x lim x lim x 0 lim x 0 4 5 x x = + = − = = 5 3 →− →− →+ →− Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau. + + 2 3 1 x ( ) ( )( ) a) b) c) − − + 3 2 3 4 lim → xlim x → x xlim x →+ x x x 1 2 Giải + + + 2 2 3 1 1 3 x a) = = 2 lim → 1 1 + x ( x 1 ) b) = + + 3 xlim x →+ ( 2 → x )( ) ( = )( ) c) = − − 2 2 3.2 4 − − 2 3 4 0 xlim x x Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau.         2 + x -3x+2 x-2      3x-1 2x 1 2x x x 3 x+1-2 3x -3 a) b) c)  d) lim → lim x→+ lim x→− lim → + x 1 + + 2 x 2 x 3      2 ( ) x 3x -1 2x 1 ( ) ( ) e)  f) g) h) + + 3 2 lim x-2 → lim x→− lim →− 2 1 x x lim →  x+1- x + 2 x x -4 + x + x 2 Giải 15 Lop4.com.vn

16. a) dạng0 0 ( )( ) x-2 x-1 x-2 2 x -3x+2 x-2 b) dạng0 ( ) .Chia tử và mẫu cho (x-2). lim → =lim =lim x-1 =2-1=1 → → x 2 x 2 x 2 0 ( )( )( ) )( ) ( x+1-2 x+1+2 3x+3 x+1-4 3x+3 =1 x+1-2 3x -3 2 lim → =lim =lim ( )( )( ) )( ) ( → → 2 x 3 x 3 x 3 3x -3 x+1+2 3x+3 3x-3 x+1+2 c) dạng                      1 x 1 x 1 x 1 x − − x 3      3       3x-1 2x 1 3 2 = = = lim →− lim →− lim →− + x x x + + x 2 2 d) dạng                           2 x x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x + + 2 x 2         2 2 + 2x x x 3 = = = lim →+ lim →+ lim →+ 0 x 1 + + 2 1 x 1 x x x x + + + + 2 x 1 1 2 2 e) dạng               1 x 1 x 1 x 1 x − − 2 x 3 3       2 3x -1 2x 1 = = = lim →− lim →− lim →− 0 +             2 x 2 x x x x + + 2 x 2 2 f) dạng − ( lim x →− 2 x 1 x ) = − + + = + + 3 2 3 2 1 lim x →− (1 ) x x x 3 g) dạng − ( x + →  ) 1 = = lim →+ 0 lim x+1- x x 1 + + x x h) dạng 0.  − − − 2 x(x 2) x x(x 2) x 2 + x ( ) = = = lim → lim → 0 lim x-2 → 2 2 4 x -4 + + + x 2 x 2 x 2 16 Lop4.com.vn

17. Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) ( ) 2 a. b. c. 2 lim(x +2x+1) → lim(x+2 x+1) → lim 3-4x → x 3 x 1 x -1 2 x +x+1 2x +3 x+1 d. ; e. lim → lim2x-1 Bài 2: (Tính giới hạn dạng 0 5 → x -1 x 1 0của hàm phân thức đại số) 2 2 x -1 x-1 x-3 x -3x+2 x-2 c a)lim ; b)lim ; )lim ; ( ) 2 2 x +2x-15 → → → x 1 x 3 x 2 4 2 3 x -1 x +2x-3 x - x 8x -1 6x -5x+1 f d)lim ; e)lim ; )lim ; 2 2 x -1 1 2 → → x 1 x 1 → x Bài 3: (Tìm giới hạn dạng 0 0của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai) x+4 -2 x x- 2x-1 x -12x+11 x+3 -2 x-1 x-2 -2 x-6 2- x-2 a)lim ; b)lim ; c)lim ; 2 x -49 x +5 -3 x-2 → → → x 0 x 1 x 7 2 d)lim ; e)lim ; f) lim ; 2 → → → x 1 x 6 x 2 Bài 4: (Tìm giới hạn dạng 0 0của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao) 3 3 3 4x -2 x-2 x -1 x-2+1 1- x -1 x 2x-1-1 x-1 2- x -1 x-1 b c a)lim ; )lim ; )lim ; → → → x 2 x 0 x 1 3 3 3 3 2x-1- x -1 x e f d)lim ; )lim ; )lim 3 → → → x 1 x 1 x 1 Bài 5: (Tính giới hạn dạng  của hàm số ) 5 3 2 2 -6x +7x -4x+3 8x -5x +2x -1 x+ x +1 2x+ x+1 x+ x +x a) lim ; ) lim ; ) lim ; b c 5 4 2 →  + →  + →− 2 x x x 3x- x +1 2 4x-1 2x +x-1 5x+3 1- x 1- x d) lim ; ) lim ; ) lim ; e f →− →− →− 2 2 x x x 4x +3 x x -1 Bài 6: (Tính giới hạn dạng −của hàm số) 17 Lop4.com.vn

18. ) ( ( ( ) ( ) 3 2 a) lim x+1- x ; b) lim x +x+1- x ; c) lim x -2x-1 ; →  + →  + →− x x x ) ) ( ( ) − + 4 2 2 2 e x 2x 3 f d) lim 2x +1+x ; ) lim ; ) lim x 4x +9 +2x ; →− →− →− x x x Bài 7: (Giới hạn một bên) 2 2 x+2 x x- 4 - x 2- x 3x+6 x+2 x -7x+12 a)lim ; b)lim ; c)lim ; x + - - 2 → → → 9 - x 3x+6 x+2 x 0 x 2 x 3 2 x +3x+2 b) lim ; e) lim ; f) lim ; ( ) -1 ( ) -2 ( ) -2 + + - 5 4 x +x → → → x x x Bài 8: (Tính giới hạn dạng 0.của hàm số) x x x-1 x +x ( )( → -1 ) ( ) ( ) 3 a)lim x-2 ; b) lim x +1 ; c) lim x+2 ; 2 2 3 x -4 x -1 →  + + + x → x 2 x 3 2x+1 x +x+2 3x+1 x +1 2x +x x - x +3 ( ) ( ) d)lim x+1 ; e) lim 1-2x ; f)lim x . 3 3 5 2 →  - →  + →  - x x x    3 x khi x<-1 Bài 9:Cho hàm số ( ) 1. = f x −  − 2 2x 3 khi x ( ) ( ) ( ) Tìm limf x , limf x vµ limf x (nếu có). − + → → → x 1 x 1 x 1       −  = 2 9 x khi -3 x<3 Bài 10:Cho hàm số ( ) . = f x 1 khi x 3 −  2 x 9 khi x 3 ( ) ( ) ( ) Tìm limf x , limf x vµ limf x (nếu có). − + → → → x 3 x 3 x 3 PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Hàm số liên tục 1.1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên a b ( ; ) và x . Hàm số f a b ( ; )  0 được gọi làliên tục tại điểm x0nếu: lim → f x ( ) f x ( ) = 0 x x 0 Hàm số không liên tục tại x0đgl gián đoạntại x0. 1.2. Định nghĩa: a) Gỉa sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên Jnếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J. b) Hàm số f xác định trên đoạn a b [ ; ]được gọi làliên tục trên đoạn a b liên tục trên khoảng a b ( ; ) và: x a → [ ; ]nếu nó , lim f x ( ) f a ( ) lim → f x ( ) f b ( ) = = + − x b 18 Lop4.com.vn

19. Chú ý:Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng a b cũng được định nghĩa tương tự. 2. Tính chất của hàm số liên tục Định lí:Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a b giữa f a f b ( ), ( ), tồn tại ít nhất điểm c [ ; ), a b ( ; ], a [ ; + , ) ( ; ] b − [ ; ]. Nếu f a sao cho f c thì với số M nằm ( ) f b ( )  a b ( ; ) ( ) = M  Ý nghĩa hình học:Nếu hàm số f liên tục trên a b đường thẳng y M = cắt đồ thị của hàm số y c a b ( ; )  . [ ; ]và M nằm giữa f a f b f x ( ) ít nhất tại 1 điểm có hoành độ ( ), ( )thì = Hệ quả:Nếu hàm số f liên tục trên a b điểm c a b ( ; )  sao cho f c ( ) [ ; ] và f a f b thì tồn tại ít nhất một ( ). ( ) 0 = 0 Ý nghĩa hình học:Nếu hàm số f liên tục trên a b số y f x ( ) = cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c [ ; ] và f a f b thì đồ thị hàm a b ( ; ) . ( ). ( ) 0  II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Hàm số liên tục tại điểm: Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau: - Tính f(x0) - Tính 0 → ( → 0 ( trong nhiều trường hợp ta cần tính , lim → ( ) f x lim → ( ) f x lim x ( ) f x ) x + − x x x x 0 0 ) lim x ( ) f x vôùi f x - So sánh 0 x - Rút ra kết luận 2. Hàm số liên tục trên một khoảng:y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau: * Xét       0 0 0 ( , ) x x hay x x x x x x * Xét tại = 0 - Tính f(x0) - Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính , lim → ( ) f x lim → ( ) f x lim x → ( ) f x ) x + − x x x x 0 0 0 ( ) lim x ( ) f x vôùi f x - So sánh 0 x → 0 - Rút ra kết luận * Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm: 19 Lop4.com.vn

20. Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau : - Đặt y = f(x) →hàm số liên tục trên (a;b) - Tính f(a), f(b) → f(a). f(b)<0 - Kết luận về sự có nghiệm của phương trình III. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 : −     + −     2 2 1, khi x x 2, khi x x x   1 1 a. b. = = ( ) f x ( ) f x x x-1 = = 1, khi x 1 3, khi x 1 Bài giải. a. Ta có f(1)=1. − − 2 1 1 . 2 1 x = = = Limf(x) x → Do đó 1 Lim x → 1 . x 1 1 = = Limf(x) x → ) 1 ( 1 f 1 Vậy f(x) liên tục tại x0=1 b. Ta có f(1)=3. 2 + x − 2 x x = = = Limf(x) x → ... 3 Lim x − → 1 1 1 = = . Do đó Limf(x) x → ) 1 ( 3 f 1 Vậy f(x) liên tục tại x0=1     − 2 2 x x  , khi x 0 . Bài 2. Cho hàm số = ( ) f x x + = 2 1 , khi x 0 a Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0. Bài giải. Ta có f(0)=2a+1 2 − x 2 x x ( ) = = − = − . Limf(x) x → Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 2 2 Lim x Lim x x → → 0 0 0 20 Lop4.com.vn

21. 3 =  + = −  = − Limf(x) x → ) 0 ( 2 1 2 f a a 2 0      − − + 2 16, khi x 4 1 , khi x x  4 . Bài 3. Cho hàm số = ( ) f x x a = 2 4 Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4. Bài giải. Ta có f(4)=2a+1 ( )( − ) 2 − + − 16 4 x 4 x x x ( ) = = = + = + = ( ) 4 4 4 8 Lim x f x Lim x Lim x Lim x x − → → → → 4 4 x 4 4 4 4 Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 7 =  + =  = Lim x → f(x) ) 4 ( 2 1 8 f a a 2 4      − − 2 2, khi x x x +  − 1 . Bài 4. Cho hàm số = ( ) f x 1 + x = − 1 , khi x 1 a Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1. Bài giải. Ta có f(1)=a+1 ( )( + ) 2 − x − + − 2 1 x 2 x x x x ( ) = = = − = − − = − ( ) 2 1 2 3 Lim x f x Lim x Lim x Lim x x + → − → − → − → − 1 1 1 1 1 1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi ) 1 ( f(x) Lim -1 x → = −  + = −  = − 1 3 4 f a a BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra:     − + 2 x 3x 2 − +  3 x 1 víi x 2 ( ) ( ) ( ) = − + x 3 vµ g x =  = − 3 a)f x x t¹i ®iÓm x R b)f x t¹i ®iÓm x =2; x 2 0 0 2 x 1 1 víi x=2      − −     3 1 x 1   víi x 0 víi x 1 ( ) ( ) = = c)f x t¹i ®iÓm x =1; d)f x t¹i ®iÓm x =0; x 0 víi x=1 x 1 2 0 0 víi x=1 21 Lop4.com.vn

22.  −  =   − 1 1 x  víi x 0 ( ) ( ) x = e)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; f)f x t¹i ®iÓm x =0; 0 1 2 víi x=0            −     2x 1 víi x  −  =    x +  − − + 2 2 x 1 víi x 1 x 4víi x 2  -2 ( ) ( ) = = g)f x t¹i ®iÓm x =-1; h)f x t¹i ®iÓm x =-2. x 1 0 0 víi x=-1 4 víi x=-2 2 +  + +  2 2 x 1víi x 1 x 4víi x 2 ( ) ( ) = = Bài i)f x t¹i ®iÓm x =1; k)f x t¹i ®iÓm x =2; −  0 0 x 1 víi x>1 2       2 2 x víi x<0 4 3x víi x -2 ( ) ( ) = m)f x t¹i ®iÓm x =0; n) f x t¹i ®iÓm x =-2. 0 0 −  3 víi x>-2 1 x víi x 0 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1 +           − + − − 3 2 x a víi x=1 x x 2x 2  víi x 1 ( ) ( ) = = − − a)f x ; b)f x . 2 x 1 a x x 1 1víi x  1 + 3x víi x=1 Bài 3:xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3       a víi x=0 − − − 2 x x 6 ( ) f x = −  2 víi x 3x 0 . 2 x 3x b víi x=3 Bài 4:Tìm a để hàm số liên tục tại x=0 +   +         x x a khi x 1 khi x + 0 0 x x 2a x 1 khix + + khi x 0 0 ( ) ( ) = = a)f x ; b)f x . 2 2     − + 2 x 3x − 2khi x  1 Bài 5:Cho hàm số ( ) . = x 1 f x = a khi x 1 a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục trên . Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó                  +   2 2 2 2 a x víi x 2 x x khi x 1 x víi x<1 ( ) ( ) ( ) = = = a)f x ; b)f x ; c)f x ; ( ) −  1 a x víi x>2 ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1 − + 2 x 3x 2 +           2 2x a víi 0 x<1 x víi 0 x 1 víi x<2 ( ) ( ) ( ) = = = − d)f x ; e)f x ; f)f x . 2 x 2x  +  2 2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2  mx+m+1 víi x 2 22 Lop4.com.vn

23.     − − + 2 2x 1 2x 2 khi x > 1 − x 1 x khi x 2 Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số trên R. = f(x) +  2 mx 1 Phần IV: Kết luận: Giới hạn là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số lớp 11 không những thế giới hạnchiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nhưng đối với học sinh thì đây lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm. Theo như tôi nhận thấy đối với các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần: - Nhắc lại các công thức đã học. - Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt. - Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán Trên đây là một vài ngiên cứu của tôi trong việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”. Tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11a1, 11a2 , 11a3tại trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương. Trước khi áp dụng ngiên cứu tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra kết quả như sau: Điểm dưới 5Điểm 5 đến 6Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 Sĩ số Lớp SL % SL % SL % SL % 11a1 38 18 47,4 14 36,8 6 15,8 0 0 11a2 40 23 57,5 12 30 5 12,5 0 0 11a3 39 20 51,3 14 35,9 5 12,8 0 0 Sau khi áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” vào giảng tôi tiếp tục kiểm tra được kết quả như sau: Điểm dưới 5Điểm 5 đến 6Điểm 7 đến 8 Điểm 9 đến 10 Sĩ số Lớp SL % SL % SL % SL % 11a1 38 10 26,3 17 44,7 10 26,3 1 2,7 11a2 40 12 30 19 47,5 9 22,5 0 0 11a3 39 10 25,6 18 46,2 11 28,2 0 0 23 Lop4.com.vn

24. làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”. vào nội dung bài học đã giúp các em học sinh tiếp thu nhanh chóng và hiểu sâu hơn về giới hạn. Nâng cao trình độ tư duy toán học, gây niềm say mê học toán. Từ đó tránh được một số sai lầm do không nhận diện được dạng bài tập. Điều đó cho thấy người thầy cần phải có tư duy tìm tòi các biện pháp phù hợp với đối tượng học sinh, giúp học sinh tiếp cận kiến thức mới dễ dàng hơn. Đây chính là động lực để tôi tiếp tục tìm tòi các biện pháp cũng như sáng tạo hơn nữa để có thể làm bài dạy sinh động hơn, dễ hiểu hơn giúp cho học sinh hiểu và nắm bắt bài học một cách dễ dàng hơn, sâu hơn. Đề tài SKKN này chỉ đề cập đến khía cạnh tổng hợp các dạng bài tập về giới hạnnhằm giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về giới hạn từ đó làm tốt bài tập. Hy vọng rằng qua đề tài SKKN này sẽ giúp ích cho nhiều học sinh trong việc học tập về nội dung chương IV: Giới hạn, hiểu sâu và làm nền cho việc nghiên cứu sang các lĩnh vực khác. Trong quá trình trình bày không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:Việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”giúp học sinh đạt kết quả tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về giới hạn. Cách làm này có thể áp dụng cho tất cả các lớp học sinh trong trường THPT, GDTX . 8. Những thông tin cần được bảo mật Không có 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Điều kiện cơ sở vật chất trường học bình thường cũng có thể áp dụng phương pháp này. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Học sinh có hứng thú học hơn, tích cực làm bài tập hơn. 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Kết quả trên cho thấy tác động của việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp 24 Lop4.com.vn

25. Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Số TT Tên tổ chức/cá nhân 1 Lớp 11a1 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục 2 Lớp 11a2 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục 3 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục Lớp 11a3 Tam Dương, ngày.....tháng năm. 2019. Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương Tam Dương, ngày 12 tháng 4năm.2020. Tác giả sáng kiến Lê Thị Minh Lý 25 Lop4.com.vn