Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian

1. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai MỤC LỤC 1. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trang 2 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề 2 2.2. Thực trạng của vấn đề 3 2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 20 3. KẾT LUẬN 22 1 https://tophalong.com/

2. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy toán học nói chung và môn hình học không gian nói riêng. Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành một kinh nghiệm: “Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian” 2. GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ 2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chứng minh 3 điểm thẳng 2 https://tophalong.com/

3. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai hàng, chứng minh 3 đường thẳngđồng quy, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. 2.2. Thực trạng của vấn đề Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian. 2.3. Các biện pháp để tiến hành giải quyết vấn đề I. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này. I.1. Phương pháp +)Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng.                     A       Nếu    AB B - Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng tìm điểm chung của    và    cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a       và đường thẳng b sao cho a và b   cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3. +) Cách 2: Tìm 1 điểm chung và dựa vào một trong các kết quả sau: 3 https://tophalong.com/

4. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai / / ( ) ( ) ( ) ( )                                  a a b b        / / / / a a b b      Hệ quả (SGK – trang 57): Nếu          / /  a  Định lý 2 (SGK – trang 61): Nếu / / a b a   b       / / a  Hệ quả ( SGK – trang 62): Nếu / / / / b b a  b * Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1 điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2. I.2. Ví dụ cụ thể - Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn. Ví dụ 1: Trong mp() cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến của các mp sau: a) mp (SAB) và mp(SCD) b) mp(SAC) và mp(SBD) Hướng dẫn giải - Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện: Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ taxác định được những điểm chung nào của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao? S Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung thứ nhất là S B E A C 4 D https://tophalong.com/

5. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai   ( ) ( ) E CD E SCD            E AB E SAB    Ta có ( ). E SAB SCD   Vậy . ( ) ( ) SE SAB SCD -Với câu b)tương tự cách làm câu a). Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF, S nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình giải thích vì sao. B E A  (  )           F F AC BD F F SAC SBD    F Có ( ) ( ). F SAC SBD C  D   Vậy ( ) ( ) SF SAC SBD Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của (MHK) và (SAD). Hướng dẫn giải - Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp. Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi Câu hỏi 1:(MHK) và (SAD) có điểm chung thứ nhất là điểm nào? Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy S = (MHK)  (SAD). Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2 đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD) và cùng nằm trong mặt phẳng thứ 3? Với câu hỏi này học sinh chọn 2 đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong mặt thứ 3 là (ABCD). Khi đó kéo dài HK và AD cắt nhau tại E. Câu hỏi 3: Chứng minh E là điểm chung của (MHK) và (SAD)? 5 https://tophalong.com/

6. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Ta có          ( ( ) E E HK AD E E MHK SAD    . ( ) ( ) E MHK SAD ) Câu hỏi 4: (MHK) và (SAD) có giao tuyến là đường thẳng nào?   Ta có . ( ) ( ) SE MHK SAD - Trong ví dụ 2 giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ: Hai đường thẳng trong không gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một mặt phẳng và không song song. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   đi qua O, song song với AB và SC. * Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của    và cần xác định giao tuyến của    với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm   đi qua và chứa đường thẳng mà    song song. * Hướng dẫn Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước? + Xác định giao tuyến của    với mp (ABCD) Câu hỏi 2: mặt phẳng    và (ABCD) có những điểm chung nào? Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của    với (ABCD) ta làm thế nào? Vì sao? Thấy O =       ABCD 6 https://tophalong.com/

7. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai     AB ABCD       / / AB Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của     và Thấy (ABCD) phải song song với AB. Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d  BC = N, d  AD = M     d ABCD    . Đoạn giao tuyến là MN. Vậy + Xác định giao tuyến của    với (SBC) Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là điểm nào? Câu hỏi 5: (SBC) và    có quan hệ gì? Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của    và (SBC) bằng cách nào? Thấy N =     ( ) SBC          SC  giao tuyến của     và (SBC) Thấy  SC SBC phải song song với SC. Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P. Vậy    = d’ hay đoạn giao tuyến là NP. ( ) SBC + Xác định     ( ) SAB Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là điểm nào? Câu hỏi 8: (SAB) và    có quan hệ gì? Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của    và (SAB) bằng cách nào? Thấy P =     ( ) SAB    SAB      / /  AB giao tuyến của     và (SAB) phải Thấy  AB song song với AB. 7 https://tophalong.com/

8. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =    hay đoạn giao tuyến là PQ. ( ) SAB + Xác định     ( ) SAD Câu hỏi 10:    và (SAD) có mấy điểm chung và đó là những điểm nào? Câu hỏi 11:     là đoạn giao tuyến nào? ( ) SAD Thấy M =   và Q =       ( ) ( ) SAD SAD Vậy     theo đoạn giao tuyến là MQ. ( ) SAD Câu hỏi 12: Xác định thiết diện? Thiết diện là hình thang MNPQ. I.3. Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau: a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD) c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau: a) (SAC)(SBD) b) (SAB)(SCD) c) (SAD)(SBC Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm các giao tuyến sau: a) (BMN)(ACD) b) (CMN)(ABD) c) (DMN)(ABC) Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau: a) (ABJ)(ACD) b) (IJK)(ACD) c) (IJK)(ABD) d) (IJK)(ABC) Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD) 8 https://tophalong.com/

9. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (DMN) II. Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và    II.1. Phương pháp:Để tìm giao điểm của d và    ta có thể thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Chọn mặt phẳng   chứa d (Nên chọn mặt phẳng    sao cho dễ tìm giao tuyến với    ) + Bước 2: Xác định =      .  + Bước 3: M = + Bước 4: Chứng minh M = d   d  . - Với dạng toán này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn giản để học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng toán này. II.2. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh 2 3 AN AD AD sao cho . Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (BCD). * Hướng dẫn Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng chứa MN là mặt phẳng nào? - Với câu hỏi này học sinh dễ dàng chọn được mặt phẳng là mặt phẳng (ABD). Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (ABD) và (BCD)? Ta dễ thấy BD = (ABD)  (BCD). Gọi E = MN  BD. Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN (  ? ) BCD 9 https://tophalong.com/

10. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai E MN E MN E BD E BCD           Ta có . ( ) BCD ( ) - Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập khó hơn. Cụ thể: Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC). b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM). * Hướng dẫn a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp (SAC)? Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn là mp (SBD). Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)? Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của (SAC) và (SBD). Dễ thấy S = (SAC)  (SBD). Gọi O = AC BD. Khi đó O = (SAC)  (SBD). Vậy SO = (SAC)  (SBD) Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM? Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM  (SAC)? Với bước này học sinh sẽ xác định được ngayđiểm E vì SO và BM cùng thuộc mp (SBD). Gọi E = SO  BM. 10 https://tophalong.com/

11. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai E BM E SO SAC E SAC            Khi đó . ( ) E BM SAC ( ) ( ) b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề. Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến với (SBC) là mặt phẳng nào? Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM Câu hỏi 6: Xác định (SAD) (SBC)? Ta có S = (SAD) (SBC).          ( ( ) ) P P AD BC P P SAD SBC Gọi P = AD BC. Khi đó => P = (SAD) (SBC). Vậy SP = (SAD) (SBC). Gọi F = SP  IM Câu hỏi 7: Chứng minh F = IM (SBC)?      F F IM SP => F = IM (SBC). Ta có    ( ) ( ) SBC F SBC c) Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét. Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến với (IJM)? Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP). Câu hỏi 9: Xác định (SBP)  (IJM)? Thấy J = (SBP)  (IJM) ( Vì J  ) SB      F F IM SP    Mặt khác (IJ ) ( ) F M SBP Vậy JF = (SBP)  (IJM) 11 https://tophalong.com/

12. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Gọi K = SC  JF Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC  (IJM)?      K K SC JF       Thấy (IJ ) K SC JF K SC M    (IJ ) (IJ ) M K M II.3. Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC a) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ) Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các giao điểm sau: a) IJ (SBC) b) IJ(SAC) Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của: a) CD và (MNP) b) AD và (MNP) Bài 4: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK) b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC). III. Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng    . III.1. Phương pháp: Để chứng minh cho d //    ta chứng minh cho d // a với a là một đường thẳng nằm trong mp    .     / /  d a a     Tóm tắt: Nếu / / d    - Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được     . Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác đường thẳng a định được a. 12 https://tophalong.com/

13. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai III.2. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh rằng MN // (SBC). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB // (MNP) c) Chứng minh SC // (MNP). * Hướng dẫn a) Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng a là đường thẳng BC. Do đó học sinh dễ dàng chứng minh được MN // (SBC).    / /  MN BC BC SBC  Cụ thể: Do . / /( ) MN SBC ( ) b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a là đường MP. Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ của giáo viên. * Hướng dẫn: Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP? Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên SB // MP Mà MP  (MNP) nên SB // (MNP). c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a. Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh mới có thể giải quyết được vấn đề. * Hướng dẫn: Câu hỏi 2: Lấy O = MN  AC. Chứng minh SC // OP? 13 https://tophalong.com/

14. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Vì O = MN AC => O là trung điểm của AC => OP là đường trung bình của tam giác SAC => SC // OP. Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)? Do SC // OP mà OP  (MNP) => SC // (MNP). Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE. Chứng minh MN // (CEF). * Hướng dẫn - Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện đường thẳng a trong mp (CEF). Khi đó giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp (CDFE). Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng chính là chứng minh MN // (CDEF). Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ? 1 3 KM KD Do M là trọng tâm của tam giác ABD => 1 3 KN KE Do N là trọng tâm của tam giác ABE => KM KD KN KE   Vậy (Định lý Talet) / / MN DE Câu hỏi 2: Chứng minh MN // (CEF) ? Do MN // DE mà DE  (CDFE) => MN // (CDFE) Mà (CEF)  (CDFE). Vậy ta có MN // (CEF). III.3. Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD 14 https://tophalong.com/

15. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai a) Chứng minh rằng BD//(AIJ) b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Chứng minh rằng HK//(ABD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là trung điểm của SA và SC a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD) b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = 1 3 SD c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN) d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC) và (IJN)//(SAD). IV. Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song IV.1. Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.   , a b a b I a                    Tóm tắt: Nếu / /     / / / / b - Cái khó của phương pháp này là phải xác định được 2 đường thẳng a và b. Vậy nhiệm vụ của giáo viên là phảihướng dẫn làm sao để học sinh phát hiện được 2 đường thẳng a và b đó. IV.2. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Chứng minh (OMN) // (SBC). b) Gọi I, J lần lượtlà trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB). * Hướng dẫn 15 https://tophalong.com/

16. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn2 đường là OM, ON hoặc BC, SC Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)? Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam giác SAC)  Mà SC . Vậy OM // (SBC). ( ) SBC Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)? Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong tam giác DBC)  Mà BC . Vậy ON // (SBC). ( ) SBC Câu hỏi 3: Chứng minh (OMN) // (SBC)?     , ( ) OM ON OM ON    OMN / /( / /(  ) SBC SBC  Ta có ( )/ /( ) OMN SBC ) OM ON = O - Trong ý a) giáo viên cũng có thể hướng cho học sinh cách chứng minh BC//(OMN) và SC // (OMN). b) Với ý này trước tiên giáo viên phải hướng dẫn học sinh xác định điểm K Gọi P là trung điểm của BC. Khi đó những điểm nằm trên JP sẽ cách đều AB và CD. Do đó ta chỉ cần  lấy K . JP Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)? Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD => IJ // SA (SAB) => IJ // (SAB). Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)? nên JK // AB (SAB) => JK // (SAB)  Có JP // AB mà K JP Câu hỏi 3: Chứng minh (IJK) // (SAB)? 16 https://tophalong.com/

17. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai IJ, JK (IJ ) IJ//( ) (IJ ) / /( ) / /( ) IJ JK J          K SAB  Ta có K SAB JK SAB Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. a) Chứng minh (IGK) // (BB’C’C). b) Chứng minh (A’GK) // (AIB’). * Hướng dẫn a) Với ý a) học sinh sẽ rất khó nhìn ra 2 đường thẳng a và b. Nhiệm vụ của giáo viên là phải giúp học sinh phát hiện ra 2 đường thẳng đó bằng cáchhướng dẫn học sinh xác định thêm các trung điểm M và M’ của AC và A’C’. Khi đó học sinh sẽ nhìn ra hướng giải quyết vấn đề. Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)? Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ' ' ' 1 3 MI MB M K M B   tam giác A’B’C’ => . Mà MM’ // BB’ => IK // BB’ (BB’C’C) => IK // (BB’C’C). Câu hỏi 2: Chứng minh IG // (BB’C’C)? Do G là trọng tâm của tam giác ACC’ 1 3 MI MB MG MC => IG // BC’(BB’C’C)   => ' => IG // (BB’C’C). Câu hỏi 3: Chứng minh (IGK) // (BB’C’C)?       / /( / /(  ' ' ) ' ' ) I IGK IK IG IK IK IG BB C C BB C C IG    Ta có . ( ) / /( ' ' ) IGK BB C C , ( ) 17 https://tophalong.com/

18. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong việc tìm ra 2 đường thẳng a và b. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm các trung điểm E, F của BC và B’C’. Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt phẳng nào? Do E là trung điểm của BC => A, I, E thẳng hàng => (AIB’) chính là (AEB’) Câu hỏi 2: Mặt phẳng (A’GK) được mở rộng thành mặt phẳng nào? Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng Do G là trọng tâm của tam giác ACC’ => A’, G, C thẳng hàng Do đó (A’GK) chính là (A’FC) Câu hỏi 3: Chứng minh (AEB’) // (A’FC)? Do BB’C’C là hình bình hành => B’E // FC => B’E // (A’FC) Mặt khác ta lại có AE // A’F => AE // (A’FC) Vậy (AEB’) // (A’FC) hay (AIB’) // (A’GK). IV.3. Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD. Chứng minh rằng (HKL) // (BCD). Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’) b) Tìm các giao điểm I = B’D  (BA’C’); J = B’D(ACD’). Chứng minh rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau c) GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BMN). 18 https://tophalong.com/

19. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD a) Xác định giao điểm K = BI (SAC) b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH // (SAD) c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN) // (SBC) d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN) * MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý Để làm được một bài toán hình học không gian ngoài việc nắm được phương pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng. Một hình vẽ tốt phải là hình đảm bảo các yêu cầu sau: +) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt... +) Phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn và có tính thẩm mỹ. +) Phải đủ các dữ liệu, không thừa +) Phải thể hiện được dữ liệu của đề bài cho. Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc “Giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian” với thời lượng lên lớp chính khóa tôi nghĩ là chưa đủ. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây: 1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập phù hợp. 2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán. 3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có học lực khá, có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà 19 https://tophalong.com/

20. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài (nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em). 4/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em (bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng cách trình bày, hình vẽ. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc. 2.4. Hiệu quả của sáng kiến Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 11. Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng giải toán trên mảng quan hệ song song trong không gian, bởi vì muốn giải được bài toán về hình không gian ngoài việc nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh học sinh còn phải biết cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp dụng. Bước đầu tôi thấy có một số kết quả sau: - Trước khi thực hiện phương pháp này, tôi cho học sinh các lớp 11 do tôi phụ trách làm một bài toán. Tôi ghi lại kết quả theo dõi như sau: Tỉ lệ trên Trung bình Lớp Sĩ số Đánh giá Trung bình Khá giỏi 11A6 30 10/30 = 33,3% 3/30 = 10% Yếu 20 https://tophalong.com/

21. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai 11A7 34 8/34 =23,5% 2/34 = 5,8% Yếu Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên rõ rệt: Tỉ lệ trên Trung bình Lớp Sĩ số Đánh giá Trung bình Khá giỏi 11A6 30 18/30 = 60% 5/30 = 16,7% Khá 11A7 34 16/34 = 47,1% 5/34 = 14,7% Trung bình Tuy nhiên, một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được. Tôi thiết nghĩ không thể nói lên bằng các con số đó là: - Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán về hình học không gian. - Các em không còn thấykhó khăn khi vẽ hình không gian. - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán. Từ đó, nó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ. - Phát triển tư duy trực quan hình vẽ, óc quan sát, suy luận toán học, các em đã biết “Phiên dịch” các vấn đề từ ngôn ngữ văn học sang ngôn ngữ toán học thông qua các hình vẽ, các kí hiệu... giải quyết vấn đề đó. Từ đó, nó giúp phát triển ngôn ngữ và tạo cho các em một tư thế mới, vững vàng trong học tập, lao động và trong cuộc sống. - Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em không còn ngại khó, mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình. - Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp. Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh học yếu, lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài toán dễ về quan hệ song song trong không gian. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn. 21 https://tophalong.com/

22. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em. Một yếu tố cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là phương pháp giảng dạy của bản thân tôi đôi lúc chưa thực sự hợp lý. Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bước vào cuộc sống hoặc học lên nữa. Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra những sản phẩm ấy cần phải: - Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh. - Có kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề. - Có kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, trực quan hình vẽ. - Có kỹ năng vẽ hình và trình bài lời giải. 3. KẾT LUẬN Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên, bướcđầu chưa đạt được kết quả thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên (nếu thành công). Tôi thiết nghĩ, chúng ta có thể áp dụng cho các dạng toán khác trong hình học không giannhư các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian... Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình cho sự nghiệp giáo dục. 22 https://tophalong.com/

23. Phạm Thành Trường THPT số 3 Thành phố Lào Cai Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn, và khả thể triển khai áp dụng để dạy học sinh cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao. Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Lào Cai, ngày 28 tháng 05 năm 2014. DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1. Trần Văn Hạo: Hình học 11- Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007 2. Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007 3. Trần Văn Thương - Phạm Đình - Lê Văn Đỗ - Cao Quang Đức: Phân loại và phương pháp giải toán hình học không gian lớp 11 - NXB ĐH Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 2001 4. Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo - Trần Đức Huyên: Phân loại và hướng dẫn giải toán hình học không gian 11 - NXB ĐH Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 2005 . 5. Lê Mậu Thống – Lê Bá Hào: Phân loại và phương pháp giải toán hình học 11 - NXB Hà Nội, năm 2007 23 https://tophalong.com/