Phương pháp dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử

1. MỤC LỤC CHƯƠNG I: TỔNG QUAN I.CƠ SỞ LÝ LUẬN………………………………….…………….. Trang 1 II.PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN SÁNG KIẾN……………..………. Trang 1 III. MỤC TIÊU………………………………………………………. Trang 2 CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN Trang 3 I.NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN Trang 4 1.Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề……………………….…… Trang 4 2.Chỉ ra các tồn tại, hạn chế……………………………………….. Trang 4-16 3.Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế đó………………..……. Trang 16 4.Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra Sáng kiến Trang 16 II.GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Trang 17 III.KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG Trang 18 IV.GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN CHƯƠNG III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ/ ĐỀ XUẤT TÀI LIỆU THAM THẢO 1 https://tailieumamnon.net/

2. KINH NGHIỆM “Phương pháp dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử’’ CHƯƠNG I: TỔNG QUAN I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường phổ thông môn Toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,…” Vì vậy. vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN TẠO RA SÁNG KIẾN 1. Đọc tài liệu: 2 https://tailieumamnon.net/

3. Tham khảo tài liệu chuyên môn có liên quan: + Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở bài tập. + Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông. + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán. + Đổi mới phương pháp dạy học toán. + Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS. + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8. Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị. Học hỏi các giải pháp hay đã áp dụng để tích lũy kinh nghiệm. 2. Điều tra: a. Dự giờ: Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ. Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học. b. Đàm thoại: Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời. Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu những nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác. c. Thăm dò: Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp 8A1 trong năm học trước. Tổng số: 37 học sinh. Trong đó: GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH SL 20 YẾU TỔNG SÔ SL 4 TL% 10.8 SL 10 TL% 27 TL% 54 SL 3 TL% 8.2 37 3 https://tailieumamnon.net/

4. Tìm hiểu trong năm học này, giáo viên lập danh sách học sinh yếu, tìm hiểu nguyên nhân học sinh yếu bằng phương pháp vấn đáp, kiểm tra phân loại học sinh yếu. Từ đó tìm biện pháp khắc phục phù hợp đối với từng đối tượng học sinh 3. Thực nghiệm: Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đối tượng học sinh. III. MỤC TIÊU Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN I. VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN 1. Phân tích, đánh giá thực trạng vấn đề: Toán học là một môn khoa học nếu học giỏi toán thì sẽ có điều kiện để học tốt các môn khác. Tuy nhiên toán học đặc trưng là môn học tự nhiên rất khó học vì vậy không phải học sinh nào cũng hiểu, cũng học tốt được toán. Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa yhức thành nhân tử 4 https://tailieumamnon.net/

5. là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,… Qua quá trình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được. Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. 2. Tồn tại, hạn chế: Thực tế qua giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy bên cạnh một số học sinh học rất tốt về toán, các em vững kiến thức giải thành thạo các bài toán ở sách giáo khoa, còn giải được các bài toán dạng nâng cao. Nhưng vẫn còn một số em học toán còn chậm, tiếp thu kiến thức còn hạn chế, khi thực hành tính toán còn nhầm lẫn, không chính xác. Khi thực hiện việc áp dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử còn nhầm lẫn , chậm chạp chưa phân biệt được phương pháp vận dụng cũng như lựa chọn đượcphương pháp phù hợp để phân tích đa thức ra nhân tử.Cụ thểkết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến của lớp 8a1 năm học 2018 – 2019 như sau: Sĩ số học sinh Số học sinh giải được Số lượng 16 Số học sinh chưa giải được Số lượng 19 Tỷ lệ (%) 45,71% Tỷ lệ (%) 54,29% 35 Cho thấy số học sinh chưa thực hiện được phép phân tích đa thức thành nhân tử khá cao so với sĩ số học sinh của mỗi lớp. Ở lớp 8 nếu các em không nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử, không thực hành thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử thì các em sẽ gặp khó khăn khi học chương phân thức đại số và giải phương trình sau này. Mà khi đã đi qua rồi khó mà quay lại để lấp lại kiến thức đã bị hổng. 5 https://tailieumamnon.net/

6. 3. Nguyên nhân của tồn tại hạn chế: Qua tìm hiểu nguyên nhân tôi nhận thấy rằng do học sinh lớp 8 có một đặc tính tâm lý là nhanh nhớ nhưng chóng quên. Có khi ngay tại lớp các em nhớ cách phân tích đa thức ra nhân tử nhưng sau vài ngày kiểm tra lại các em đã quên gần hết (nếu các em không được ôn luyện thường xuyên). Do học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. 4. Tính cấp thiết của sáng kiến: Đứng trước thực trạng trênlà một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhận thấy bên cạnh việc trang bị vốn kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của mình thì cũng cần phải thường xuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích hợp để chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao nhằm giảm bớt số lượng học sinh yếu kém, nâng cao số lượng học sinh khá giỏi. Vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu:“Phương pháp dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân tử’’ở lớp 8A1 trường THCS Văn Lang. II. GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Các kiến thức cơ bản có liên quan: 1.1.Tính chấtphân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để sử dụng trong phương pháp: Đặt nhân tử chung: A.(B +C) = A.B+A.C 1.2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 =A2+2AB+B2 (A-B)2 =A2-2AB+B2 A2-B2 = (A+B)(A-B) (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3 A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) A3- B3 = (A-B)(A2+AB+B2) 6 https://tailieumamnon.net/

7. 1.3. Định lý về nghiệm của đa thức: * Nếu x0là nghiệm của đa thức f(x) thì: f(x) = (x - x0) g(x) * Đặc biệt: Nếu f(x) = ax2+ bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì f(x) = ax2 + bx + c = a (x- x1) (x - x2). * Nếu đa thức có tổng các hện số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1 * Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chắn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1. Ví dụ: a. f(x) = x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2). b. f(x) = 2x2 + 5x + 3 = 2 (x + 1) (x+ 3/2). 2. Các phương pháp cơ bản đã thực hiện: 2.1. Các phương pháp cơ bản: 2.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung: Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). Ví dụ: Phân tích thành tích: A = 5a2 (b - 2c) - 15a (b - 2c)2. Ta biết: A = 5a (b - 2c) [a - 3 (b - 2c)] = 5a (b - 2c) (a - 3a + 6c). Chú ý: Một biểu thức bậc nhất không thể phân tích được nữa. Ví dụ: B = 2x (y - z) + (z - y) (x + y). Nhận xét: y - z = - (z - y). Từ đó: B = 2x (y - z) - (y - z) (x + y) = (y - z) [(2x - (x+ y)] = (y - z) (x - y). Ví dụ: C = x3 - 2x2 + 2x = x (x2 - 2x + 2) 7 https://tailieumamnon.net/

8. * Biểu thức: x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1  1 > 0  x nghĩa là đa thức x2 - 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích được nữa. 2.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: * Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. * Cần chúýđến việc vận dụng hằng đẳng thức: Căn cứ vào bậc của đa thức cần phân tích là chẵn hay lẻ:nếu bậc chẵn thì chọn nhóm công thức về bình phương còn nếu bậc lẻ thì chọn nhóm công thức về lập phương bằng cách làm như thế có thể giúp học sinh loại trừ bớt một số công thức không phù hợp. Căn cứ vào số lượng hạng tử của đa thức cần phân tích : nếu đa thức cần phân tích có hai hạng tử thì có thể dùng công thức hiệu của hai bình phương hoặc tổng của hai lập phương hoặc hiệu của hai lập phương; nếu đa thức cần phân tích có ba hạng tử thì có thể dùng công thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu; nếu đa thức cần phân tích có bốn hạng tử thì có thể dùng công thức lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu . Bằng cách này cũng giúp học sinh loại trừ thêm các công thức không phù hợp Căn cứ vào dấu “+” và dấu “-“ nối giữa các hạng tử nếu chỉ có dấu “+” thì có thể chọn các công thức: bình phương của một tổng, lập phương của một tổng hoặc tổng của hai lập phương; nếu chỉ có dấu “-“ nối các hạng tử thì chọn công thức: hiệu của hai bình phương hoặc hiệu của hai lập phương; nếu dấu “-” xen kẽ dấu “+” thì chọn công thức: bình phương của một hiệu hoặc lập phương của một hiệu. Bằng cách này cũng giúp học sinh loại trừ thêm các công thức không phù hợp. * Tóm lại tôi chốt qui trình lựa chọnnhư sau: Xét bậc đa thức xét số lượng hạng tử xét dấu nối các hạng tử * Ví dụ: Phân tích cac đa thức sau thành nhân tử: 8 https://tailieumamnon.net/

9. − − + 2 1) 2) 3)1 4) 5)( 4 2 x 4 x x x 2 − 3 8 + + + − + 3 2 3 y 3 9 1 x x x x 2 2 ) x (SGK- Trang 19-20) -Đối với ví dụ1 có thể hướng dẫn như sau: Xét bậc đa thức là bậc 2 như vậy loại các công thức ở nhóm lập phương chỉ còn xét 3 công thức ở nhóm bình phương là bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu của hai bình phương Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức hiệu của hai bình phương chỉ còn bình phương của tổng hoặc hiệu. Xét dấu nối các hạng tử có thể loại công thức bình phương của một tổng còn lại công thức bình phương của một hiệu là phù hợp. -Đối với ví dụ2 có thể hướng dẫn như sau: Xét bậc đa thức là bậc 2 như vậy loại các công thức ở nhóm lập phương chỉ còn xét 3 công thức ở nhóm bình phương là bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu của hai bình phương Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức bình phương của tổng và hiệu chỉ còn hiệu của hai bình phương là phù hợp. -Đối với ví dụ 3 có thể hướng dẫn như sau: Xét bậc đa thức là bậc 3 như vậy loại các công thức ở nhóm bình phương chỉ còn xét 4 công thức ở nhóm lập phương là lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng của hai lập phương và hiệu của hai lập phương Xét số lượng hạng tử có thể loại công thức lập phương của tổng và hiệu chỉ còn hiệu của hai lập phương và tổng của hai lập phương. Xét dấu nối các hạng tử có thể loại công thức tổng của hai lập phương còn lại công thức hiệu của hai lập phương là phù hợp. - Các ví dụ 4 và 5 còn lại tôi hướng dẫn tương tự theo qui trình như trên để chọn ra công thức phù hợp. 9 https://tailieumamnon.net/

10. Ví dụ: Phân tích thành tích: D = 4x2 + 12x + 9 * Nhận xét: D không có nhân tử chung nên ta viết: D = (2x)2 + 2 (2x) .3 + 32 Áp dụng: (b + a)2 = a2 + 2ab + b2 Với a = 2x; b = 3 ta có: D = (2x)2 + 2 (2x).3 + 32 = (2x + 3)2 Ví dụ : E = 1- 8x6y3 Chú ý: ta viết 1 = 12 = 13... = 1n Khi đó E = 13 - (2x2y)3 Áp dụng: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) E = (1 - 2x2y) (1 + 2x2y + 4x4y2) Hướng dẫn thực hiện: * Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng hằng đẳng thức nào. Ví dụ : F = - x4y2 - 8x2y – 16 F = - [(x2y)2 + 2.4x2y + 42] = - (x2y + 4)2 * Trước tiên ta xét hạng tử bậc cao nhất kết hợp với số hạng tự do (nếu có) là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào. Chẳng hạn: D = 4x2 + 12x + 9 Hạng tử cao nhất: 4x2có dạng (2x)2và số hạng tự do 9 = 32 nên ta dùng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. E = 1 – 8x6y3 Hạng tử bậc cao nhất: 8x6y3có dạng (2x2y)3và 1 có thể viết: 1 = 13 nên ta dùng hằng đẳng thức: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2). 2.1.3. Phương pháp nhóm các hạng tử: Một đa thức nếu không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung, cũng không dùng được phương pháp hằng đẳng thức thì ta xét một trong các hạng tử, những hạng tử nào có cùng nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm 10 https://tailieumamnon.net/

11. lại với nhau. Ví dụ : G = xy - 5y + 2x – 10 Rõ ràng G không phân tích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức. Trong 4 hạng tử xuất hiện: xy - 5y = y (x - 5) và 2x - 10 = 2 (x - 5) hoặc xy + 2x = x (y + 2) và - 5y - 10 = - 5 (y + 2) Cả hai hướng đều cho ta kết quả: G = (x - 5) ( y + 2) = (y + 2) (x - 5) Việc chia nhóm phải đạt được mục đích là sau đó xuất hiện nhân tử chung của các nhóm. Ví dụ: H = x2 + 2x + 1 - y2 Trong 4 hạng tử có: x2 + 2x = x (x + 2) nhưng 1 - y2 = (1 + y) (1 - y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta nhận thấy: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 Khi đó: H = (x + 1)2 - y2là hiệu 2 bình phương Nên H = (x + 1 + y) (x + 1 - y) Ví dụ: I = 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 Ta có: - 6yz - 9y2 = - 3y (2z + 3y) 81x2 - 9y2 = (9x + 3y) (9x - 3y) cũng không có nhân tử chung Ta nhận thấy - (9y2 + 6yz + z2) = - (3y + z)2 nên: I = 81x2 - (9y2 + 6yz + z2) = 81x2 - (3y + z) = (9x + 3y + z) (9x - 3y - z) Vậy tóm lại: Để sử dụngphương pháp nhóm hạng tử ta cần nhóm để có thể làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc hằng đẳng thức. 2.1.4. Phối hợp nhiều phương pháp: 11 https://tailieumamnon.net/

12. - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên. - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử. Ví dụ . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3xy2– 12xy + 12x = 3x(y2– 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2– 3a2xy + 3xy = 3xy(x2– 2y – y2– 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2– 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2– (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a) 3. Một số phương pháp khác: 3.1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: Khi các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả nhóm các hạng tử không có kết quả ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng đẳng thức. Thông thường ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. 3.1.1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c a.Cách 1:(tách hạng tử bậc nhất bx): Bước 1:Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3= … = ai.ci= … Bước 2:Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp. Ví dụ:Phân tích đa thức f(x) = 3x2+ 8x + 4 thành nhân tử. 12 https://tailieumamnon.net/

13. Hướng dẫn: −Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) −Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci). −Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải: 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x (3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Cách 2:(tách hạng tử bậc hai ax2) −Làm xuất hiện hiệu hai bình phương: f (x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2– x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2) −Tách thành 4 số hạng rồi nhóm : f(x) = 4x2– x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x)- ( x2– 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2–4) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách 3:(tách hạng tử tự do c) −Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2–12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2– 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2+ 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = 4x2− 4x −3 thành nhân tử. Hướng dẫn: Ta thấy 4x2− 4x = (2x)2−2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12= 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. Lời giải: f(x) = (4x2– 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2– 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x –5 thành nhân tử. Lời giải: 13 https://tailieumamnon.net/

14. Cách 1: f(x) = 9x2– 3x + 15x – 5 = (9x2– 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách 2: f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2– 32 = (3x – 1)(3x + 5) 3.1.2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên: Trước hết, ta chú ýđến một định lí quan trọng sau: Định lí:Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x –a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là x –a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do. Ví dụ:Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử. Lời giải: Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như sau: Cách 1: f(x) = x3 + 2x2– x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2– 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2– x + 2). Cách 2: f(x) = (x3 + 8) + (x2– 4) = (x + 2)(x2– 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2– x + 2). Cách 3: f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2– 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2– x + 2). Cách 4: f(x) = (x3– x2 + 2x) + (2x2- 2x + 4) = x(x2 - x + 2) + 2(x2 - x + 2) = (x + 2)(x2– x + 2). Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau: Hệ quả:Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1. Chẳng hạn, đa thức x3- 5x2 + 8x - 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là 14 https://tailieumamnon.net/

15. một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x - 1. Ta phân tích như sau: f(x) = (x3– x2) – (4x2– 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ quả 2:Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1. Chẳng hạn, đa thức x3– 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Ví dụ:Phân tích đa thức f(x) = 4x3− 13x2 + 9x −18 thành nhân tử. Hướng dẫn: Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x). − − − − 18 3 1 − − 18 6 1  − 18 9 1  − 18 Dễ thấy ; không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ; ;  − 18 1 ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau : = − − + + − = − − − + − 3 2 2 2 f(x) 4x 12x x 3x 6x 18 4x (x 3) x(x 3) 6(x 3) = (x – 3)(4x2– x + 6) − − + + + + + n n 1 n 2 a x a x a x a x a ... − − Hệ quả 3:Nếu f(x) = n n 1 n 2 1 0 íi , v a a a alà các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = p/q , trong đó p, q ,..., , ( −1 n n 1 0   Z và (p, q) = 1, thì p là ước a0, q là ước dương của an . Ví dụ :Phân tích đa thức f(x) = 3x3− 7x2 + 17x − 5 thành nhân tử. Hướng dẫn: Các ước của –5 là  1, 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. 15 https://tailieumamnon.net/

16. 1 3  , ta thấy 1 5 3  ; 3là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một Xét các số nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau: f(x) = (3x3– x2) – (6x2– 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2– 2x + 5). 3.1.3. Đối với đa thức nhiều biến: Ví dụ . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a)2x2− 5xy + 2y2 ; b)x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y). Hướng dẫn: a. Phân tích đa thức này tương tựnhư phân tích đa thức f(x) = ax2 +bx + c Ta tách hạng tử thứ 2: 2x2− 5xy + 2y2 = (2x2− 4xy) − (xy − 2y2) = 2x(x − 2y) − y(x − 2y) = (x − 2y)(2x − y) b. Nhận xét: z − x = −(y − z) − (x − y). Vì vậy tách hạng của đa thức: x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) = x2(y − z) − y2(y − z) − y2(x − y) + z2(x − y) = (y − z)(x2− y2) − (x − y)(y2− z2) = (y − z)(x − y)(x + y) − (x − y)(y − z)(y + z) = (x − y)(y − z)(x − z) Chúý: 1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y - (z− x) hoặc z- x=− (y - z)- (x - y) 2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng. 3.2. Phươngpháp thêm bớt cùng một hạng tử: 3.2.1. Thêm và bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương 16 https://tailieumamnon.net/

17. Đa thức có dạng tổng quát của các bình phương ta sẽ thêm bớt cùng một hạng tử sao cho xuất hiện bình phương của một tổng hay một hiệu. Ví dụ:M = x4 + 4 Rõ ràng đây là tổngcác bình phương chứ không phải là hiệu các bình phương nên không thể sử dụng công thức hiệu bình phương. Ta thấy: M = (x2)2 và 4 = 22 nên M = (x2)2 + 4x2 + 22 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Chú ý: x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 1 > 0  x x2 - 2x + 2 = x2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)2 + 1 1 > 0  x nên không tiếp tục phân tích được nữa. Ví dụ:Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử Lời giải: Cách 1: x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2– x2 = (x2– x + 1)(x2 + x + 1). Cách 2: x4 + x2 + 1 = (x4– x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2– x + 1) + (x + 1)(x2– x + 1) = (x2– x + 1)(x2 + x + 1). Cách 3: x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3– 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2– x + 1)(x2 + x + 1). Ví dụ: Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải: Cách 1: x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2– (2x)2 = (x2– 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách 2: x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2– 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 3.2.2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung: 17 https://tailieumamnon.net/

18. Ví du: Phân tích đa thức x5 + x − 1 thành nhân tử Lời giải: Cách 1:x5 + x − 1 = x5− x4 + x3 + x4− x3 + x2− x2 + x − 1 = x3(x2− x + 1) − x2(x2− x + 1) − (x2− x + 1) = (x2− x + 1)(x3− x2− 1). Cách 2: Thêm và bớt x2: x5 + x − 1 = x5 + x2− x2 + x − 1 = x2(x3 + 1) − (x2− x + 1) = (x2− x + 1)[x2(x + 1) − 1] = (x2− x + 1)(x3− x2− 1). Ví dụ: Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử Lời giải: x7 + x2 + 1 = x7– x + x2 + x + 1 = x(x6– 1) + (x2 + x + 1) = x(x3– 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x − 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5− x4– x2 − x + 1) Lưu ý:Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2+ 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1. 3.3. Phương pháp đổi biến số: Đặt ẩn phụđểđưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng: (y − 12)(y + 12) + 128 = y2− 16 = (y + 4)(y − 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét:Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. 18 https://tailieumamnon.net/

19. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1. Lời giải: Cách 1: Giả sửx ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng : 6 x 1 x 1 x 1 x 2 2 2 2 A x x 6x 7 x x 6 x 7 . 2 2 2 1 x 1 x 2 2 x y x y 2 Đặt thì . Do đó : 2 A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 2 1 x = (x2 + 3x − 1)2. = x x 3x Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0. Cách 2:A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x − 1) + (3x − 1)2 = (x2 + 3x − 1)2. 3.4. Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4− 6x3 + 12x2− 14x − 3 Lời giải: Thử với x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4− 6x3 + 12x2− 14x + 3. Đồng nhất các hệ sốta được: a ac ad bd c 6 b bc 3 d 12 14 Xét bd= 3 với b, d  Z, b  { 1,  3}. Với b = 3 thì d = 1, hệđiều kiện trên trở thành 19 https://tailieumamnon.net/

20. a ac a c 6  2c = −14 − (−6) = −8. Do đó c = −4, a = −2. 8 3c 14 Vậy x4− 6x3 + 12x2− 14x + 3 = (x2− 2x + 3)(x2− 4x + 1). 3.5. Phương pháp xét giá trị riêng: Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thểđể xác định các nhân tử còn lại. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y). Lời giải: Thay x bởi y thì P = y2(y - z) + y2(z- y)= 0. Như vậy P chứa thừa số (x- y) Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vịvòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x –y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z –x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z –x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) Suy ra k = 1. Vậy P = – (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z). 4. Các bước giải bài toán phân tích đa tử thành nhân tử: Qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng một sốví dụ ở phần trên tôi mạnh dạn đưa ra trình tự các bước giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau: Bước 1: Nhận xét bài toán nếu thấy tất cả các hạng tử có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung. Nếu tất cả các hạng tử không có nhân tử chung thì kiểm tra phương pháp 20 https://tailieumamnon.net/

21. hằng đẳng thức. Nếu không sử dụng được phương pháp hằng đẳng thức thì nhóm các số hạng để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Nếu việc nhóm các số hạng không xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạngtử… Bước 2: Tuỳ theo phần đa thức còn lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng các phương pháp như đã thực hiện ở bước 1. Một vấn đề học sinh còn rất lúng túng và mất nhiều thời gian đó là: Khi nào thì kết thúc quá trình phân tích. Do kiến thức về đa thức ở lớp 8 mới dừng ở mức độ khái niệm cơ bản, các em chưa được trang bị về đa thức bất khả quy nên: Quá trình phân tích sẽ kết thúc nếu các phân tử là các nhị thức bậc nhất, hoặc nếu là các biểu thức từ bậc hai trở lên thì chúng luôn khác 0 (hoặc lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0  x). Trên đây là các bước tiến hành giải một bài toán: phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên chỉ áp dụng đối với những đa thức đơn giản, đặc biệt chỉ sử dụng các phương pháp đã học ở lớp 8. Còn nói chung đối với các đa thức phức tạphơn sẽ được trình bày tỉ mỉ ở phần dành cho học sinh khá giỏi. III. KẾTQUẢVÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG Sau khi áp dụng bồi dưỡng các em theo đề tài này tôi thấy có kết quả rõ rệt, ở đầu năm học 2018 – 2019 đa số các em học sinh lớp 8A1 biết phân tích đa thức ra nhân tử bằng phương pháp cơ bản,một số em đãgiải được các bài toán phải sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử…Trước đây các em gặp rất nhiều khó khăn và không có hứng thú giải loại toán này, song sau khi được học theo phương pháp đã trình bày các em đã rất ham mê không những chỉ phân tích đa thức thành nhân tử mà còn nghiên cứu, thực hiện giải các bài toán liên quan. 21 https://tailieumamnon.net/

22. Cụ thể kết quảđiểmkiểm tra 15 phút về nội dung phân tích đa thức ra nhân tử ở lớp 8A1 như sau: GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH SL 11 YẾU TỔNG SỐ SL 5 TL 13.5 SL 15 TL 40.6 TL 29.7 SL 6 TL 16.2 37 Sáng kiến kinh nghiệmnày có thể áp dụng thực hiện trong tổ chuyên môn, khối 8 đồng thời làm tài liệu tham khảo ở các khối khác trong năm học tới. Sáng kiến kinh nghiệmcó nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt chương trình đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản theo yêu cầu của chương trình, có kỹ năng giải toán thành thạo là hết sức quan trọng. Việc áp dụng đề tài này cần phải có thời gian, phải được tiến hành một cách hệ thống. Do vậy hình thức tổ chức là các buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng bài tập và trình bày theo hệ thống kiến thức. Để áp dụng những kinh nghiệmđạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong quá trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập tiếp theo trong chương trình sách giáo khoa THCS. Với những kinh nghiệmnày, tôi có thể áp dụng nghiên cứu tiếp trong các năm học sau vàtựtìm tòi rút ra những kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy và học. IV. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 22 https://tailieumamnon.net/

23. CHƯƠNG III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT –KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được thực hiện suốt quá trình học tập, nó liên quan và kết hợp với các phương pháp giải các bài toán khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ toán học. Với những thao tác đơn giản, cơ bản, giúp học sinh dễ dàng nhận biết được hướng đi của lời giải bài toán, dìudắt cho các em có kĩ năng phân tích lôgic, phát huy trí tuệ của các em qua giải bài tập. Đồng thời giúp các em tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống sâu sắc, rèn luyện tính chuyên cần, chính xác, phân tích phán đoán tổng hợp, tạo hứng thú cho các em khi giải bài tập. 2. ĐỀ XUẤT –KIẾN NGHỊ 1. Đối với Phòng giáo dục: Hỗ trợ kinh phí từ các nguồn thu tạo điều kiện cho các trường ….. Cung cấp sách báo, tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh nắm bắt được nhiều hơn các thông tin ….. 2. Đối với nhà trường: Cần tạo điều kiện để cho giáo viên, học sinh được đi tham quan, học hỏi kinh nghiệm, học tập nâng cao hiểu biết về ………… 3. Đối với giáo viên trong nhà trường: Cần tích cực học hỏi nâng cao kiến thức đặc biệt là kiến thức thực tế về …tìm hiểu qua các phương tiện thông tin đại chúng, Internet; trong quá trình giảng dạy cần tích hợp kiến thức …thông qua các phần của bài. 4. Đối với học sinh: Cần tích cực học hỏi, thu nhận thông tin từ mọi phương tiện, từ thực tế làm vốn kiến thức để vận dụng vào bài học. Mặc dù kinh nghiệm thực tế của bản thân chưa nhiều nhưng qua trao đổi cùng những đồng nghiệp có kinh nghiệm, bằng việc tiếp xúc với tất cả các em tôi đã cố gắng và mạnh dạn trình bày những kinh nghiệm ít ỏi của mình trong khuôn khổ của đề tài này, chắc chắn sẽ có nhiều điều bất cập rất mong sự đóng 23 https://tailieumamnon.net/

24. góp, chỉ bảo của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp để những kinh nghiệm ít ỏi này có thể góp một phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu xã hội hiện nay. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hạ Hòa, ngày 01 tháng 10 năm 2018 Người thực hiện Đặng Thùy Dung TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 –Bùi Văn Tuyên–Nhà xuất bản Giáo dục –Xuất bản năm 2004. 2.Các phương pháp đổi mới dạy học toán –Nhà xuất bản Giáo dục. 3.“Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1-2”;Vũ Hữu Bình_ NXB Giáo Dục Việt Nam; năm 2011. 4.Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS–Phạm Phu–Nhà xuất bản Đại học sư phạm –Xuất bản năm 2005. 5.Thực hành dạy toán THCS –Nhà xuất bản Giáo dục. 6.Vở bài tập đại số 8 –Nhà xuất bản Giáo dục. 7.Sách giáo khoa đại số 8 –Nhà xuất bản Giáo dục. 8.Sách giáo viên đại số 8 –Nhà xuất bản Giáo dục. 24 https://tailieumamnon.net/

25. Ý KIẾN NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 1.CẤP TRƯỜNG: Nhận xét:……………………………………………………………………........... …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………… ………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………..…………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 25 https://tailieumamnon.net/

26. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………...……………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………. Xếp loại:…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ….………………………………………………………………………………… ..…..………………………………………………………………………………. .……..…………………………………………………………………………….. ………..………………………………………………………………………….. …………..……………………………………………………………………… ……………… Ý KIẾN NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 2.CẤP PHÒNG: Nhận xét:……………………………………………………………………...... …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 26 https://tailieumamnon.net/

27. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………… 27 https://tailieumamnon.net/