Ứng dụng kĩ năng sử dụng Máy tính cầm tay (MTCT) trong việc giải toán

1. MỤC LỤC Trang 1. Mục Lục 1 Phần I : Mở đầu 2 Phần II: Nội dung 3 1. Chương 1: Thực trạng của đề tài 3 2. Chương 2: Các biện pháp sư phạm, kết quả đạt được 3 Phần III. Kết Luận 13 Phần IV. Tài liệu tham khảo 14 1 https://topdanang.com.vn/

2. ỨNG DỤNG KĨ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) TRONG VIỆC GIẢI TOÁN PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài: Trong dạy học bộ môn ở trường trung học phổ thông (THPT) ngoài việc giúp cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức cho các em, người giáo viên còn phải giúp cho học sinh phát triển năng lực nhận thức. Đối với bộ môn Toán, kĩ năng tính toán nhanh, chậm, mức độ chính xác đều có những ảnh hưởng nhất định đến kết quả của bài toán. Ở một số bài toán, dù các bước thực hiện học sinh đều nắm và nhớ được, nhưng do kĩ năng tính toán sai nên dẫn đến kết quả không chính xác, mặc dù các bước trình bày bài giải của các em đều đúng. Vì thế, bản thân tôi nhận thấy cần phải hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay (MTCT): casio f(x) 570 MS casio f(x) 570 ES trong việc giải toán cho chính xác và nhanh. Đây chính là lí do mà tôi quan tâm đến việc “Ứng dụng kỉ năng sử dụng Máy tính cầm tay(MTCT) trong việc giải toán”. 1.2. Đối tượng nghiên cứu: Do thực tế và điều kiện thời gian nên phạm vi nghiên cứu của tôi chỉ dừng lại ở phần ứng dụng giải toán trên MTCT đối với bộ môn Giải tích lớp 11 và lớp 12. 1.3. Mục tiêu nghiên cứu: Qua nghiên cứu vấn đề này, bản thân tôi mong muốn được truyền đạt đến học sinh khả năng ứng dụng MTCT vào việc giải toán có hiệu quả hơn. Khi trình bày về vấn đề này tôi cũng rất mong được quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý nhằm tìm ra các cách giải ngắn hơn, phong phú hơn. 1.4. Nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu: Khi thực hiện đề tài này, tôi đã thực hiện các nhiệm vụ, các bước nghiên cứu sau: - Nghiên cứu các bài tập ở sách giáo khoa hiện hành,các bài tập áp dụng thi HSG Máy tính cầm tay.các phím chức năng của MTCT casio f(x) 570 MS, casio f(x) 570 ES. - Tiếp theo tôi thực hành nghiên cứu một số bài tập và thực nghiệm sử dụng MTCT để có được các kết quả chính xác. - Qua thực nghiệm, nhìn lại trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi rút ra một số kinh nghiệm làm cơ sở để tiếp tục nghiên cứu, ứng dụng MTCT casio 570 MS, casio f(x) 570 ES vào dạy học sau này. 2 https://topdanang.com.vn/

3. 1.5. Đổi mới trong quá trình nghiên cứu: Đây là một vấn đề còn mới đối với tôi, nên tôi xin được trình bày kinh nghiệm bước đầu của mình về việc ứng dụng MTCT vào giải các bài tập toán ở sách giáo khoa hiện hành và là nền tảng để giúp học sinh tự trau dồi, rèn luyện và học tập bộ môn toán có hiệu quả hơn. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành từ quý đồng nghiệp. 3 https://topdanang.com.vn/

4. PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, khi học sinh làm các bài tập học sinh thường gặp phải những khó khăn sau: 1. Học sinh thường hay tính toán sai kết quả các phép toán 2. Học sinhkhông biết kiểm tra kết quả củamột bài toán thông qua máy tính cầm tay Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC I. Biện pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản về MTCT cho học sinh - Bổ sung kiến thức cơ bản về máy tính cầm tay (MTCT) cho học sinh - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải khi sử dụng máy tính cầm tay vào giải toán. 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp... - Thao tác tư duy: phân tích, ... - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. 4. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học: Sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi sử dụng máy tính cầm tay để giải toán và kiểm tra kết quả bài toán. 4 https://topdanang.com.vn/

5. II. Nghiên cứu thực tế: Thực hiện trên MTCT casio 570 MS, casio f(x) 570 ES. 1.Ứng dụng vào việc giải phương trình, hệ phương trình: 1.1Phương trình bậc hai, bậc ba một ẩn số: Dùng chức năng có sẵn của máy tính. Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 12 0 x x − − = b) 2 3 3 2 0 x x x + − − = Giải : a. Thực hiện câu a : MODE 5 chọn số 3 Nhập hệ số a : 1 Nhập hệ số b: -1 Nhập hệ số c: -12 Ấn dấu = để được kết quả x = -3 và x = 4 b. Thực hiện câu b: MODE 5 chọn số 4 Sau đó thực hiện tương tượng câu a. * Phương trình bậc 4, bậc 5,…… phương trình lôgarit, phương trình mũ, phương trình căn thức …… Dùng chức năng lệnh shift SOLVE để dò tìm các nghiệm, có thể kết hợp với phím MODE 7 để dự đoán và tìm hết các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ 2: Giải phương trình sau kết quả lấy với 4 chữ số thập phân: a) 5 10 4 25 0 x x x x x − + − + − = Thực hiện: Nhập phương trình: X7 - X45 + 5X20 – 10X12 + 4X – 25 = 0 Ấn Shift SOLVE chọn x = 0.2 ấn = kết quả: Ấn Shift SOLVE chọn x = 1.1 ấn = kết quả: ……………………………………………. Kết quả: x1,0522; x-1,0476 b) 2 2 2 28 + + = Thực hiện: nhập 2 2 2 28 + + = ấn shift SOLVE chọn 4 x =ấn “ = ” ta được kết quả 3 kết hợp phím MODE 7 ta thấy phương trình có một nghiệm c) log( 6 7) log( 3) x x x − + = − Thực hiện : nhập log( 6 7) log( 3) x x x − + = − ấn shift SOLVE chọn 4 x =ấn “ = ” ta được kết quả 5 ấn shift SOLVE chọn giá trị x ……… kết hợp phím MODE 7 ta thấy phương trình có một nghiệm 1.2. Giải hệ phương trình:Dùng chức năng có sẵn của máy tính. 2 3 2 7 45 20 12 + − 1 1 x x x + − 1 1 x x x x = 3 2 2 x = 5 5 https://topdanang.com.vn/

6. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2tan lg 3tan lg tanx 2lg y +  Giải : a. Thực hiện: chọn hệ 3 ẩn : tanx; lgy; ( 0,24498;17,78279; 0,28768 − b. Thực hiện : chọn hệ 2 ẩn: 2. Ứng dụng vào việc tính giới hạn dãy số, tìm số hạng của dãy số, giới hạn hàm số. 2.1. Dùng chức năng phím CACL để tính giá trị của một biểu thức, tìm giới hạn của dãy số, hàm số Ví dụ 1 : Tính giới hạn của các dãy số sau: a) lim 2 1 - 3n 3 + 4n Giải: 2 2 3 1 3 X − ấn CACL chọn x = 99999999999 ấn “ = ” kết quả     − − = − z 3. y + 3 x y e =    + − = = y 3log 7log 4.3 5.3 6 1 x x a. b. + 2 2 = x y 2 z 3 e zeta có nghiệm của hệ: ) ta có nghiệm của hệ : ( ) − ;3y 1,72991; 0,8887 log x 2 + 2 n n 5n - 2 2n + 3 3 5.4 2 + b) lim c) lim n n 4 2 + X Thực hiện câu a: nhập 2 3 − 2 2n + 3 1 - 3n 2 3 Vậy: lim = - 2 Thực hiện câu b và c tương tự Kết quả: 5 và 5 2 Ví dụ 2:Tính giới hạn của các hàm số sau: a) ( lim 2 . x →− 2 3 lim . 1 x − 2 3 - 4 lim - 1 x Giải: a) Nhập ( X3– 2X) ấn CACL chọn x = -99999999 ấn “ = ” ta được kết quả là − Vậy ( lim 2 = - x →− b) Nhập 2 1 X − ấn CACL chọn x = 1.00000001 ta được kết quả là + Vậy 1 1 x − ) − 3 x x − x b) + → 1 x + x x c) 2 → 1 x ) 3  − 3 x x − X − 2 3 x  lim x → = + + 6 https://topdanang.com.vn/

7. 2 + 3X - 4 - 1 X X Thực hiện câu c: Nhập 2 ấn CACL chon x = 1.00000001 ấn “ = ” ta được kết quả là 5 2 ấn CACL chọnx = 0.9999999999 ấn “ = ” ta được kết quả là 5 2 + 2 3 - 4 - 1 5 2 x x Vậy = lim x → 2 x 1 2.3. Ứng dụng việc tìm số hạng ukcủa một dãy số un . Dùng chức năng phím nhớ và một vài lập trình nhỏ. Ví dụ 1: Cho dãy số unđược xác định bởi công thức: − + 2 n 1, n 1 n =  N u n Hãy tính u1, u10; u50 ; u100 . Giải: Thực hiện: Nhập biểu thức: 2 - 1 X sau đó ấn CACL máy hỏi X = ? X + 1 Nhập 1 ấn dấu =, ta có kết quả u1 = 1 2 Ấn CACL máy hỏi X = ? . Nhập 5 ấn dấu = , ta có kết quả u5 = 2 3 19 11 33 17 109 101 ; Thực hiện tương tự : ta được u = ; u = ; u = 10 50 100 3 2 n n Ví dụ 2: Cho dãy số (n ≥ 1) ; Sn = U1+ U2+ …+ Un.. Tính S15. U n Giải : Thực hiện: dùng chức năng phím nhớ và một vài lập trình nhỏ: 1 shift Sto A; 1 shift Sto B. Nhập Apha A Alpha = Alpha A +1 Alpha : Alpha C Alpha = (3 - 2 Alpha A ) : Alpha A Alpha : Alpha B Alpha = Alpha B + Alpha C CACL chọn A = 1, chọn B = 1 ấn = = = …… Kết quả: - 61.69640938 1; 2 1 2 3 1. Viết quy trình bấm phím tính 2. Tính 15 15 ; u S (Tổng của 15 số hạng đầu ) Giải: 1. Viết quy trình bấm phím tính Gán: 1 -> A; -2 -> B ; -1 -> C (tổng hai số hạng đầu)2 - >D (biến đếm) = = −   u u 1 2 Với Ví dụ 3: Cho dãy số :   0; n n N = − u u u + + 2 1 n n n n u ; n u ) n S (Tổng của n số hạng đầu của dãy n u ; n u ) n S (Tổng của n số hạng đầu của dãy 7 https://topdanang.com.vn/

8. D = D + 1: A = 2B -1 3A: C = C + A: D = D + 1: B = 2A - 1 3B : C = C + B. Quy trình : Gán: 1 shift sto A;-2 shift sto B ;-1 shift sto C; 2 shift sto D Alpha D alpha = alpha D + 1 alpha : alpha A alpha = 2alpha B - 1 3alpha A alpha : alpha C alpha = alpha C + alpha A alpha : alpha D alpha = alpha D +1 alpha : alpha B alpha = 2alpha A -1 3alpha B alpha : alpha C alpha = alpha C + alpha B Bấm phím = nhiều lần. 2. Tính 15 ; u S (Tổng của 15 số hạng đầu ) 5694,4751 12664,2542 S  − 3. Hoán vị - chỉnh hợp –tổ hợp –Nhị thức Niuton Ví dụ 1:Tìm số hạng lớn nhất của khai triển ( 1 + 2x)12. Thực hiện: hệ số lớn nhất Ấn MODE nhập f(x) = C 2X ấn “ = ” chọn giá trị bắt đầu 0 ấn “ = ” chọn giá trị kết thúc 12 ấn “ = ” chọn bước nhảy 1 ấn “ = ” ta dò tìm được số hạng lớn nhất của dãy là 126720. Ví dụ 2: Cho ( ) 1 2 n n n f x C C x = + 15  − u 15 15 k 12 = C 2k ka X 12 . − + + +   2 1 2 2 2 3 n 2 2 1 * n n n 3 ... ( 0; ) C x n C x x n N − 2 1 n             1 1 1 Tính tổng : = + + + ... 2013 + 2 1 2013 2 2 2013 2 3 2013 2 2013 2013 1 2 3 S C C C C 2013 2013 2013 Giải: Ta có :  (1 n  . (1 n x  (1 n  ( ) + = 2 C x C x + ... nC x + + C x + ) x + ( 1) .(1 x − + + + 0 n 2 n 2 x n n 1 n 2 n n n 2 n n n n (1 ) ... x C C x + 1) .(1 + C x − − + = + 1 n xC ( n n ) x + 1 2013 10930,2233 S  1 1 n n ) x + x = C = 2 − + = + 1 1 n 2 n 2 n n n n ) ... x ) nC x 1 C ) x − − − + + − + + + 1 2 2 1 n 2 2 n 2 1 n n n n n ... C x n C x − − 1 2 n n (1    nf x n    1 1 1 = + + +  = 2012 2011 2013(1 ) 2013.2012. (1 ) S f 2013 2013 2013 2013 Kết quả: 4. Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số: Ví dụ 1 :Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đoạn [0;3] 22 − − = 1 2x x f(x) trên 8 https://topdanang.com.vn/

9. Giải: Thực hiện như sau: ấn MODE 7 nhập hàmsố Chọn giá trị đầu start là 0 Chọn giá trị kết thúc End bằng 3 Chọn bước nhảy Step bằng 0.2 Ta tìm được [0;3] Ví dụ 2: Tính gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cẩu hàm số: 2sin cos y x x = + Giải:* ' 4sin 3sinx 2 y x = − − + * Các nghiệm: 1 2 sinx 0,5230;sinx   − * Trên đoạn: 0 ;180     Phương trình có hai nghiệm : 1 31  x * f( 7820 , 3  ; f( f ( 0 ) 1463 , 3  ; f( 180 ) - 0,3178. Max f(x)  3,7820 ; 0 0 0 ;180     Min f(x) 9536 , 0 −  ; 0 ;180     5.Dùng chức năng phím CACL để tính giátrị của hàm số tại một điểm – Tìm tiệm cận ngang –tiệm cận đứng của đồ thị hàm số : Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = 3 9 x x x − + Giải: Thực hiện: Nhập biểu thức X3– 3X2 + 9X + 10 Ấn CACL chọn x = -1 kết quả: Ấn CACL chọn x = 2 kết quả Ấn CACL chọn x = 3 kết quả Ví dụ 2:Cho hàm số y = 2x - 1 cận ngang của đồ thị hàm số. Giải: Tìm phương trình đường tiệm đứng: 1 ( ) 2 Vậy phương trình đường tiệm cận đứng là 22 − − = 1 2X X f(x) 1 4 = = max 4 khi x = 3; khi x = 1 min [0;3] trên     + 0 0 3cos 2 0 ;180 x 2 0,9560 . 0 0 = −  0 0 ' ' ' 0 ' ' ' 180 148 27 59 32 1 x x ; 2 1 1x ) 2 x )  - 0,9536 0 0 0 0 . Tính f(-1), f(2); f(3) + 3 2 10 + 3 x . Tìm phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm + + 3 1 3 1 − x x hoặc = − = + lim → ; lim → ; − 2 2 x x 1 2 − + ( ) x x 1 2 x = 9 https://topdanang.com.vn/

10. + + 3 1 1 2 3 1 1 2 x x và Tìm phương trình đường tiệm cận ngang: = = lim x →− lim x →+ − − 2 2 x x 1 2 Vậy phương trình đường tiệm cận ngang là y = + 3 X ấn CACL chọn x = 0.499999999 ấn = ta được kết Thực hiện: Nhập 2X - 1 quả: − CACL chọn x = 0.500000001 ấn = ta được kết quả + CACL chọn x = -999999999 ấn = ta được kết quả là 1 2 CACL chọn x = 9999999999 ấn = ta được kết quả 1 2 + + 1 3 x x Ví dụ 3:Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm sô = y Giải: Tập xác định   − = | 3 D 3 + R + + + 3 3 x x x x Ta có: 1; lim = − = lim x →− 1; 3 →+ x Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = -1 và y = 1 Thực hiện: Nhập 3 X + Ấn CACL chọn x = -9999999999 ấn = ta được kết quả bằng -1 Ấn CACL chọn x = 9999999999 ấn = ta được kết quả bằng 1 6. Tích phân: Dùng chức năng có sẵn tính trực tiếp. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 2 2 4 x dx −  b) + 1 X 4 − 2 + x - 6 x dx a) 0 3 4 ấn “ =”ta được kết quả: 67 − 2 Thực hiện câu b: nhập 2 + x - 6 x dx 3 7. Số phức: Thực hiện: chọn MODE 2 (chế độ số phức) Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A = (3 + 2i) + (5 + 8i) + B = 1 i 2 3 − i + + 2 3 1 (1 i) (2i) 2 i − + i C= (4-3i)+ D = + 2 i Giải: Thực hiện: MODE chọn số 2 Nhập ( 3 + 2i ) + ( 5 + 8i) ấn dấu “ = ” ta được kết quả: 8 + 10i Nhập 1 2 3 i − + 1 5 i ấn dấu “ = ” ta được kết quả: − + 13i 13 10 https://topdanang.com.vn/

11. + 1 i , ấn dấu “ = ” ta được kết quả 23 14 5i 16 5i Nhập (4-3i)+ - + 5 2 i + 2 3 (1 i) (2i) 2 i − + 32 5 ấn dấu “ = ” ta được kết quả Nhập − - 8. Bài tập áp dụng:    = + − 2 (5 xy y y 4)(4 16 x 5 19 ) + y x x y Bài 1: Giải hệ phương trình : − − + = = − = 2 2 5 x x 4 8 16 0 y log log  x y z  x + +   log log Bài 2: Giải hệ phương trình : 2 3 2 2 2 3  =   = + + + − − − 3 3 3 3 1 1 1 y z x y z x Bài 3: Giải hệ phương trình: = 3 3      + + = x 2 log log + + 8cos 4 os c z + + 5 y z 2 Bài 4: Giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình: + = = 1 4 x 2 1 y 2 − 1 x 2 log 2cos 2 y z 2 Bài 5: Cho dãy số : Cho dãy số: a1 = 2; a2 = 3; an+2 = 1 4an+1 + 1 2an, với n > 0. na ; n u ) 1. Viết quy trình bấm phím tính 2. Tính a10và tổng S10của 10 số hạng đầu tiên Bài 6: Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 3 5cos2 y x x = + trên đoạn   0; ? Bài 7:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2cos 2(cos 4 sinx + n S (Tổng của n số hạng đầu của dãy + − sinx) x x . = y − + 2 2 x 7 1 x x Bài 8.Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số = ( ) f x + + 2 4 5 x + + 2 7log 5(log ) 3log 2 6log 2 4 3 x x + x Bài 9: Tính giá trị của biểu thức = x = biết . P 3 2(log 2 ) 5 2 2 x x 4 5 2/3 + − + 2 2 x 3 6 ln 3 e x x Bài 10: Cho x = 0,2013. Tính giá trị của biểu thức = P + ln2 3 1 III.Kết quả nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán ở lớp 11a4; 12a1 như sau: 11 https://topdanang.com.vn/

12. + + = =   log log  log log 5 x y y Bài số 1: Giảihệphương trình sau: 2 3 2 2 2 3 19 x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A1 (sĩ số 36) Kết quả Phần trăm Giải kết quả đúng 33 91.7% Giải kết quả sai 3 8.3% Bài số 2:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : = − + 4 3 − 2 ( ) f x 3 2 x x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A1 (sĩ số 36) Kết quả Phần trăm Giải kết quả đúng 30 83.3% Giải kết quả sai 6 16.7% Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắcphải khi giải các phương trình; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt đượchiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm 12 https://topdanang.com.vn/

13. PHẦN III. KẾT LUẬN 1. Những bài học kinh nghiệm: Sử dụng MTCT vào việc dạy học bộ môn Toán là một trong những biện pháp tích cực đối với việc giải toán của học sinh nhầm kiểm tra kết quả đã thực hiện, và so sánh các kết quả với nhau để từ đó tìm ra cách giải đúng hơn, hoàn thiện hơn cho bài toán. Tùy theo sự hứng thú của học sinh mà giáo viên có thể tổ chức ngoại khóa để mở rộng và giúp học sinh có sự nhận thức phong phú hơn đối với các dạng bài tập có thể giải được, tìm được dựa vào MTCT. 2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: Do chưa có nhiều thời gian nghiên cứu và ứng dụng, đôi điều đúc kết trên đây chỉ là những kinh nghiệm bước đầu. Bản thân xem đây là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu và đào sâu hơn nữa. 3. Khả năng ứng dụng và triển khai: Theo tôi, khả năng ứng dụng là rất cần thiết và cũng dễ dàng thực hiện được, qua vài năm thực hiện tôi thấy học sinh rất tự tin khi tính toán kết quả bằng MTCT. Tuy nhiên, trong thực tế vẫn còn gặp đôi chút khó khăn do không phải học sinh nào cũng có MTCT casio f(x) 570 ES và tôi luôn khuyên và động viên các em nên tìm mượn MTCT của các bạn cùng lớp khác khi có tiết học toán để sử dụng. Bảo thắng, ngày 15 thắng 3 năm 2014 Người viết Hoàng Thế Vinh 13 https://topdanang.com.vn/

14. PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ban cơ bản): Tác giả Trần Văn Hạo –Vũ Tuấn –Lê Thị Thiên Hương –Nguyễn Tiến Tài –Trần Văn Ất. Nhà xuất bản giáo dục. 2.Tài liệu chuẩn kiến thức Toán 12 : Tác giả Văn Như Cương –Nhà xuất bản giáo dục 3.Sách giáo khoa giải tích 11 (Ban cơ bản): Tác giả Trần Văn Hạo –Đào Ngọc Nam –Lê Văn Tiến –Vũ Viết Yên. Nhà xuất bản giáo dục. 14 https://topdanang.com.vn/

15. 15 https://topdanang.com.vn/