1. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

1. 1. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

2. Definición de derivada y cosas alrededor: Feymann Levy-Leblond

3. ¿Qué es una ecuación diferencial? Ejemplo de ecuación diferencial ¿Qué función representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?

4. Ecuación Diferencial (ED): • es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad

5. Clasificación por tipo: • ED Ordinaria (EDO): • Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. • Ejemplos de EDOs: dy/dx + 5y = ex, • (dx/dt) + (dy/dt) = 2x + y • Una ecuación diferencial puede contener más de una variable dependiente.

6. Ecuación diferencial Parcial (EDP): Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplos:

7. En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente: dy/dx + 5y = ex Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2 Notación con primas y', y'', y'''…. y(n) Notación de subíndice ux, uy, uxx, uyy, uxy , ….

8. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación. Ejemplo: segundo orden primer orden Luego, es una ED de segundo orden.

9. Forma general de orden n EDO: Forma normal de: por ejemplo, las formas general y normal de 4xy’ + y = x, son y’ - (x – y)/4x = 0 y’ = (x – y)/4x

10. Clasificación según la linealidad: Se dice que una ODE de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n). O bien: Dos casos importantes para nosotros serán las ED lineales de primer y segundo orden.

11. Dos propiedades de una EDO: 1)y, y’, y”, … son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x.

12. Si no es lineal, es no lineal :-) Ejemplos: El coeficiente depende de y Función no lineal de y

13. Solución de una EDO Cualquier función  , definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de al ecuación en el intervalo. Intervalo de definición, intervalo de existencia, de validez o dominio de definición.

14. Ejemplo: comprobación de una solución. Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en el intervalo (－, ) (a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 Solución: (a) lado izquierdo : lado derecho, derecha = izquierda:

15. Ejemplo 2 Idem para (b) Solución: (b) Derivando en la ecuación de la derecha e igualando: Nótese que y = 0 también es la solución del ejemplo 1, llamada solución trivial.

16. Ejemplo Función vs solución y = 1/x es una función definida en (-, 0) U(0, ). Es discontinua y no diferenciable en x = 0. y = 1/x también es solución de xy’ + y = 0. Se entiende que es solución en algún intervalo que no contiene al punto x = 0.

17. Solución explícita de una EDO: la variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes. Por ejemplo, la solución es y = (x). Solución implícita de una EDO Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una función  que satisface tanto la relación como la ED en I.

18. Ejemplo: Comprobación de una solución implícita: x2+ y2= 25 es una solución implícita de dy/dx = −x/y en el intervalo -5 < x < 5. Al derivar de forma implícita respecto a x: dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), luego 2x + 2y(dy/dx) = 0 y dy/dx = -x/y. La curva solución es:

19. Familias de soluciones: Una solución que contiene una constante arbitraria representa el conjunto G(x,y) = 0 de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una familia no paramétrica de solucionesG(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

20. Solución particular: Solución libre se de parámetros arbitrarios. Por ejemplo : y = cx – x cos x es una solución de xy’ – y = x2sin x en (-, ). Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución particular.

21. Ejemplo: x = c1cos 4t x = c2 sen 4t con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO: x + 16x = 0 Podemos comprobar fácilmente que la suma x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.

22. Ejemplo: solución definida por partes. Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4 es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ). La función definida a trozoses una solución particular donde elegimos c = −1para x < 0y c = 1para x  0.

23. Ejemplo: solución definida por partes. Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4 es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ). La función definida a trozos:es una solución particular donde elegimos c = −1para x < 0 y c = 1para x  0.

24. Solución singular: Una solución que no puede obtenerse al especificar los valores de los parámetros de la familia de soluciones. Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo y = 0 también es una solución de la ED anterior. No podemos encontrar ningún valor de c para obtener al solución y = 0, así que llamamos a y = 0, solución singular.

25. Sistema de EDs: dos o más ecuaciones con las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Ejemplo de sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: dx/dt = f(t, x, y) dy/dt = g(t, x, y)

26. Problemas de Valor Inicial Encontrar la solución y(x) de una ED que además satisfaga condiciones adicionales a y(x) desconocida o a sus derivadas. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo resolver con condiciones A esto se le llama Problema de Valor Inicial. Y a las condicones se les llama: condiciones iniciales.

27. PVIs de primer y segundo orden: resolver: sujeta a: resolver: sujeta a: son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente.

28. Sabemos que y = cex es la solución de y’ = y en (-, ). Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial.Si queremos una solución que pase por (1, -2), es decir:y(1) = -2, -2 = ce, c = -2e-1.

29. Ejemplo 2 En el problema 6 de la sec. 2.2, tenemos la solución dey’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos(0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones: 1) Como función, El dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1. (Fig1.10(a)) 2) Como una solución, los intervalos de definición son (-, 1), (-1, 1), (1, ) 3) Como un problema de valor inicial, y(0) = -1, el intervalo de definición es (-1, 1). (Fig. 1.10)

30. Fig. 1.10

31. Ejemplo 3 En el ejemplo 4 de la sec. 1.1, observamos que x = c1cos 4t + c2sen 4t es una solución dex + 16x = 0Hallar una solución del siguiente PVI:x + 16x = 0, x(/2) = −2, x(/2) = 1 (4)Solución: Sustituimos x(/2) = − 2 en x = c1cos 4t + c2sen 4t, obtenemos c1 = −2. De la misma manera, a partir de x(/2) = 1obtenemos c2 = ¼.

32. Existencia y Unicidad: ¿Existe una solución del PVI? Si existe una solución, ¿es única?

33. Ejemplo 4 • Ya que y= x4/16ey = 0 satisfacen la EDdy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, Esta ED tiene al menos dos soluciones (Fig. 1.11) Fig1.11

34. TEOREMA 1.1 Existencia de una solución única Sea R la región rectangular definida por a  x  b, c  y  d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a  x  b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI (2). La geometría del Teorema 1.1 se muestra en Fig. 1.12

35. Fig. 1.12

36. Ejemplo 5 • Para la ED: dy/dx = xy1/2, la inspección de las funciones muestra que son continuas en y>0. Basándonos en el Teorema 1.1 concluimos que para cada punto (xo, yo), yo> 0 existe un intervalo centrado en xo en el cual esta ED tiene una solución única.

37. Intervalo de Existencia y Unicidad Suponiendo que y(x) es una solución del PVI (2), los siguientes conjuntos pueden no ser los mismos: • el dominio de y(x), • el intervalo de definición de y(x) como solución, • el intervalo Io de existencia y unicidad.

38. 1.3 EDs como Modelos Matemáticos • Introducción: Modelos matemáticos son descripciones matemáticas de algo. • Nivel de resolución: Se hacen unas suposiciones razonables sobre el sistema. • Los pasos del proceso de modelación son los siguientes:

39. Se expresan las suposiciones en términos de ecuaciones diferenciales Suposiciones Formulación matemática Si es necesario, Se modifican las suposiciones o se aumentan la resolución del modelo Se resuelven las EDs Se comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidos Se muestran las predicciones del modelo, Por ejemplo gráficamente Se obtiene la solución

40. Dinámica PoblacionalSi P(t) representa la población en el tiempo t, entoncesdP/dt  P ó dP/dt =kP (1)donde k es una constante de proporcionalidad, y k > 0. • Desintegración RadiactivaSi A(t) representa la cantidad de sustancia restante en el tiempo t, entoncesdA/dt A ó dA/dt = kA (2) donde k es una constante de proporcionalidad, y k < 0. Una sola ED puede servir como un modelo matemático para michos fenómenos.

41. La ley de Newton del Enfriamiento/Calentamiento Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio, entoncesdT/dt  T -Tm ó dT/dt = k(T - Tm) (3)donde k es una constante de proporcionalidad.

42. Extensión de una Enfermedad Si x(t) representa el número de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el número de personas que todavía no, entoncesdx/dt = kxy (4)donde k es una constante de proporcionalidad.Por la descripción anterior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, ydx/dt = kx(n + 1 – x) (5)

43. Reacciones Químicas Observe al siguiente reacción: CH3Cl + NaOH  CH3OH + NaCl Asumimos que X es la cantidad de CH3OH,  y  son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reacción es dx/dt = k( - x)( - x) (6)

44. Mezclas Fig. 1.19. Si A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces dA/dt = velocidad de entrada – velocidad de salida = Rentrada - Rsalida (7)Tenemos Rentrada = 6 lb/min, Rsalida = A(t)/100(lb/min), entoncesdA/dt = 6 – A/100 ódA/dt + A/100 = 6(8)

45. Fig. 1.19

46. Drenaje de un Tanque Haciendo referencia a la Fig. 1.20 y basándose en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t, (9) A partir de (9), como tenemos que V(t) = Awh, entonces: (10)

47. Fig. 1.20

48. Circuitos en Serie Fig. 1.12 a partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos: (11) donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

49. Fig. 1.21

50. Caída de los cuerpos Fig. 1.22 A parir de la 1ª Ley de Newton tenemos (12) Problema de valor inicial (13)