Kolorowanie map
Download
1 / 23

KOLOROWANIE MAP - PowerPoint PPT Presentation


  • 137 Views
  • Uploaded on

KOLOROWANIE MAP. Grafy dualne do płaskich. Dany jest 2-spójny graf płaski G . Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S . Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e , to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e ).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' KOLOROWANIE MAP' - zurina


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Grafy dualne do p askich
Grafy dualne do płaskich

  • Dany jest 2-spójny graf płaski G.

  • Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S.

  • Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e, to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e).

  • Otrzymujemy (multi)graf płaski G*, dualny do G, gdzie

  • n*=l, m*=m, l*=n


Ilustracja
Ilustracja

G i G*

e

e*


Ciany wierzcho ki
Ściany  wierzchołki

  • Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu G*.

  • I odwrotnie:

G**=G



Mapy a grafy planarne
Mapy a grafy planarne

  • Mapa to zbiór ścian 2-spójnego grafu płaskiego o δ(G)>2 (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy).

  • Kolorowanie mapy to kolorowanie (właściwe) wierzchołków grafu dualnego.

  • Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.


Hipoteza 4 kolor w historia
Hipoteza 4 kolorów - historia

H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami!

  • Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie)

  • Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait)

  • Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)


6 kolor w wystarczy
6 kolorów wystarczy!

Algorytm zachłanny:

Jeśli G jest planarny, to e(G)<3v(G), więc δ(G)<6.

Zatem


Heawood 5 kolor w wystarczy
Heawood: 5 kolorów wystarczy!

Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.

Dowód: (nie wprost, oparty na korekcie błędnego dowodu Kempe)

Niech G będzie grafem płaskim o χ(G)=6 i minimalnej liczbie wierzchołków.

Niech wierzchołek x ma stopień 5.

G-x jest 5-kolorowalny.


Dow d c d
Dowód – c.d.

  • Pomalujmy G-x 5 kolorami i spójrzmy na sąsiadów x: x_1,...,x_5 ponumerowanych cyklicznie wokół x.

  • Można przyjąć, że x_i ma kolor i, i=1,...,5

  • Niech H(i,j) –podgraf indukowany przez kolory i i j.

  • Gdyby x_1 i x_3 były w różnych składowych H(1,3), to zamieniając kolory w jednej z nich mielibyśmy tylko 4 kolory wokół x.

  • Zatem x_1 i x_3 są połączone ścieżką, podobnie x_2 i x_4 – sprzeczność z płaskością G.


Ilustracja1
Ilustracja

x_4

x_3

x

x_5

x_2

x_1

?


B d kempe
Błąd Kempe

  • Analogiczne przekolorowanie nie działa, jeśli zamiast 5 różnych kolorów, wystepują 4, (w tym jeden dwa razy).

  • Zauważył to dopiero Heawood.


Appel haken koch idea
Appel, Haken, Koch: idea

Idea dowodu Heawooda/Kempe:

  • Minimalny graf 6-kolorowalny G nie może zawierać wierzchołka xstopnia 5, bo 5-kolorowanie G-x można by rozszerzyć na G.

  • Każdy graf planarny zawiera taki wierzchołek.


Konfiguracje
Konfiguracje

  • Konfiguracja jest redukowalna, gdy żaden minimalny 5-chromatyczny graf płaski jej nie zawiera.

  • Zbiór konfiguracji jest nieunikniony, gdy każda triangulacja zawiera przynajmniej jedną z nich.

  • Appel i Haken znaleźli nieunikniony zbiór złożony z 1482 konfiguracji i wraz z Kochem, przy pomocy komputerów, sprawdzili, że wszystkie one są redukowalne.

  • To dowodzi H4K (dlaczego?).


Redukcja do map 3 regularnych
Redukcja do map 3-regularnych

Fakt 1.H4K jest prawdziwa wgdy każda 3-regularna mapa jest 4-kolorowalna.

Dowód: Weźmy mapę G (2-spójna, δ(G)>2).

Zastąpmy każdy wierzchołek stopnia >3 nowym krajem:


Pierwsza pr ba taita 1880
Pierwsza próba Taita 1880

Fakt 2.

H4K jest prawdziwa wgdy każdy 3-regularny i 2-spójny graf planarny ma indeks chromatyczny 3.

(Tait sądził, że potrafi udowodnić druga część tej równoważności.)


Dow d
Dowód:

Pomalujmy ściany G elementami grupy Kleina: c_0=(0,0), c_1=(1,0), c_2=(0,1), c_3=(1,1) z dodawaniem mod 2.

Każdej krawędzi przypiszmy kolor będący sumą kolorów ścian, które rozdziela.

Ta suma nigdy nie będzie równa c_0.

Dla 3 różnych indeksów i,j,k z {0,1,2,3}

sumy c_i+c_j,c_i+c_k,c_j+c_k są parami różne . 


Ilustracja2
Ilustracja

c_i+c_j

c_i

c_j

c_i+c_k

c_j+c_k

c_k


Dow d1
Dowód

  • Malujemy krawędzie G niezerowymi elementami grupy Kleina.

  • Jeśli C jest krzywą zamkniętą omijającą wierzchołki G, to suma kolorów krawędzi, które przecina wynosi c_0=(0,0). (ćw)

  • Dowolną ścianę S_0 malujemy kolorem c_0.

  • Do pozostałych ścian prowadzimy krzywe z S_0 i nadajemy im kolory równe sumom kolorów przecinanych krawędzi.

  • Ta definicja jest poprawna a kolorowanie właściwe (ćw). 


Ilustracja3
Ilustracja

S_0

S

c_0


Druga pr ba taita 1880
Druga próba Taita 1880

  • Mapę hamiltonowską można pomalować 4 kolorami. Dowód bezpośredni (ćw) lub korzystając z dowodu Faktu 2, bowiem

  • 3-regularnygraf hamiltonowski ma indeks chromatyczny 3.

    Hipoteza Taita (1890). Każdy 3-spójny, 3-regularny graf planarny jest hamiltonowski.

  • Z niej wynikałaby H4K, bo wystarczy ograniczyć się do map 3-regularnych (Fakt 1) oraz 3-spójnych (bez dowodu).

  • Niestety... kontrprzykład Tutte’a (1946).


ad