Diskrētā laika dinamiskas sistēmas

1. Diskrētā laika dinamiskas sistēmas

2. Diskrētā laika dinamiskas sistēmas MRn: xk+1=f(xk) ^ Definīcija Punktu x0, kuram x0=f(x0), sauc par sistēmas ^ stacionāru punktu. Trajektoriju x0, x1, ..., xN-1, kurai eksistē tāds N, ka xN=x0, bet k<N xkx0, sauc par periodisku trajektoriju jeb orbītu ar periodu N. Piezīme. Punkts x pieder periodiskai orbītai ar periodu N, ja x ir attēlojuma stacionārs punkts.

3. Definīcija.Stacionāro punktu x0 sauc par stabilu, ja >0 >0: d(x0;x0)<d(xk;x0)<kN. Definīcija.Ja x0 ir stabils stacionārais punkts un bez tam x0 sauc par asimptotiski stabilu stacionāro punktu. Definīcija Periodisku orbītu ar periodu N sauc par stabilu (asimptotiski stabilu), ja katrs tās punkts ir attēlojuma f N stabils (asimptotiski stabils) stacionārs punkts.

4. Stacionārā punkta stabilitāte atkarībā no atvasinājuma vērtības, n=1

5. Periodiskā atrisinājuma stabilitātei Zīmējumā a) redzams, kā iterāciju virknes punkti attālinās no nestabilā stacionārā punkta un tuvojas stabilajai divu punktu x0,x1 veidotajai orbītai. Zīmējumā b) ir attēlojuma f(f) grafiks, x0 un x1 ir otrās iterācijas stabili stacionārie punkti, redzama iterāciju virknes konverģence uz punktu x1

6. Teorēma Pieņemsim, ka x0 ir ^ stacionārs punkts, bet 1,.., n ir Jakobi matricas īpašvērtības. Ja: 1) j<1, punkts x0 ir asimptotiski stabils; 2) k: k>1,x0 ir nestabils. Teorēma.Sistēmas ^ slēgtā trajektorija x0, x1, x2, ..., xN-1 ir asimptotiski stabila, ja kādā tās punktā Jakobi matricas visas īpašvērtības j ir pēc moduļa mazākas par 1. Ja turpretī k: k>1kaut vienā slēgtās trajektorijas punktā, tad šī trajektorija ir nestabila.

8. Piemērs Tirgus modelis. • Situācija, kas raksturīga, piemēram, lauksaimniecības preču pārdošanai: ražotājam produkcijas apjoms (sēja) jānosaka veselu laika periodu pirms reālās pārdošanas. Tādā gadījumā produkcijas apjomu nosaka pēc cenas iepriekšējā sezonā. Apzīmēsim ar Qsk piedāvājumu, Qdk pieprasījumu un Pk cenu k-tajā sezonā. Pieprasījums ir atkarīgs no cenas esošajā brīdī, tāpēc dabūjam: • Qdk=a-bPk • Qsk=-g+dPk-1 • Pieņemot, ka pieprasījums un piedāvājums ir līdzsvarā,iegūstam:

9. a-bPk=-g+dPk-1 jeb Šo lineāro vienādojumu var atrisināt Cenas līdzsvara stāvoklis Tā kā vienīgā īpašvērtība ir negatīva , cena visu laiku svārstās ap līdzsvara stāvokli.

10. Ja , līdzsvara stāvoklis ir stabils, cena oscilējot tiecas uz . ,līdzsvars ir nestabīls, cena oscilējot attālinās no . cena vienmērīgi svārstās ap līdzsvara stāvokli, veidojas cikli

11. a)           Tirgus modelis ar inventarizāciju. Pieņemsim, ka preces cenu nosaka pārdevējs katrā laika periodā, nevis, pieprasot vienkārši tirgus attīrīšanu, kā iepriekšējā modelī, bet, skatoties pēc izveidojušās situācijas, – ja ir preču pārpalikums, cena jānosaka zemāka, un otrādi, iztrūkuma gadījumā cenu var paaugstināt. Vienkāršotā situācijā uzskatīsim, ka cenu izmaiņas ir apgriezti proporcionālas izmaiņām uzkrājumā Pk+1=Pk-s(Qsk-Qdk) Tas pats līdzsvara stāvoklis, stabilitāti un cenas izturēšanās tipu raksturo īpšvērtība

12. 0<l<1 monotoni tiecas uz līdzsvara stāvokli l=0 līdzsvarā tiecas uz līdzsvara stāvokli oscilējot -1<l<0 l=-1 vienmērīgi oscilē, cikli l<-1 oscilējot attālinās no līdzsvara, nestabilitāte

13. a)           Tirgus modelis ar cenu “griestiem”. Pieņemsim, ka cenai ir noteikti “griesti” – augstākā P* un zemākā P* vērtības, kuras cena nedrīkst pārsniegt. griesti cenas izturēšanos reāli neietekmē, ja tikai P*<P0<P*. cena attālinās no P0, taču pēc nedaudz soļiem tā sasniedz maksimālo un minimālo vērtības, un tālākās cenas izmaiņas norit cikliski

14. Piemērs Fibonači skaitļi (trušu populācijas vairošanās, x- jaunie, y – vecie īpatņu pāri) Vai Sistēmas matrica īpašvērtības Stacionārais punkts (0;0) nestabils, populācija neierobežoti aug.

15. Bernulli pārbīde

16. Īpašības: • Ir divi stacionārie punkti Šie stacionārie punkti veido attēlojuma periodiskas orbītas ar periodu N vai mazāku. 3. Tā kā neviens stacionārais punkts un neviena periodiskā orbīta nav stabili. Ja binārā pierakstā attēlojums f iedarbojas, svītrojot pirmo ciparu un pārējos pārbīdot par vienu pozīciju pa kreisi

17. Secinājumi. Ja skaitļa x binārais attēlojums ir stingri periodisks ar mazāko periodu N, šis skaitlis pieder orbītai ar periodu N. Starta punktus, kuru binārie attēlojumi ir periodiski, sākot no kādas vietas, pievelk nestabilās periodiskās orbītas. Šādi ir visi racionālie skaitļi. Piemērs

18. Iracionāli starta punkti? Var pierādīt : gandrīz katra iracionālā skaitļa binārais attēlojums bezgalīgi daudzas reizes satur katru galīgu skaitļu 0 un 1 virkni. Tātad: katru duālo intervālu iracionālā skaitļa iterācijas sasniedz bezgalīgi daudzas reizes. Līdz ar to katra tipiska trajektorija haotiski klejo pa visu intervālu [0,1]. Attēlojuma f topoloģiskā iedarbība: intervāls tiek izstiepts, pārgriezts, saliktas daļas kopā, stiepts atkal utt. Ja diviem starta punktiem sākotnēji sakrīt m pirmie cipari, pēc m iterācijām tiem nav vairs nekā kopīga.

19. Diskrētā laika vienādojumu bifurkācijas. Diskrētā laika vienādojumu stacionārie punkti var zaudēt stabilitāti, ja linearizētā vienādojuma matricai ir īpašvērtības, kurām Gadījumi, kad īpašvērtības ir reālas l=1 vai l=-1. Bifurkāciju pamattipi l=1 10. pieskares tipa bifurkācija, ja f(x,m)=m+x-x2; 20. kamertoņa bifurkācija f(x,m)=mx+x-x3; 30. transkritiskā bifurkācija f(x,m)=mx+x-x2.

21. Ja l=-1, funkcijas f normālforma bifurkācijas vērtības m=0 apkārtnē ir f(x,m)=-(m+1)x+x2, jauni stacionāri punkti bifurkācijas rezultātā vienādojumā neveidojas, esošais stacionārais punkts, parametram ejot caur m=0, zaudē stabilitāti, taču bifurkācija notiek otrajā iterācijā – otrai iterācijai veidojas divi stabili stacionāri punkti, tātad vienādojumam veidojas stabila divu punktu orbīta. Zīmējumā redzama funkciju fun f(f) grafiku krustošanās ar bisektrisi attiecīgi m<0, m=0, m>0, tātad jaunu stacionāro punktu veidošanās otrajai iterācijai.

23. ƒ: x → x2 + c.

24. Bifurkācija c > ¼ c = ¼ −¾ < c < ¼

25. c=-0.75, 1000 iterācijas c=-13/16, 2 punktu orbita

26. C=-1.3, 4 punktu periods c=-1.4015 periods 32

27. c=-1.8

28. Bifurkāciju diagramma

29. Bifurkāciju diagramma f(x)=csinx

30. Telts attēlojums

31. Paraboliskais attēlojums xk+1=xk(1-xk) f(x):=x(1-x) [0;4], f:[0;1][0;1] ir stacionārs punkts x01=0 x01 ir stabils [0;1[, jo f’(0)=, bet nestabils ]1;4]. =1 notiek bifurkācija >1, vienādojumam ir arī stacionārs punkts x02=1--1. f’(x02)=2-,]1;3] x02 ir stabils ]3;4] arī x02ir nestabils

32. =3 nākošā bifurkācija >3, kad abi stacionārie punkti ir nestabili, vienādojumam ir stabila orbīta ar periodu 2, ko atrodam no attēlojuma f2 stacionārajiem punktiem. f 2(x)=f(f(x))= 2(1-x)(1-x(1-x)) un vienādojumam f 2(x)=x bezx=0 un x02ir saknes Lai pārbaudītu punktu x03, x04 veidotās orbītas stabilitāti: (f 2(x03) =(f(f(x03)) =f’(f(x03)) f(x03)= =f ’(x03)f’(x04)= (f 2(x04) =2(1-2x03)(1-2x04)=4-2+2

34. (f 2(x03) <1 , ja divu punktu orbīta zaudē stabilitāti, bet tās vietā veidojas stabila orbīta ar periodu 4

35. Periodu dubultošanās process ir bezgalīgs līdz parametra vērtībai =3.5699..., pie kuras stabīlā orbīta ir ar bezgalīgu periodu. ir haotiskās kustības apgabals. Feigenbaums 1978. gadā pierādīja, ka parametra vērtību mvirkne, pie kurām notiek perioda dubultošanās, apmierina vienkāršu likumu  sauc par Feigenbauma konstanti. Šī pati periodu dubultošanās aina ir raksturīga arī daudziem citiem attēlojumiem. Konkrēti Feigenbaums pamatoja, ka visiem 3 reizes nepārtraukti diferencējamiem intervāla [0;1] attēlojumiem f sevī, kuriem šai intervālā ir viens maksimums un kuru Švarca atvasinājums intervālā [0;1] saglabā negatīvas vērtības, notiek vienādojuma atrisinājuma periodu dubultošanās pēc šī likuma.

36. “Logs”

37. Eilera metode! xn+1=xn+hxn(a-bxn)=xn(1+ha-hbxn) Definējam: Eilera metodes definētā virkne konverģē uz stabilo stacionāro atrisinājumu

38. skaitliskā metode ir nestabila, h palielinoties, ar Eilera metodi iegūtajām vērtībām vairs nav nekā kopīga ar meklējamo atrisinājumu.

39. Arnolda attēlojums Aplūko sistēmu ik pēc diviem periodiem, pieņemot, ka īpatņu kopskaits ir fiksēts, neierobežots pieaugums nav iespējams. Matrica Sistēma Īpašvērtības Vektora u1 virzienā vienības kvadrāts tiek stiepts, u2 virzienā saspiests.

40. Sistēmai ir bezgalīgi daudz nestabilu slēgtu trajektoriju. Tā kā punkts (x,y) pieder slēgtai orbītai ar periodu N, ja Pieņemam, ka sākuma punkts Jāmeklē tādi veseli skaitļi n,m (ja eksistē), kuriem

41. Mēģinājumu un indukcijas rezultātā var iegūt: Līdz ar to meklējamais periodiskais atrisinājums l=1,2,...

42. Līdz ar to katram N=3,4,5,... (un arī N=2) eksistē periodiska orbīta ar periodu N. Orbītu ar sākuma punktu veido punkti Var pierādīt, ka punkts (x,y) pieder periodiskai orbītai, ja x un y ir racionāli skaitļi ar vienādiem saucējiem

43. Piemērs. Ekonomiskā haosa veidošanās. • kt- produktivitātes koeficients laikā t (kapitāla attiecība pret ieguldīto darbu) • Pieņēmums - produkcijas funkcija ir homogēnā Cobb-Douglas formā B,b>0. • h- patēriņa funkcija • - iedzīvotāju skaita augšanas ātrums Kapitāla uzkrāšanas dinamiku var raksturot sakarība

44. Ja uzskata, ka patēriņš ir proporcionāls kopīgajai produkcijai, bet sabiedrībai tomēr ir konstanta taupības tieksme s, var pieņemt Tātad: Ja ekonomika attīstās pēc šāda modeļa, produktivitātes koeficients ktkonverģē uz konstantu vērtību

45. Ja produkcijas pieauguma funkcijai f ir uzlikts ierobežojums , g>0 produkcijas apjoms strauji krītas, tātad pārmērīga kapitāla koncentrācija nelabvēlīgi ietekmē ražošanu. Ievērojot *, var pieņemt Mazām A un k0 vērtībām pieaugums ir monotons, kttiecas uz stabilu līdzsvara stāvokli.

46. A vērtībām, kuras apmierina nosacījumus vienādojumā notiek perioda dubultošanās bifurkācijas. A>A*, kur A* ir tā Avērtība, kurai nevienādības labajā pusē izpildās vienādības zīme, ir intervāli, kuros vienādojums ** apraksta haotisku attīstību.

47. Piemērs Ar x apzīmēsim kādas sugas īpatņu (saimnieku) skaitu, ar y šīs sugas kaitēkļu vai parazītu skaitu. Ja y parazīti var izdēt F oliņas, vidēji uz katra no x saimniekiem atradīsies oliņas. Ja pieņemam, ka parazīti dēj oliņas pilnīgi patvaļīgi - gadījuma veidā, tad varbūtība P(0) tam, ka saimnieks nav inficēts ar oliņām, ir Abu sugu skaitliskos lielumus laika momentā k+1 apraksta sakarības b ir katra izdzīvojušā saimnieka vidējais pēcnācēju skaits un tiek uzskatīts, ka uz katra saimnieka attīstās tikai viena parazīta oliņa.

48. “parazīta spēja meklēt saimnieku” xk+1=bxkexp(-ayk) yk+1=xk (1- exp(-ayk)) Stacionārais punkts (0,0) ir asimptotiski stabils, ja b<1 (ja saimnieka sugas vairošanās ātrums ir tik mazs, abas sugas iznīkst), bet b>1 šis punkts kļūst nestabils. Otrs stacionārais punktseksistē b>1: nestabils, abu populāciju vērtības attālinās no šī punkta, pie kam xk, yk0, ja k.

49. > (x,y)->(1.2*x*exp(-0.015*y),x*(1-exp(-0.015*y)))

50. Piemērs. Divu paaudžu populāciju vairošanās uzdevums. Vispārinājums. Vispārinot sistēmu (sl.1), ars apzīmējot jauno īpatņu dzimstības ātruma koeficientu, ar b1 un b2 attiecīgi paaudžu vairošanās ātruma koeficientus, dabū: xk+1=b1xk+b2yk yk+1=sxk. Koeficienti b1 un b2 var nebūt konstanti, tie ir atkarīgi no sugas īpatņu kopskaita attiecīgajā sezonāN=xk+yk. Pieņemsim b1(N)=b2(N)=bexp(-N), kur  un b ir pozitīvas konstantes.