Presentation Transcript

1. Analiza wrażliwości oraz dualność

   Wykład z Badań Operacyjnych
2. Tropikalnebłyszczyki do ust– Jessica Simpson i Urban Chic Boutique Dear Students of DMBO class at WSE, My name is Jessica Simpson. I have been going through some tough times recently and am having a real problem with one of my cosmetic lines. The info for the line is on the next page. Recently though costs are changing based on market demand in addition to highly fluctuating resource costs. My problem is this we currently have an LP that we solve to find the optimal amount to produce of each product. However, every time a parameter changes, I am always forced to resolve the LP and this takes too long. I was hoping you guys could find a better way. Lately I have just been out of it. For example, Nick and I decided to split our Hummer in half, and now I need to buy a new one. Oh yeah, about the LP it seems to have been misplaced when I was moving out of my Malibu house. Please Help! -Jessica http://www.urbanchic-boutique.com/dhop/jessica-simpson-dessert-treats/jessica-simpson-tropical-treats-kissable-lip-shine/prod_89.html
3. Dane do problemu Jessica sprzedaje 4 rodzajebłyszczyka do ust. Dokładnie 950 sztukwszystkichmusibyćwyprodukowane Kliencidomagająsięprzynajmniej 400 sztukbłyszczyka Mango Dostępnymateriał ≤ 4600 Dostępnapraca≤ 5000
4. ZadanieprogramowaniaLiniowego Ilośćwyprodukowanegobłyszczyka: X1: brzoskwiniowy X2: ananasowy X3: pomarańczowy X4: mango max
5. Rezultat Co możesięzmienićw modelu?: Cenyproduktów Kosztymateriałów Ilośćdostępnychmateriałów Mogązostaćwprowadzonenoweprodukty Pytanie: Jakmogęstwierdzić, czymojerozwiązanie jest ciągleoptymalnepozmianie?
6. Raportwrażliwości Czypowinienwyglądaćtak?
7. Głównebłędy Brakzaznaczenia “model liniowy” (lub “Simplex LP”) Brakzaznaczenia “przyjmijnieujemne” Zakładamynarazie, żeniemamy do czynieniazezdegenerowanymrozwiązaniem
8. Właściwyraportwrażliwości
9. Problem 1: zmianawspółczynnikafunkcjiceluprzyzmiennejbazowej “Hi guys I was at the market and noticed the price of ananaswent up by 50 cents. That means if I raise the price of the ananaslip shine by 50 cents I will make more money. Right?” Jessica Rozwiązanie: Sprawdź, czyzmianawspółczynnikafunkcjicelu jest w zakresiedopuszczalnejzmiany W naszymprzykładziemieścisię: 50 c < 66.66 c (allowable increase) Jeślitak, to optymalnerozwiązaniebazowe(optimal basic feasible solution) sięniezmieni. Obliczzmianęzysku. W naszymprzykładziezmianazysku to 0.5*$400 = $200 Ćwiczenie: Przypuśćmy, żecenabrzoskwniniwzrosła o 60 c. Jakie jest nowerozwiązanie i zmianazysku?
10. Problem 2: Zmianawspółczynnikafunkcjiceluprzyzmiennejniebazowej “Hello Class, I went to the store to buy some of my peach gloss and found out none of it was being produced because it wasn’t profitable. What should I charge to make them in the optimal mix?”, Jessica Musimyspojrzećna “reduced cost”: Jeśli “reduced cost” przyzmiennej xiwynosi –ri, znaczy to, żezwiększenie “kosztu” przytejzmiennej o ridoprowadzi do optymalnejbazy, którabędziezawierać xi. W naszymprzykładziemusimyzwiększyćcenęprzynajmniej o $1 (do $5) zanim x1znajdziesię w optymalnejbazie
11. Problem 2 – pytaniakontrolne Co sięstaniejeślipodniesiemycenębrzoskwiniowegobłyszczyka do $5? Bedziemyobojętnipomiędzywłączeniemtegobłyszczyka do bazy – będziewięcwielerozwiązańoptymalnych Co to jest “reduced cost” zmiennejbazowej? Dlaproblemówmaksymalizacjikosztytesąniedodatnie. Mówiąnam, jakmocnotrzebapodnieśćcenęproduktu, abysięopłacało go produkować. Poniżej jest tabelka simplex optymalnegorozwiązania. Jaki jest “reduced cost” zmiennej c? “Reduced cost” przyzmiennej c wynosi -2.
12. Problem 3: Zmianawspółczynnikaprawejstronyograniczenia “Uggh! You won’t believe this. After seeing me on Newlyweds, MTV decided it would be profitable to make a reality show where instead of having 4600 of raw materials, I have only 4499 .What should I do (that is, what happens to the optimal solution)?”, Jessica z pomocądoradcy Rozwiązanie: Sprawdź, czyzmianawspółczynnikaprawejstronyograniczeń jest w zakresiedopuszczalnejzmiany W naszymprzykładzie 101<150, więcsięmieści Jeślitak, optymalnabazasięniezmieni, ale wartościzmiennychbazowychsięzmienią. Możemywykorzystać “shadow price” ograniczenia, abypoliczyćzmianęoptymlanejwartościfunkcjicelu “Shadow price” przyograniczeniumateriałowymwynosi 1. Zatemzmianaoptymalnejwartościfunkcjiceluwynosi -101*1=-101
13. Pytaniakontrolne Jaka jest zmianaoptymalnejwartościfunkcjicelujeślidostępnailośćgodzinpracywynosi 4800? Mieścisię w dopuszczalnymzakresiezmiany, bazapozostajeniezmieniona. “Shadow price” wynosi 0, zatemzmianawartościfunkcjiceluwynosi 0 Co możnapowiedzieć o “shadow price” ograniczenia “≥”? A co o ograniczeniutypu “=”? Ograniczenie “≥” zawsze ma niedodatnią “shadow price”. Intuicyjnie, podniesienieprawejstrony, bardziejograniczazbiórdopuszczalny. O ograniczeniu “=” nicniemożnapowiedzieć. “Shadow price” możebyćdodatnia, ujemnalub zero.
14. Problem 4: Zakupnowychzasobów “Guys, My sister Ashleejust lost her recording contract. I know, it’s shocking. Anyway, she needs a job; she is willing to work for 1 hour. She also said she could convert her unit of talent into a unit of raw material, whatever that means. What is the most I should pay for the unit of raw materials and for her?”, Jessica Rozwiązanie: Obie możliwezmianysą w zakresiedopuszczalnychzmian “Shadow price” ograniczeniamateriałowegowynosi 1, zatemzyskwzrósłby o $1, gdybyśmysięzgodzili “Shadow price” ograniczeniapracywynosi 0, więczatrudnienie Ashley nicnie da.
15. Problem 5: wprowadzenienowegoproduktu “Hey Yall, I just got the best idea for a new flavor of Lip Gloss called Limonette. To make some, 8 units of raw material are needed and 7 hours of labor are needed. If I sell it for $7, will any be produced?”, Jessica Rozwiązanie: Sprawdź, czyzmianaprawejstrony jest w zakresiedopuszczalnejzmiany. Oblicz “reduced cost” wgwzoru: Jeślijest nieujemny, wtedyprodukujemy W naszymprzykładzie: 7-(3)(1)+(2)(0)-(1)(8)-(0)(7)=-4 Problem kontrolny: Jakamusiałabybyćcena, abysięopłacałoprodukować? Odpowiedź: 11
16. Bo mango niechodzinam o mango “reduced cost”: 7 - [ 3 * 1 – 2 * 0 + 1 * 8 + 0 * 7 ] = -4 Bo chcemydodatkowąjednostkęłącznie
17. Problem 6: Parametry “Guys, what would a graph of the optimal objective value look like that used the amount of available raw materials as aparameter?” Na pewnonie Jessica Simpson Rozwiązanie: W zakresiedopuszczalnejzmiany, tj. w przedziale(4450,4850) zysk jest funkcjąliniowązasobówmateriałowych z nachyleniemrównymwysokości “shadow price”, czyli 1 Następnienależyobliczyćponownie problem dlazasobówmateriałowychrównychnp. 4449, dopuszczalnyspadekwynosiwówczas 549, a “shadow price” wynosi 2. Następnieobliczamyproblem dlazasobówmateriałowychrównychnp. 3899. Nie ma rozwiązaniadopuszczalnego. I nakoniecliczymydla 4851. Dopuszczalnywzrostwynosi 399 a “shadow price” wynosi 0. W poszczególnychprzedziałachfunkcja jest liniowa, wgogólnejregułybędzie to funkcjawklęsła
18. Funkcjazysku w zależności od zasobówmateriałowych
19. Problem pakowaniaplecaka – ilustracjadualności Złodziejnapadanamagazyn z plecakiem. Plecakniemożebyćzbytciężki, bozłodziej go nieuniesie. W magazynieznajdujesiędużodobrzepodzielnychtowarównp. złoto, srebro, pyłdiamentowy. Złodziejchcezapełnićplecaknajbardziejcennymitowarami. Jakzdecydujeco wziąć do plecaka?
20. Model Parametry: W – maksymalnawagaplecaka N – ilośćtowarów w magazynie wi – waga dobra i vi – wartość dobra i Zmiennedecyzyjne: xi – jakdużotowaru i włożyć do plecaka (udziałcałościtego co jest w magazynie) Funkcjacelu: Maksymalizujwartośćtowarów Ograniczenia: (a) Złodziejniemożewziąćwięcejdanegotowaruniż jest w magazynie. Złodziejnieuniesiewięcejniżplecak i siłypozwolą. Złodziejniemożeukraśćujemnejilościtowarów (jeśli jest złodziejem)
21. Model Problem możnazatemsformułowaćjako ZPL: Max
22. Przykładproblemuprymalnego: Problem złodzieja Podstawmy N=3, W=4, w=(2,3,4) i v=(5,20,3) złoto, diamenty i srebro. max p.w. Rozwiązanieproblemuzłodzieja: (x1,x2,x3)=(0.5, 1, 0) Wartośćfunkcjicelu: 22.5
23. Analiza Tylkojedentowar (złoto) jest wybrany w częściułamkowej. Jest to ogólnazasada w problemach z pakowaniemplecaka z N towarami. Intuicja: Optymalnerozwiązanie w tymprzykładzie jest jednoznaczne. Abyjednoznaczniewyznaczyć3 niewiadome, potrzebujemy 3 równanialiniowe. Czyliprzynajmniej 3 naszeograniczeniamusząbyćspełnionew postacirówności. Jednoograniczenie to wagaplecaka, ale pozostałedwadotycząilościtowarów 0≤xi≤1. Zatemtylkojedentowarmożebyćwybrany w postaciułamkowej w optimum.
24. Syndykwykupujezłodzieja Przypuśćmy, żesyndykatprzestępczychcewykupićskradzionetowary od złodzieja. Proponująceny y1zazłoto, y2zadiamenty, y3zasrebrooraz y4za kilogram plecaka. Ale złodziejmożeużyć 2 kilogramypojemnościplecaka i całeswojezłoto, abywygenerowaćzysk 5 jednostek, czyli 2y4+y1powinnowynosićprzynajmniej 5. Podobnie w przypadkupozostałychtowarów. Syndykatchciałbyzminimalizowaćcałkowitącenę, którąpłacizłodziejowi y1+y2+y3+4y4 Cenypowinnybyćnieujemne, inaczejzłodziejniesprzedatowarów i plecaka.
25. Przykładproblemudualnego: Problem syndyka Problem syndykamożnazatemprzedstawićnastępująco: min p.w. Rozwiązanieproblemusyndyka: (y1,y2,y3,y4)=(0,12.5,0,2.5) Optymalnawartośćfunkcjicelu: 22.5
26. Rozwiązanieproblemusyndyka: (y1,y2,y3,y4)=(0,12.5,0,2.5) cenydualne Optymalnawartośćfunkcjicelu: 22.5 Rozwiązanieproblemuzłodzieja: (x1,x2,x3)=(0.5, 1, 0) Optymalnawartośćfunkcjicelu: 22.5
27. Rozwiązanieproblemusyndyka: (y1,y2,y3,y4)=(0,12.5,0,2.5) cenydualne Optymalnawartośćfunkcjicelu: 22.5 Rozwiązanieproblemuzłodzieja: (x1,x2,x3)=(0.5, 1, 0) Optymalnawartośćfunkcjicelu: 22.5