Kadir Has Anadolu Lisesi Sunar

1. Kadir Has Anadolu Lisesi Sunar L3UGKAB1001

2. UZAY GEOMETRİ BÖLÜM-1- L3UGKAB1001 2

3. İçinde yaşadığımız evren uzay olarak biliniyor.Bu nedenle bütün noktaların kümesine uzay denir L3UGKAB1001

4. Uzay geometri de kullandığımız terimler... ve genel açıklamalar... L3UGKAB1001

5. Genel Açıklamalar:1 1-Aksiyom:Doğruluğunu ispatlamadan kabul ettiğimiz önerme 2-Teorem:İspatlanması gereken önermeler 3-Çokgensel Bölge: Bir çokgen ile içinin birleşimi 4-Boyut:Geometrik olarak uzunluk,alan ve hacim fikrini yaratan kavram.Noktaya sıfır boyutlu, doğruya bir boyutlu, düzleme iki boyutlu, cisme de üç boyutlu denir. L3UGKAB1001

6. Genel Açıklamalar:2 D’ C’ d2 . K A’ B’ . . F N . M E L P D C 1-Doğrusal olmayan K,L,M noktaları P düzlemi içindedir B A d1 2-K,N,M noktaları doğrusaldır. 3-A,B,C noktaları ile A’,B’,C’ noktaları aynı düzlemde değildir. 4-A,B,C,F noktaları düzlemsel değildir. 5-F noktası E düzlemi içinde değildir. 6-d1 doğrusu E düzlemi içinde dir. d1 E dir. 7-d2 doğrusu E düzlemi içinde değildir. d1 E dir. L3UGKAB1001

7. TANIM Elemanları bir düzlem içinde bulunan geometrik şekillerin özelliklerini inceleyen geometriye düzlem geometri denir. Elemanlarının tümü aynı düzlemde bulunmayan geometrik şekil ve cisimlerin özelliklerini inceleyengeometriye uzay geometri denir. L3UGKAB1001

8. AKSİYOM 1-Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer A B . . . K Bir noktadan ise sonsuz sayıda doğru geçer... L3UGKAB1001

9. AKSİYOM 2-Uzayda bir doğru üzerinde bulunmayan farklı üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer. . A B . C . P Not:Düzlemlerin hiç kalınlığı yoktur.Uzunluk ve genişlik olmak üzere iki boyutu vardır ve bir düzlemde en az 3 nokta bulunur. L3UGKAB1001

10. AKSİYOM 3-Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemin üzerindeyse,bu doğrunun bütün noktaları da bu düzlem üzerindedir. d A B . . d A L3UGKAB1001

11. TEOREM Uzayda bir doğru ile dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer. C. A B . . d L3UGKAB1001

12. TEOREM Uzayda kesişen farklı iki doğrudan bir ve yalnız bir düzlem geçer. A Q L3UGKAB1001

13. TEOREM Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bir de ortak doğruları vardır. P A Q L3UGKAB1001

14. TEOREM 1-Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir. 2-Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bu iki düzlemin yalnız bir ortak doğrusu vardır L3UGKAB1001

15. Düzlem Ayırma Aksiyomu..... L3UGKAB1001

16. AKSİYOM Bir d doğrusu,bir P düzleminin alt kümesi (d P) ise d doğrusu P düzleminin d doğrusu dışındaki noktalarını iki bölgeye (İki yarı düzleme) ayırır d P ve A P1, B P2 ise AB doğru parçası d doğrusunu keser P1 P2 =  dir. P2 d P1 P2 d = P dir B A P1 P Tanım:Bir nokta kümesinin her farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasının tüm noktaları,bu nokta kümesi içinde kalıyorsa,bu nokta kümesine konveks ya da dış bükey nokta kümesi denir. L3UGKAB1001

17. Uzay Ayırma Aksiyomu..... L3UGKAB1001

18. AKSİYOM Bir P düzlemi,uzayın P düzlemi dışındaki noktalarını iki bölgeye (iki yarı uzaya) ayırır 2 1 P L3UGKAB1001

19. Düzlemde verilen iki doğrunun birbirlerine göre konumları....... L3UGKAB1001

20. 1-Ortak iki noktaları varsa: d1 B A . . d2 Ortak iki noktaları varsa d1 ile d2 doğruları çakışıktır. d1  d2= d1 = d2 L3UGKAB1001

21. 2-Ortak bir noktası varsa d1 A . d2 Ortak bir noktası varsa d1 ile d2 doğruları bir noktada kesişir.d1  d2= { A } L3UGKAB1001

22. 3-Ortak noktaları yoksa d1 d2 Ortak bir noktası yoksa d1 ile d2 doğruları paraleldir. d1  d2= ise d1 / /d2 L3UGKAB1001

23. Uzayda verilen iki doğrunun birbirlerine göre konumları..... L3UGKAB1001

24. Uzayda verilen iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa 1-Birbirleriyle çakışık olabilir, 2-Birbirine paralel olabilir, 3-Biri diğerini kesebilir. 4-Aynı düzlemde bulunmuyorlarsa: d1 Tanım:Düzlemsel olmayan doğrulara Aykırı doğrular denir d2 L3UGKAB1001

25. ÖRNEK: Bir dikdörtgenler prizmasında aykırı doğruları gösterelim D’ C’ Siz de sınıfınızda: a: Kesişen doğrular b: Paralel doğrular c: Aykırı doğruları gösteriniz. d1 A’ B’ d2 D [BC]  [B’C’] =  [BC] // [B’C’] C A [BC]  [D’C’] = ,bu ayrıtlarda aynı düzlemde değildir. B L3UGKAB1001

26. Uzayda bir doğru ile bir düzlemin birbirlerine göre durumları...... L3UGKAB1001

27. 1-d doğrusunun farklı iki noktası P düzlemi içinde olabilir. . . A B d P Bu durumda d doğrusunun her noktası,P düzlemi içinde bulunur {A,B}  d ve {A,B}  P ise P  d = d ve d  P dir L3UGKAB1001

28. 2-d doğrusunun yalnız bir noktası P düzlemi içinde olabilir. d A P P  d = {A} dır L3UGKAB1001

29. 3-d doğrusunun tüm noktaları P düzlemi dışında olabilir. . . . . . . . . . d P Bu durumda d doğrusu P düzlemine paraleldir P  d = ise d / / P dir L3UGKAB1001

30. Uzayda iki düzlemin birbirlerine göre durumları...... L3UGKAB1001

31. 1-P ve E düzlemleri çakışık olabilir. P=E P E L3UGKAB1001

32. 2-P ve E düzlemleri birbirine paralel olabilir. P E P E =  ise P// E dir L3UGKAB1001

33. 3-P ve E düzlemleri kesişebilir. B P A E P E = AB L3UGKAB1001

34. AKSİYOM Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa, bu noktadan geçen ortak bir doğruları vardır. Açıklama:Çakışık olmayan E ve P düzlemlerinin ortak bir noktaları A olsun.A noktasından geçen iki doğru d1 ve d2 olsun. d1 ve d2 doğruları üzerinde P düzleminin farklı tarafında B ve C noktaları alalım. BC doğrusunun P düzlemini kestiği nokta D ise, D noktası hem P hem de E düzlemi içinde bulunur. Öyleyse AD doğrusu her iki düzlemin ortak bir doğrusudur.Bu AD doğrusuna P ve E düzlemlerinin ara kesit doğrusu denir. d1 d2 B D A P Sonuçlar: 1-Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır. 2-Farklı iki düzlem kesişiyorsa bu düzlemlerin ara kesiti bir doğrudur. 3-Farklı iki düzlemin ortak doğruları yoksa,ortak noktaları da yoktur. C E L3UGKAB1001

35. Uzayda iki noktadan veya bir doğrudan geçen düzlemler: d A Q Sonuçlar: 1-Uzayda bir noktadan sonsuz sayıda düzlem geçer, 2-Uzayda farklı iki noktadan sonsuz sayıda düzlem geçer, 3-Uzayda bir doğrudan sonsuz sayıda düzlem geçer . D P R B L3UGKAB1001

36. ÖRNEK: Şekildeki prizmada: H G 1-Prizmanın ABCD yüzü ile BCFG yüzü birbirlerini kesen düzlemlere örnektir. E F D 2-[EF] ayrıtı,ABCD tabanına paraleldir. C A B 3-A,B,C,E noktaları aynı düzlemde değildir. 4-[EF] ile [DC] ayrıtları birbirine paraleldir. [EF] ile [BC] ayrıtlarından geçen doğrular birbirine aykırıdır. L3UGKAB1001

37. UZAYDA PARALEL DOĞRULAR.... L3UGKAB1001

38. Tanım:Uzayda bir düzlem içinde bulunan ve birbirini kesmeyen iki doğruya paralel doğrular denir. d1 ved2 P ise d1 d2 d1 d2 d1d2 = ise d1 // d2 E P Sonuç:Uzayda iki doğrunun birbirine paralel olması için bu doğruların aynı düzlem içinde olmaları ve kesişmemeleri gerekir. L3UGKAB1001

39. Paralellik Aksiyomu.... L3UGKAB1001

40. AKSİYOM Bir doğru ile bu doğru dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. Not:Bu aksiyom hem düzlem hem de uzay için geçerlidir. k d2 Açıklama:Düzlemde d doğrusu dışında Herhangi bir nokta A olsun.A noktasından d doğrusuna d1 ve d2 gibi iki paralel doğru çizildiğini varsayalım.A noktasından geçen ve B noktasında kesen k doğrusu çizilirse, iki paralel doğruya üçüncü bir doğru kestiğinde yöndeş açıların ölçüleri eşit olduğundan, ß A  d1 B x d d1 // d ise x =  dır (yöndeş açılar) d2 // d ise x = ß dır (yöndeş açılar) Buradan  = ßolduğu ve d1 ile d2 doğrularının çakışık olduğu görülür. Sonuçlar:1Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir. 2-Düzlemde,paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser. L3UGKAB1001

41. TEOREM Aynı doğruya paralel olan iki doğru birbirine paraleldir. İspat: d1 // d3 ve d2 // d3 d1 // d2dir d1 d1 ve d2 doğruları birbirine paralel değilse,E gibi bir noktada kesişir. Bu durumda E noktasından d3 doğrusuna iki paralel doğru çizilmiş olur.Bu da mümkün değildir. Paralellik aksiyomuna aykırıdır. Öyleyse E d2 d3 d1 // d2 olur. L3UGKAB1001

42. TEOREM Uzayda,paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem, diğerini de keser. d1 // d2ise bu doğrular bir düzlem belirtir.Bu düzlem P olsun. İspat: E düzlemi d1doğrusunu K noktasında kesiyorsa P düzlemi ile E düzleminin ara kesiti (PE= AB)olan AB doğrusu K noktasından geçer, AB doğrusu d2doğrusunu kesmezse , K noktasından d2 doğrusuna iki paralel çizilmiş olur.Bu durum paralellik aksiyomuna aykırıdır.Buna göre E B K d1 d2 L P A AB doğrusu d2 doğrusunu da L gibi bir noktada keser AB doğrusu E düzleminin de bir doğrusu olduğundan, d1doğrusunu kesen E düzlemi d2 doğrusunu da keser. L3UGKAB1001

43. Uzayda Paralel Dogru ve Düzlemler..... L3UGKAB1001

44. TANIM Uzayda,bir doğru ile bir düzlemin ortak noktaları yoksa, doğru ile düzlem birbirine paraleldir denir. d P  d = ise d / / P dir P Sınıfınızın duvarları ve tavanının ara kesitleri tabana paraleldir. L3UGKAB1001

45. TEOREM Düzlemin dışındaki bir doğru,düzlem içindeki bir doğruya paralel ise, düzleme de paraleldir. Verilen:d1P , d  P ve d1// d ise d1 İstenen: d1// P dir İspat: d1// d olduğundan bu doğrular bir düzlem belirtir.Bu düzlem E düzlemi olsun.P düzlemi ile E düzleminin arakesiti d doğrusudur.. d1doğrusu P düzlemini keserse,kesim noktası ara kesit doğrusu üzerinde olur. d1// d olduğundan d1doğrusu P düzlemini kesmez.Buna göre d P E d1// P L3UGKAB1001

46. TEOREM Bir d doğrusu,P düzlemine paralel ise,d doğrusundan geçen düzlemlerin P düzlemi ile ara kesiti de d doğrusuna paraleldir. Verilen:d // P ve E P = d1 d İstenen:d // d1 dir İspat:d doğrusundan geçen ve P düzlemi ile ara kesiti d1doğrusu olan düzlemlerden biri E düzlemi olsun.d1 ile d doğrusu, birbirlerine paralel değilse bir noktada kesişirler.Bu durumda d doğrusu P düzlemini de keser Bu durum verilenlere aykırıdır.Buna göre d1 P E d // P olduğundan d // d1 L3UGKAB1001

47. TEOREM Bir doğru,kesişen iki düzlemin her birine paralel ise, bu düzlemlerin ara kesitlerine de paraleldir. Verilen:d // P ,d // E ve P ve E düzlemlerinin ara kesiti AB doğrusu ise P d A İstenen:d // AB dir E İspat: Uzayda bir d doğrusu P düzlemine paralel iken,P düzlemi içindeki bir C noktasından d doğrusuna çizilen paralel doğrunun tüm noktaları P düzlemi içinde olur.Buna göre P ve E düzlemlerinin ara kesiti olan AB doğrusu üzerindeki C noktasından d1 // d2çizilirse d1doğrusu hem P düzlemi, hem de E düzlemi içinde olur.Öyleyse d1doğrusu P ve E düzlemlerinin ara kesiti olan AB doğrusu ile çakışıktır. . C d1 B AB // d dir. L3UGKAB1001

48. PARALEL DÜZLEMLER.... L3UGKAB1001

49. TANIM Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel düzlemler denir. E P E =  ise P // E dir. P L3UGKAB1001

50. TEOREM Bir A noktasında kesişen iki doğru bir P düzlemine paralelse, bu doğruların belirttiği E düzlemine paraleldir. Verilen:AC// P, AB // P ve AB ile AC nin belirttiği düzlem E ise, . . A B . İstenen:P // E dir. E İspat:P ile E düzlemleri kesişirse,ortak bir doğruları olur.Bu doğru d doğrusu olsun. Bu durumda d AC ve AB doğruları E düzlemi içinde olacağından d doğrusu AC ve AB doğrularından en az birini keser. C Kesmezse A noktasından d doğrusuna iki paralel doğru çizilmiş olur.AC ve AB doğrularından biri d doğrusunu keserse , P düzlemini de keser.Bu durumlar çelişkidir. P d Çünkü AC // P ve AB // P dir. Öyleyse P // E olur. L3UGKAB1001