Distribuci n binomial
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Bloque IV * Tema 172. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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Distribuci n binomial

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Bloque IV * Tema 172

Matemáticas Acceso a CFGS


Distribuci n binomial1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc.

  • La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre dedistribución binomial.

  • En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F).

  • Esta distribución queda caracterizada por:

  • (1)El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F).

  • (2)Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros.

  • (3)La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p.

  • P(E) = p

  • Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q.

  • P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p

  • (4)La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas:

  • r = 0, 1, 2, ..., n

  • Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, ..., ni.

  • Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe

  • B(n, p)

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Distribuci n binomial2

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Ejemplo 1

  • En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”.

  • Es una experiencia dicotómica.

  • P(E) = p =40/100 = 0,40

  • P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60

  • n= 30 veces que se repite el experimento.

  • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(30, 0,30)

  • Hay que hallar P(x=10)

  • Notas importantes:

  • El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión.

  • Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”)

  • P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30)

  • O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ]

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Distribuci n binomial3

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Ejemplo 2

  • Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de …

  • a)Que no cace ninguna pieza.

  • b)Que cace 7 piezas.

  • c)Que cace al menos 3 piezas.

  • Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro.

  • P(E) = p =0,65

  • P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35

  • n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar.

  • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(20, 0,65)

  • a)P(x=0)

  • b)P(x=7)

  • c)P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20)

  • P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ]

  • Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante.

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Distribuci n binomial4

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Ejemplo 3

  • Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que …

  • a)Ningún tornillo resulte defectuoso.

  • b)Halla 37 tornillos defectuosos.

  • c)Halla menos de 3 tornillos defectuosos.

  • Es una experiencia dicotómica, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no.

  • P(E) = p =32/1000 = 0,032

  • P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968

  • n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja.

  • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(50, 0,032)

  • a)P(x=0)

  • b)P(x=37)

  • c)P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

  • Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1

  • Por el Teorema de la Probabilidad Total, al ser los “n” sucesos independientes.

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Distribuci n binomial5

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Los experimentos o experiencias que quedan determinados por dos sucesos contrarios reciben el nombre de experiencias dicotómicas.

  • En general, cualquier distribución de probabilidad discreta se puede reducir a una experiencia dicotómica:

  • Ejemplo_1

  • Lanzamos un dado al aire.

  • Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6).

  • Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos:

  • P(“Obtener un seis”) = 1/6

  • P(“No obtener un seis”) = 5/6

  • Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico.

  • P(E) = p=1/6

  • P(F) = q= 5/6

  • B(n, 1/6)

  • Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado.

  • Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera un 5 en lugar de un seis.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  • Ejemplo_2

  • En una población conocemos:

  • P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 0,25

  • P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 0,25

  • P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 0,20

  • P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 0,20

  • P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 0,10

  • Si lo que nos interesa es que gane más de 1000 € /mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución binomial:

  • P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20+0,10 = 0,30

  • P(“Un habitante no gane más de 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70

  • Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica.

  • P(E) = p=0,30

  • P(F) = q= 0,70

  • B(n, 0,30)

  • Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado.

  • Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera que ganara hasta 500 €.

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