Fuzziness: sorellastra dell’incertezza o primadonna ?

1. Fuzziness: sorellastra dell’incertezza o primadonna ? Pietro Baroni Dip. di Elettronica per l’Automazione Università di Brescia

2. Un termine fuzzy • Vaghezza • Gradualità • Verità parziale • Logica multivalore • Incertezza ?

3. Fuzzy storia • Intuizioni sparse e isolate da circa un secolo • Sistematizzazione by Zadeh (1965-...) • Resistenze e scetticismo dagli inizi ai giorni nostri • Salvata dai giapponesi ... • Successo applicativo e commerciale • Maturazione scientifica e tecnologica tuttora in corso

4. Fuzzy malintesi • Fuzzy pensiero (B. Kosko) • Fuzzy logic come tuttologia • Tutto quello che si fa con i fuzzy si può fare con tecniche più tradizionali (e allora cosa avete aspettato fino adesso ?) • La fuzzy logic non ha fondamenti teorici(centinaia di articoli teorici di illustri studiosi)

5. Fuzzy applicazioni • Lavatrici • Camcorder • Cambio automatico • Cementificio • Metropolitana • .............

6. Crisp set su dominio discreto

7. Crisp set su dominio discreto 1 0 Rossi Bianchi Verdi Baroni

8. Crisp set su dominio continuo

9. Crisp set • Definizione tramite un predicato booleano{t | t > 0 AND t < 100} • La funzione caratteristica e’ una funzione discontinua con soli due possibili valori 1 0 100

10. Inadeguatezza dei crisp set • Non sempre i predicati booleani (e le funzioni discontinue) sono un buon modello della realtà • Insieme delle temperature confortevoli{t | t > 18 AND t < 28} ?? 1 0 18 28

11. Fuzzy set • Alcuni insiemi sono meglio definiti da funzioni di appartenenza continue, quindi anche il relativo predicato non è più booleano ma “fuzzy” 1 0 15 18 28 35

12. Fuzzy set su dominio continuo

13. Fuzzy set su dominio discreto

14. Fuzzy set su dominio discreto 1 0 Rossi Bianchi Verdi Baroni

15. In una parola ... • Crisp set C:C: D  {0, 1} C(x) è booleana • Fuzzy set F:F: D  [0...1] F(x) ha valori reali • Un “piccolo” salto formale, un enorme salto concettuale

16. Operatori base sui fuzzy set • Intersezione:A  B(x) = min (A(x) , B(x)) • Unione:A  B(x) = max (A(x) , B(x)) • ComplementoÃ(x)= 1 - A(x)

17. Relazioni tra fuzzy set • Equivalenza: A = B A(x) = B(x) xD • Inclusione: A  B A(x) < B(x) xD

18. Casi limite • Appartenenza booleana all’universo: x, D(x) = 1 • Definizione di insieme vuoto: x, (x) = 0 • Vale che D  ~

19. Conferme e novità • La doppia negazione rimane idempotente • Rimangono le leggi di De Morgan ma A  Ã  D A  Ã  Sparisce il principio del terzo escluso (e di non contraddizione)

20. Che altro sui fuzzy set ? • Fuzzy numbers (circa 3 per circa 2 = ?) • Fuzzy relations (1DM vale poco meno di 1000 £) • Fuzzy matrici • Fuzzy grafi • Fuzzy regressione • ..... • Fuzzy logic • Fuzzy control

21. Il mondo del vero e del falso • E’ un modello del nostro modo di ragionare tra i più antichi ed influenti • E’ palesemente inadeguato rispetto alla maggior parte dei problemi che quotidianamente affrontiamo

22. Il mondo del vero e del falso Proposizione + Valore di verità Soggetto + Attributo + Valore attributo (qualitativo o quantitativo) {TRUE, FALSE}

23. Lo schema base dell’inferenza Conoscenza universale “Gli uomini sono mortali” Conoscenza particolare “Socrate è uomo” Regola di inferenza Sillogismo Conclusione “Socrate è mortale”

24. L’imprecisione Proposizione + Valore di verità {TRUE, FALSE} Soggetto + Attributo + Set di valori ammissibili (qualitativi o quantitativi)

25. La vaghezza (fuzziness) Proposizione + Valore di verità Soggetto + Attributo +Valore attributo (qualitativo) [0, 1] (o un altro set ordinato con più di due elementi)

26. L’incertezza • Il grado di convinzione è una proprietà della coppia proposizione-valore di verità • Esso rappresenta uno stato mentale (“Quanto ci credo”) e non uno stato del mondo (“Quanto è vero”) Proposizione + Valore di verità + Grado di convinzione

27. Fuzziness vs. Probabilità Bicchiere d’acqua di montagna: Potabile(B) = 1 P(Potabile, B) = 1

28. Fuzziness vs. Probabilità Bicchiere d’acqua di mare: Potabile(B) = 0.4 (o comunque minore di 1) P(Potabile, B) = 1

29. Fuzziness vs. Probabilità ? Estrazione Bicchiere d’acqua estratto: Potabile(B) = chi lo sa ? (dubbio tra 0 o 1 in questo caso) P(Potabile, B) = 0.9

30. Fuzziness vs. Probabilità ? P(Potabile, B) = 0.4 Potabile(B) = 0.4

31. Fuzziness vs. Probabilità:il caso più generale ? Estrazione Potabile(B) = chi lo sa ? (potrebbe essere 0, 0.4 o 1 in questo caso) P(Potabile(B) = 1) = 0.5 P(Potabile(B) = 0.4) = 0.2 P(Potabile(B) = 0) = 0.3

32. Fuzzy logic • Narrow vs. broader sense • Broader sense = tutto e niente • Narrow sense = una logica multivalore che rappresenta il ragionamento in presenza di verità parziali (non di incertezza)

33. Un tipico schema Valori Input Valori Output Fuzzificatore Defuzzificatore Fuzzy inference Fuzzy set Fuzzy set Regole Fuzzy

34. Nel cuore della “fuzzy logic” • IF varI IS attrI AND varJ IS attrJ OR varK IS attrk .....THEN outZ IS attrZ

35. Proposizioni fuzzy • Sono proposizioni il cui valore di verità è definito sull’intervallo [0 1] • Tipicamente sono proposizioni di natura qualitativa: Mario è vecchio, Giorgio è furbo ... • Il valore di verità può essere attribuito “direttamente” (per giudizio incondizionato) oppure ...

36. Definizione delleproposizioni fuzzy • varJ IS attrKun caso molto comune è quello in cuivarJ è una grandezza continua misurabile, mentre attrK è un attributo qualitativo. • Es. la temperatura è alta, la velocità è media, la tensione è bassa, Giorgio è alto

37. Definizione delleproposizioni fuzzy • Definizione di una scala di valori qualitativi • Definizione di  per ciascun valore Bambino Giovane Adulto Anziano 1 18 14 16 25 30 50 65 0

38. Definizione delleproposizioni fuzzy • La definizione delle  è un passaggio totalmente arbitrario che traduce una visione soggettiva del mondo Adolescente Bambino Giovane Maturo Attempato Vecchio 1 18 40 14 16 55 65 70 30 0

39. Modificatori linguistici • moltoA (x) = (A(x))2 • piùomenoA(x) = (A(x))1/2 •  1 Più o menoCaldo Caldo Molto Caldo 25 35

40. Connettivi AND e OR • La logica fuzzy, essendo una logica multivalore non incerta è truth-functional: il valore di verità di una formula composta si può ricavare da quello dei componenti • Al contrario, un teorema dimostra che qualunque quantificazione di incertezza non può essere truth-functionalAd esempio, P(A AND B) = P(A)*P(B) solo se A è indipendente da B

41. AND, OR, NOT: modello base • AND = Intersezione:(A AND B) = min((A), (B)) • OR = Unione:(A OR B) = max((A), (B)) • NOT = Complemento(NOT A)= 1 - (A)

42. “Fuzzyficare” AND e OR • Il concetto “booleano” di AND (tutte le componenti devono essere vere) si riflette nell’operatore min • Il concetto “booleano” di OR (una sola componente deve essere vera) si riflette nell’operatore max • Tra AND e OR “booleani” ci sono infiniti casi intermedi di connettivo: quasi tutte le componenti, molte, la maggioranza, alcune, poche ... • Quindi, infinite funzioni possibili per AND e OR oltre a min e max

43. T-norm • T-normuna funzione T: [0 1] X [0 1]  [0 1] t.c. • T(a, b) = T(b, a) • T(a, b)  T(c, d) IF a c AND b d • T(a, T(b, c)) = T(T(a, b) , c) • T(1, a) = a • Min e prodotto sono esempi di T-norm

44. T-conorm (o S-norm) • S-normuna funzione S: [0 1] X [0 1]  [0 1] t.c. • S(a, b) = S(b, a) • S(a, b)  S(c, d) IF a c AND b d • S(a, S(b, c)) = S(S(a, b) , c) • S(0, a) = a • Max e (a + b - a*b) sono esempi di S-norm

45. T-norm e S-norm per AND e OR • Esistono famiglie di infinite T-norm e S-norm legate da relazioni di dualità:T(a, b, ) = a*b max(a, b, S(a, b, ) = a +b - a*b - min(a, b, 1 -  max(1 - a, 1 - b,  • Fissando  si sceglie una coppia di operatori AND e OR (quasi tutti scelgono min e max)

46. Ma non è finita ... • Estensione del concetto di media:OWA operators ...

47. Fuzzyficare il NOT • Anche il concetto di negazione può essere “sfumato” • Basta una funzione C: [0 1]  [0 1] t.c. • C(0) = 1, C(1) = 0 • C(a)  C(b) IF a < b • Anche per la negazione esiste un’infinita scelta di operatori

48. Il passo di implicazione • La regola IF x IS prem THEN y IS cons può essere vista come una fuzzy relation R:R(x,y) = F(prem(x) , cons(y)) • In pratica per ogni valore di x, passando per prem(x) si stabilisce una funzione di adeguatezza di y (un’altra ) derivata da cons • Poichè la premessa è fuzzy, l’attivazione della regola non richiede un matching preciso

49. Operatori di implicazione • Come per AND e OR ci sono infinite scelte,pure l’implicazione ha svariate interpretazioni e diversi possibili operatori (Zadeh, Godel, Lukasiewicz, Mamdani ...) • Di Mamdani ce ne sono due (molto usati perche’ semplici e ingegneristicamente sensati): Mam’(x,y) = min(prem(x) , cons(y))Mam”(x,y) = prem(x) * cons(y)

50. Fuzzyficazione dell’input • Il matching di un valore di input con la premessa può essere valutato in forma crisp (fuzzyficazione banale, la più comune) • Si può passare dal valore di input a una m (tipicamente triangolare o gaussiana) e valutare il matching tra  in input e  della premessa