Prof dr sc pavao marovi
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 42

Prof. dr. sc. Pavao Marović PowerPoint PPT Presentation


  • 325 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Prof. dr. sc. Pavao Marović. Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009. 7. TORZIJA (UVRTANJE). Odgovarajuća jednadžba ravnoteže:. M t1. M t2. M t3. ( Moment torzije djeluje u ravnini okomitoj na uzdužnu os štapa ). Predznak:. n. +M t.

Download Presentation

Prof. dr. sc. Pavao Marović

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Prof dr sc pavao marovi

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Otpornost materijala I

Šk. god. 2008/2009

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, nastavak 7.


7 torzija uvrtanje

7. TORZIJA (UVRTANJE)

Odgovarajuća jednadžba ravnoteže:

Mt1

Mt2

Mt3

(Moment torzije djeluje u ravnini okomitoj na uzdužnu os štapa)

Predznak:

n

+Mt

(Moment torzije je + ako mu se vektor vrtnje poklapa sa smjerom vanjske normale – pravilo desnog palca)

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

-

+

Mt

Dijagram momenata torzije crtamo po istom načelu kao i dijagram poprečnih sila:

Mt1

Mt2

Mt3

Mt3

Mt2

Mt1

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Moment torzije djeluje i na osovinu. Ako znamo snagu N i broj okretaja osovine po minuti n, uz oznake prema crtežu:

F

φ

uz napomenu da moment torzije vrši rad na putu zaokreta, možemo pisati:

r

Mt

F

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Mt

P

φ

7.1 – Analiza naprezanja i deformacija pri torziji štapa kružnog poprečnog presjeka opterećenog momentom torzije

  • Pretpostavke:

  • Štap je u pravcu, kružnog poprečnog presjeka;

  • Štap je napravljen od Hooke-ovog homogenog, izotropnog materijala;

  • Deformacije štapa su male → uzdužna vlakanca ne djeluju jedna na druge;

  • Presjeci štapa ostaju ravni (vrijedi Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima).

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Mt

x

φ

φ’+dφ

φ’

x

dx

L

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Možemo kazati da je moment torzije u promatranom presjeku rezultat djelovanja tangencijalnih naprezanja.

Pošto ne znamo njihovu raspodjelu, naš je slijedeći zadatak odrediti raspodjelu tangencijalnih naprezanja u poprečnom presjeku uslijed djelovanja momenta torzije.

= 0

τ

= 0

Zaključak: Postoji samo komponenta naprezanja koja je okomita na radijus vektor u promatranoj točki.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

T

1) Statička jednadžba:

τ

dA

ρ

C

Pošto ne znamo zakon raspodjele posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka, trebamo problem promatrati s geometrijskog gledišta.

A

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Na promatranom štapu postaviti ćemo dva nezavisna, međusobno okomita, sustava linija: (1) sustav međusobno paralelnih izvodnica, i (2) sustav paralelnih kontura poprečnog presjeka (Slika 13.6, str. 250).

Poprečni presjeci ostaju ravni i zaokrenuti; razmak između njih se nije promijenio jer u smjeru osi štapa nema nikakvih naprezanja.

Izvodnice ostaju pravci ali imaju karakter zavojnice.

Vidimo da se promatrani diferencijalni element nalazi u stanju čistog posmika.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

b

a

dx

c

d

Izvucimo promatrani diferencijalni dio štapa i pogledajmo što se na njemu događa:

Promatrani presjek se zaokrenuo za kut dφ a element na plaštu se nalazi u stanju čistog posmika.

Mt

a’

b’

τ

β

Θ – kut zaokreta na jedinicu dužine štapa – jedinični kut zaokreta

r

Mt

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Dobili smo odnos između posmične deformacije i torzije, te dalje možemo srediti:

za čisti posmik je: - Hooke-ov zakon za posmik

što uvrstimo u prethodni izraz te dobivamo:

Dobili smo izraz za naprezanja na plaštu.

Negdje unutar štapa na udaljenosti ρ (pri čemu je 0 ≤ ρ ≤ r ) imamo naprezanja:

Prema tome, možemo zaključiti da je raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije linearna.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

T

Raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije

Uvrstimo li izraz:

u statičku jednadžbu:

τ

dobivamo:

ρ

pri čemu je:

polarni moment tromosti

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Sada možemo napisati:

odakle slijedi da je jedinični kut zaokreta:

Ako umjesto Θ, uvrstimo:

dobivamo izraz za promjenu kuta zaokreta uslijed momenta torzije:

pri čemu je torzijska krutost.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Ako tražimo kut zaokreta između dva presjeka koja se nalaze na udaljenosti L, imamo:

odakle slijedi, pošto je: , izraz za kut zaokreta:

drugi oblik Hooke-ovog zakona za torziju

(Napomena: kut zaokreta φ je deformacija kod torzije)

Ako imamo štap sastavljen iz više odnosno n dijelova:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Iz izraza: i

dobivamo izraz za posmična naprezanja:

te tako možemo izračunati naprezanja u bilo kojoj točki presjeka, pri čemu je najveće posmično naprezanje jednako:

odnosno:

gdje je Wp – polarni moment otpora [m3]

pri čemu je Wpdefiniran kao:

Ip[m4]i Wp[m3] su geometrijske karakteristike presjeka.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Kod torzije moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti:

1) Kontrola naprezanja

Dimenzioniranje (određivanje potrebnog momenta otpora)

Nosivost (određivanje mom. torzije kojeg štap može preuzeti)

2) Kontrola krutosti

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

T

7.2 – Računanje momenata tromosti

Prethodno smo definirali:

Puni krug

dA=2·π·ρ·dρ

τ

ρ

Wp je po definiciji:

d=2r

Puni presjeci su neracionalni, te se prelazi na šuplje presjeke.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Šuplji presjek

dA=2·π·ρ·dρ

τ

ρ

T

ru

rv

Wp je po definiciji:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

-

Primjer 1:

Traži se: φA=?

Ip1

Ip2

Mt

Izveli smo izraz za kut zaokreta:

A

B

L1

L2

Mt

Mt

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

-

+

Primjer 2:

Mt1>Mt2

Zadano:

Ip

MtA

Mt1

Mt2

Traži se: τmax=?

Moment torzije na ležaju ćemo odrediti iz uvjeta:

B

A

a

b

L=a+b

MtA=Mt1-Mt2

MtA

Ma

Mb

Mt2

Mt1

Kut zaokreta:

ili:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Mt

A

φ

0

φ

7.3 – Potencijalna energija pri torziji

Nas zanima situacija u elastičnom području.

Mt

rad vanjskih sila

(u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila)

Potencijalna energija

Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od Mt ili φ. To je površina ispod Mt - φ dijagrama.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

7.4 – Statički neodređeni slučajevi pri torziji

Promatrati ćemo sastavljeni okrugli štap ukliješten na oba kraja.

A

B

G1, Ip1

Kao ležajne reakcije mogu se pojaviti samo momenti torzije, MtA i MtB, dok su sve ostale reaktivne sile jednake nuli.

Mt

G2, Ip2

1) Statička jednadžba:

MtB

MtA

L1

L2

2 – 1 = 1x

Vidimo da je postavljeni zadatak 1x statički neodređen te da treba postaviti još jedan uvjet deformacija – imamo više mogućnosti.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

2) Geometrijska analiza:

Ovaj sustav mora biti ekvivalentan zadanome, što znači da je uvjet deformacija:

B

G1, Ip1

A

Mt

G2, Ip2

φB=0

MtB

L1

L2

3) Fizikalna jednadžba:

4) Rješenje:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

B

A

Mt

MtB

MtA

L1

L2

-

+

Mt

Na kraju nacrtamo dijagram momenata torzije:

Mt

MtB

MtA

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Mt

MtB

MtA

MtA

MtB

MtA

MtB

Ovo smo mogli odrediti i na drugi način (slično, ali sve obrnuto bi bilo da smo oslobodili lijevu upetost):

1) Statička jednadžba:

2 – 1 = 1x

2) Geometrijska jedn.:

φL=φD

3) Fizikalne jedn.:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

7.5 – Torzija štapova neokruglog popr. presjeka

Pod djelovanjem momenta torzije kod štapa neokruglog poprečnog presjeka doći će do vitoperenja poprečnog presjeka (dogoditi će se da će neke točke izaći izvan ravnine poprečnog presjeka).

Ako je poprečni presjek konstantan duž uzdužne osi i ako je djelovanje momenta torzije konstantno duž štapa, tada funkcija naprezanja neće biti funkcija od z već samo od x i y:

Φ=Φ(x,y)

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Polazeći od diferencijalnih jednadžbi ravnoteže, jednadžbi kompatibilnosti (neprekinutosti), fizikalnih jednadžbi i uzimajući funkciju naprezanja definiranu kao Φ=Φ(x,y), dolazimo do Poisson-ove diferencijalne jednadžbe torzije:

odnosno

uz rubni uvjet na plaštu (duž plašta funkcija naprezanja je konstantna, a za tu konstantu uzimamo da je =0):

te uz rubni uvjet na čeonim presjecima:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

y

T

σzy

σzx

x

Pri tome uzimamo da su posmična naprezanja definirana na slijedeći način:

pri čemu je ukupno posmično naprezanje definirano prema:

A(x,y)

Veza između komponenti posmičnih naprezanja i funkcije naprezanja Φ dana je izrazima:

Ukoliko ovo možemo izvesti od početka do kraja, kažemo da imamo rješenje u zatvorenom obliku.

To je do sada dobiveno samo za poprečne presjeke oblika: kvadrat, pravokutnik, trokut i elipsa.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Za sve ostale oblike poprečnog presjeka posmična naprezanja pri torziji određujemo: (a) numeričkim postupcima preko približnog izračunavanja (metoda diferencija, metoda konačnih elemenata, itd.), ili (b) pomoću neke analogije.

Metoda analogije ili sličnosti

Problem kojeg želimo riješiti, ali mu ne znamo rješenje.

Sličan problem kojemu znamo rješenje.

Rješenje

Rješenje

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Primjer: Ravni štap kvadratnog poprečnog presjeka

Nedeformiran štap s dva sustava linija (Slika 13.23, str. 268):

Deformiran štap (Slika 13.24, str. 269):

Uglovi se nisu deformirali, prema tome, tamo su naprezanja jednaka nuli.

Najveće deformacije, a time i najveća naprezanja su u sredinama stranica.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

h

b

Promatrajmo sada dijagrame posmičnih naprezanja za pravokutni poprečni presjek:

τ2 < τ1 , te slijedi: τ1 = τmax

τ2

Za odnos b<h riješena je ova zadaća, a rezultati su prikazani tabelarno:

2

h/bk1k2

1

∞1/31/3

τ1

1

1

2

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

h

b

Riješimo naš zadani pravokutni poprečni presjek:

Neka je u našem slučaju odnos h/b≥10.

Iz tablice očitamo da je k1=1/3 i k2=1/3.

Rješenje je:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

p

7.6 – Membranska (Prandtl-ova) analogija kod problema torzije

Nad nekim otvorom (oblika promatranog poprečnog presjeka) napnimo tanku opnu – membranu:

F

Imamo jednadžbu membranskog stanja naprezanja:

F

x

y

z

Ako uzmemo da je membrana homogena, σxx=σyy=σ, dobivamo:

x

pri čemu je t·σ = F – sila na jedinici dužine membrane odnosno sila s kojom smo nategnuli membranu.

y

jednadžba homogene membrane

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

p

F

F

x

y

z

Postavimo izraz za zakrivljenost:

(w)

~0

Uz pretpostavku o malim progibima, dobivamo približne izraze za zakrivljenost:

Pošto u ravninama xz i yz prve derivacije od w padaju jer opada vrijednost tangente možemo pisati:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Ako dobivene izraze za zakrivljenost uvrstimo u jednadžbu homogene membrane, dobivamo:

parcijalna nehomogena dif. jednadžba membrane

uz uvjet na rubu: w=0 (progib membrane na rubu).

Vidimo sličnost gornje jednadžbe s Poisson-ovom jednadžbom torzije:

Ako pritisak p i silu zatezanja F odaberemo tako da je

možemo zaključiti da je:

Zaključak: Iz sličnosti problema torzije i napete membrane, dobili smo postupak za rješavanje problema torzije.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Postupak rješavanja problema torzije štapova neokruglih poprečnih presjeka:

U nekom mediju se napravi otvor u obliku zadanog neokruglog poprečnog presjeka i nad njim se napne tanka membrana koja se optereti pritiskom p. Nakon što se membrana deformira / progne, promatraju se njene nivo linije i njihove strmine, nakon čega možemo izvući određene zaključke:

1)Smjer tangencijalnog naprezanja u nekoj točki poprečnog presjeka je određen s tangentom na nivo liniju membrane → nivo linija plohe Φ nam predstavljaju linije naprezanja;

2)Veličina tangencijalnog naprezanja u nekoj točki poprečnog presjeka je jednaka gradijentu funkcije naprezanja Φ odnosno najvećem nagibu u promatranoj točki

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

3)Ako je onda je moment torzije jednak dvostrukom volumenu između ravnine poprečnog presjeka i napete membrane

iz čega dalje slijedi odnos

Iz svega ovoga možemo napisati izraz za posmična naprezanja:

Nekoliko praktičnih napomena:

1)Tangencijalna naprezanja u vrhovima mnogokuta su jednaka nuli.

2)Tangencijalna naprezanja su veća gdje su nivo linije gušće.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Primjer 1: Uzmimo jednu bešavnu cijev i jednu prerezanu cijev duž cijele svoje dužine. Zanima nas koja cijev može preuzeti veći moment torzije. (Rješenje treba naći membranskom analogijom)

Bešavna cijev

Prerezana cijev

Zaključak: Kako je Mt=2V a iz crteža se vidi da je Vbc > Vpc, to je Mtbc > Mtpc.

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

h

b

Primjer 2: Promatrajmo pravokutnik s odnosom stranica h/b≥10. (vidi zadatak na 32 str.) (Rješenje treba naći membranskom analogijom)

Izrežimo otvor oblika pravokutnika, napnimo i opteretimo membranu, te nacrtajmo linije jednakih progiba.

τmax

δ

b/4

b

Nagib tangente je:

Volumen je:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Posmično naprezanje:

Nagib tangente:

Volumen:

Konačno rješenje je:

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

7.7 – Spiralna opruga

(Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 13.8, str. 295-299)

7. Torzija


Prof dr sc pavao marovi

Nastavak slijedi u idućem file-u.

7. Torzija


  • Login