ÖNERME ANALİZİ VE YÜKLEM MANTIĞI

1. ÖNERME ANALİZİ VE YÜKLEM MANTIĞI Yılmaz KILIÇASLAN

2. Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (1) • L0 dili yardımıyla önceki derslerimizdeki (7. ve 8. çıkarımların yanında) 1. ve 2. çıkarımların geçerliliğini formelleştirebiliriz: • p q ¬ p ------- q • p q ¬r  ¬ p ¬ r ------- q

3. Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (2) • İhtiyacımız olan yalnızca aşağıdaki iki çıkarım şemasıdır: • AB ¬ A ------- B • AB A ------- B

4. Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (3) • Fakat, 3., 4. ve 5. çıkarımları L0 diline dönüştürmek, geçerliliklerini sağlayan anlamın önemli bir bölümünü kaybetmemize yol açacaktır. Benzer bir durumu aşağıdaki örnek üzerinde görebiliriz: • Muhammed Ali, Richard Nixon’dan uzundur. Richard Nixon, Noam Chomsky’den uzundur. ------------------------------------------------------------- Muhammed Ali, Noam Chomsky’den uzundur. • p q ------- r

5. Önermelerin İçsel Yapısı • L0 dili ile ilgili sorun önermelerin içsel yapısına erişim olanağı vermemesidir. • İhtiyacımız olan en azından önermelerin ilişki-argüman analizini sağlayabilecek bir yaklaşımdır: • U(m, r) U(r, n) ------- U(m, n) Ancak, bu bile yeterli değildir. Neden?

6. L1 Dili (1) • SÖZDİZİM: A. Temel İfadeler KategoriTemel İfade İsimlerd, n, j, ve m Tek-argümanlı yüklemler M, B Çift-argümanlı yüklemler K, L B. Oluşum Kuralları • Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir. • Eğer γbir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir cümledir. • Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir.

7. L1 Dili (2) • SEMANTİK: A. Temel İfadeler: [d] = Richard Nixon [n] = Noam Chomsky [j] = Jacque Chirac [m] = Muhammad Ali [M] = Bütün bıyıklı insanlar kümesi [B] = Bütün sarışın insanlar kümesi [K] = Birincinin ikinciyi tanıdığı bütün yaşayan insan çiftleri kümesi [L] = Birincinin ikinciyi sevdiği bütün yaşayan insan çiftleri kümesi B. Semantik Kurallar • δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) ancak ve ancak [α]  [δ] ise doğrudur. • γbir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) ancak ve ancak <[α], [β]> [γ] ise doğrudur. • φ bir cümleyse, ¬φ ancak ve ancak φ doğru değilse doğrudur. • φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak hem φ hem ψ doğru ise doğrudur. • φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] ancak ve ancak φ veya ψ doğru ise doğrudur. • φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] ancak ve ancak φ yanlış veya ψ doğru ise doğrudur . • φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] ancak ve ancak ya hem φ hem ψ doğru ise yada hem φ hem ψyanlış ise doğrudur.

8. Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (1) • 5. çıkarıma geri dönecek olursak, bu çıkarımın geçerliliğine ulaşmamızı sağlayan açıkça ifade edilmemiş olan fakat bizim genel bir bilgi olarak sahip olduğumuz aşağıdaki genellemedir: “Eğer ab’den uzunsa ve b de c’den uzunsa, a c’den uzundur.” • Daha doğrusu, ‘uzun olma’ ilişkisinin geçişli bir ilişki olduğuna dair sahip olduğumuz bilgi söz konusu çıkarımı yapmamızı mümkün kılar.

9. Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (2) • ‘Uzun olma’ ilişkisinin geçişliliğinin örneğe konu olan şahıslarla sınırlı olmadığı, ilişkiye argüman olabilecek bütün varlıklar için geçerli olduğu açıktır. Yani aşağıdaki türden bir genelleme yapmamız gerekmektedir: “Bütün a, b ve c’ler için, eğer ab’den uzunsa ve b de c’den uzunsa, a c’den uzundur.” • Bu tür genellemeleri ifade edebilmek için, formel dilimize değişkenler ve niceleyiciler ekleyeceğiz. • Değişkenlerimiz, değer olarak bireyleri alabilen değişkenler, niceleyicilerimiz ise varoluş niceleyicisi ve evrensel niceleyici olacaktır. Bu da bizi, Birinci Dereceden Yüklem Mantığına götürecektir.

10. L2 Dili (1) • SÖZDİZİM: A. Temel İfadeler KategoriTemel İfade İsimlerd, n, j, ve m Birey değişkenleri v1, v2, v3, ... Tek-argümanlı yüklemler M, U Çift-argümanlı yüklemler K, L B. Oluşum Kuralları • Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir. • Eğer γbir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir cümledir. • Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ ve ψ cümle iseler,[φ  ψ] bir cümledir. • Eğer φ bir formül, ve u bir değiken ise, u φ bir formüldür. • Eğer φ bir formül, ve u bir değişken ise, u φ bir formüldür.

11. L2 Dili (2) • SEMANTİK: A. Temel İfadeler • Eğer u L2’nin bir değişkeni ise, [u]M, g = g(u)’dur. • Eğer  L2’nin mantıksal olmayan bir sabiti ise, []M, g = F()’dır. B. Semantik Kurallar • Eğer  tek argümanlı bir yüklem ve  bir terim ise, [()] M, g = []M, g([]M,g)’dir. • Eğer  iki argümanlı bir yüklem,  ve  birer terim ise, [( ,)] M, g = ([]M, g([]M,g))([]M,g)’dir. • Eğer  bir formül ise, [] M, g = 1 eğer [] M, g = 0 ise; diğer durumlarda [] M, g = 0. Benzer yöntem (), (), (), ve () formülleri için de geçerlidir.

12. L2 Dili (3) B. Semantik Kurallar (Devam) • Eğer  bir formül ve u bir değişken ise, u değişkenine atanan değer dışında diğer her durumda g ile aynı olan her g’ değer atama fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise [u] M,g = 1’dir. • Eğer  bir formül ve u bir değişken ise, u değişkenine atanan değer dışında diğer her durumda g ile aynı olan bir g’ değer atama fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise [u] M,g = 1’dir.

13. L2 Dili (4) C. M’yegöre L2formüllerinindoğruluk tanımlaması olarak aşağıdakiler kabul edilir: • L2’ninherhangibir  formülüiçin, eğertümg değeratamafonksiyonlarıiçin []M, g = 1 ise[]M = 1’dir. • L2’ninherhangibir  formülüiçin, eğertümg değeratamafonksiyonlarıiçin []M, g = 0ise[]M = 0’dır.

14. Birinci Dereceden Yüklem Mantığı Her köpek bir kediyi kovaladı. 14

15. Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1 •  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı: 1. . . . m. [a/x]φ . . . n. xφ E , m

16. Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2 •  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . . m. xφ . . . n. [a/x]φ Ç, m

17. Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3 •  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı: 1. . . . m. [a/x]φ . . . n. xφ E, m

18. Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4 •  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . . m1. xφ . . . m2. [a/x]φ ψ . . . n. ψ E , m1, m2

19. Birinci Dereceden Yüklem Mantığında Bir İspat • x(akıllı(x)) Öncül • akıllı(a) Varsayım • x(akıllı(x)) Varsayım • akıllı(a) Ç , 3 • ┴ Ç , 2, 4 • x(akıllı(x)) E  • akıllı(a)  x(akıllı(x)) E  • x(akıllı(x)) Ç , 1, 7

20. Alıştırmalar - I • E = {1, 2, 3} evrensel kümesine göre aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz. • ∃x ∀y [ x2 < y + 1 ] • ∀x ∃y [ x2 + y2 < 12 ] • ∀x ∀y [ x2 + y2 < 12 ]

21. Alıştırmalar - II • İfade gücünüzü maksimum tutarak, aşağıdaki cümleleri birinci-dereceden yüklem mantığı içinde ifade ediniz. • Kimse gülmedi veya alkışlamadı. • Herkes tarafından sevilen bir kişi var. • Eğer Ahmet’in bir eşeği varsa, onu döver. • Arabası olmayanın bisikleti vardır. • Herkes, kendisi dışında kimseyi sevmeyen herkesi sever.

22. Kaynaklar • L.T.F. Gamut (1991). Logic, Language, and Meaning, Volume 1, The University of Chicago Press. • Lipschutz, S. & M.L. Lipson (2007). Discrete Mathematics. Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill.