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气体动理论 PowerPoint PPT Presentation


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( v ). f. o. v. 第 十二 章. 气体动理论. 以宏观的牛顿力学和微观的统计力学相结合的方法为依据、运用概率论研究大量微观粒子(大量气体分子)运动理论和物质的热现象的规律。. 本章目录. 12-0 教学基本要求. 12-1 平衡态 理想气体物态方程 热力学 第零定律. 12-2 物质的微观模型 统计规律性. 12-3 理想气体的压强公式. 12-4 理想气体分子的平均平动动能与温 度的关系. 物理学 第五版. 本章目录. 12-5 能量均分定理 理想气体内能. 12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律.

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气体动理论

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(v )

f

o

v

第 十二 章

气体动理论

以宏观的牛顿力学和微观的统计力学相结合的方法为依据、运用概率论研究大量微观粒子(大量气体分子)运动理论和物质的热现象的规律。


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本章目录

12-0 教学基本要求

12-1平衡态 理想气体物态方程 热力学

第零定律

12-2 物质的微观模型 统计规律性

12-3 理想气体的压强公式

12-4 理想气体分子的平均平动动能与温

度的关系


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物理学

第五版

本章目录

12-5 能量均分定理 理想气体内能

12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律

*12-7 玻耳兹曼能量分布律 等温气压公式

12-8 气体分子平均碰撞次数和平均自由程


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12-0 教学基本要求

一 了解气体分子热运动的图像 . 理解平衡态、平衡过程、理想气体等概念.

二 理解理想气体的压强公式和温度公式, 能从宏观和微观两方面理解压强和温度的统计意义 .


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本章目录

三 了解自由度概念,理解能量均分定理,会计算理想气体的内能.

四理解麦克斯韦速率分布律、 速率分布函数和速率分布曲线的物理意义 . 会计算气体分子热运动的三种统计速度 .

五 理解气体分子平均碰撞次数和平均自由程 的概念和公式.


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物体(质点)

研究对象

牛顿力学

机械运动及能量守恒

研究方向

高等线性数学

研究手段

(经典力学

)

大量微观粒子(气体分子)

研究对象

气体运动理论

热力学定律

气体分子运动及物质热现象

研究方向

统计力学、牛顿力学、概率论

研究手段


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本章学习的主要内容

1、理想气体状态方程

三个特征参量

平衡态

物态方程

热力学第零定律

2、理想气体的理想模型、统计规律

3、理想气体的压强公式

4、理想气体分子的平均平动动能与温度的关系

5、理想气体的内能 能量均分定理

6、麦克斯韦气体分子速率分布率

7、气体分子平均碰撞次数和平均自由程


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学习本章的关键词

热现象:由于物体温度的变化

而引起物体性

质、形态的变化。

宏观量:表征大量分子集体行为特征的物

理量。

例:温度、压强、体积

热运动:物体中分子或原子无规则的运动。

例:热胀冷缩、相变、高温退磁。

热 学:研究物体的热性质及热运动的规律。

微观量:表征个别分子行为特征的物理量。

例:一个分子的直径、质量


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理由:由大量作热运动的分子构成的气体状态热学系统所包含的分子数是及其庞大的,1mol气体中就有1023个分子,如果用

去描写

力学体系的状态可以用一组

来描述。

r

v

就要列出1023个方程并解1023个牛顿方程。

r

v

热学体系的状态能否用一组

来描写

r

v

这是不现实的也是不可能的!

热学规律从本质上不同于力学规律。

热现象服从统计规律。

§12-1气体的状态参量

显然是不能的


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★压强P 的定义:作用在容器壁上

单位面积的正压力

(Pa)

5

1标准大气压(atm)=

1.01

10

×

一、气体的状态参量(物态参量)

P、V、T

描述热力学系统状态的物理量,是宏观量。

压强P 的单位:帕斯卡(帕,Pa)

1帕斯卡(Pa)=1牛顿/米2(N/ m2)

(45o纬度海平面处测得0oC时的大气压)

1标准大气压(atm)相当于76cm水银柱高


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热力学温标和摄尔修斯温标的换算关系

( t:摄氏温度)

T

t

+

273.15

=

标准状态:

1标准大气压

0oC

22.4升( L)

★热力学温度T 的单位:开尔文( K )

温度在宏观上是物体冷热程度的数值表示1987年第18届国际计量大会对国际实用温标决议:热力学温标(开尔文温标)为最基本的温标,一切温度的测量最终以它为准。

★体积V(气体所能达到的空间)

体积的单位:升( L)、立方米( m3)

1( m3)=1000 (d m3)=1000 ( L)


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平衡态

处于外界条件不变前提下的热力学系统

(系统与外界无质量和能量交换)

经过很长时间后达到一个确定的状态,

系统的状态参量将不再随时间改变,

称该状态为平衡态

P

·

·

(P1、V1、T1)

(P2、V2、T2)

2

1

0

V

二、平衡态和平衡过程

平衡态1

平衡态在PV图上用一点来表示

平衡态2

平衡过程


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抽去隔板

隔板

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

开始

气体扩散

(非平衡态)

气体处于

气体处于

平衡态

平衡过程

理想的平衡状态是不存在的,如果在气体状态变化很小时:视为近似平衡态即平衡态。

扩散终了

气体处于

平衡态


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P1

V1 =

P2

V2

……

=常量

2

P

P

·1

·

等温线

1

· 2

0

0

V

V

三、气体的三大实验定律

1、玻意耳-马略特定律(玻-马定律Boyle)

a、前提:温度不变 △T=0

b、规律:

等温过程

在PV 图中向右上方漂移的等温线上的温度来得高。

c、图示:

·


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等压过程

P

1

2

·

·

V1

V2

……

=常量

T1

T2

0

V

V1

V2

2、盖吕萨克定律(Gay-Lussac)

a、前提:压强不变 △P =0

b、规律:

问题:在等压过程中是状态1的温度高还是状态2的温度高?

c、图示:

两种判断说法:

a、体积变大,热胀冷缩吸收热量,温度升高。

b、过点1、点2分别作等温线,点2的等温线在右上方,所以点2的温度高。


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等容过程

·

P

2

P1

P2

……

=常量

·

T1

1

T2

0

V

V

3、查理定律(Charles)

a、前提:体积不变 △V=0

b、规律:

问题:在等体过程中是状态1的温度高还是状态2的温度高?

c、图示:

两种判断说法:

a、压强变大,意味着分子运动加剧,温度升高。

b、过点1、点2分别作等温线,点2的等温线在右上方,所以点2的温度高。


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P1

V1 =

P2

V2

……

=常量

P1

V1

V2

P2

……

……

=常量

=常量

T1

T1

T2

T2

由以上三个实验定律整合后

就可以得到理想气体的状态方程。

凡是在任何情况下都遵守三大实验定律和阿伏伽德罗定律(在同样的温度和压强下,相同体积的气体含有相同数量的分子)的气体叫做理想气体。


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P1

V1

P2

V2

……

=常量

T1

T2

理想气体的状态方程

理想气体的状态方程的适用前提:

a、温度不太低(与室温相比)

b、压强不太大(与大气压相比)

c、研究对象的气体质量要始终不变。

研究对象的气体质量,如果在平衡过程中变化,那么要运用另一个状态方程:

理想气体的状态(物态)方程


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四、理想气体的状态方程

也称

R

=

8.31

克拉伯珑

m

´

p

V

=

R

T

-1

-1

.

方程

J

mol

.

K

M

普适气体衡量

m

´

p

V

=

R

T

M

mol

m

´

气体的质量

=

气体的摩尔数υ

m

M

气体每个分子的质量

气体的摩尔质量

mol

在0oC 和标准大气压时

N

体积V 中的气体分子数

m

´

m

气体的分子数密度

N

N

2 .69 ×1025/m3

n

气体的分子数密度

气体的分子数密度

洛西密脱数

V


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m

气体每个分子的质量

N

任何气体1mol 中的气体分子数

A

阿伏伽德罗常数

m

N

M

6 .02 ×1023/mol

A

mol

m N

R

T

m N

A

m

´

p

V

=

R

T

R

N

M

p

T

mol

V

N

A

玻耳兹曼常数

p

k

n

T

1 .38 ×10-23J/k

理想气体物态方程另种表示

注意:

1.方程只适用于平衡态。

2.对于非理想气体(真实气体)并不遵守此方程。


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C

C

测温计C 先与A 接触,达到热平衡,C上有一个读数。

测温计C 再与B 接触,达到热平衡,C上有一个读数。

绝热板隔离

A

B

五、热力学第零定律

1、什么叫热平衡?

如果两个物体的温度不同(即有温差)当它们相互接触的过程中,温度高的物体要向温度低的物体传递热能,直到两者的温度相等为止,我们将这种过程称谓热平衡(过程)。

若C上的两个读数相同,则A、B两物体也达到了热平衡


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物体A 和物体B 分别与物体C 处于热平衡状态,则A、B 之间也处于热平衡,这个规律称:

A

B

热力学第零定律。

2、热力学第零定律

例题:有水银气压计,当水银柱为0.76米高时,管顶离水银柱液面为0.12米,管的截面积为2.0×10-4米2,当有少量的氦气混入水银管的顶部,水银柱的高度下降为0.60 米,已知此时的温度为270C,求:(1)有多少质量的氦气混入顶管部?(2)混入的氦气的分子数是多少? (3)分子数密度是多少?


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解:已知氦气的摩尔质量为4×10-3Kg

0.76m水银柱高=1.013×105Pa

×

P

0.76

0.60

1.33×105

0.213×105(Pa)

m

´

p

V

=

R

T

V

0.28×2.0×10-4

0.56×10-4 (m)3

M

mol

0.76 m

0.60m

T

273+27=300k

由:

研究对象:混入管顶的氦气。确定其P、V、T

(1)有多少质量的氦气混入顶管部?

0.28米是指原有的0.12米与水银柱高度下降了0.16米。


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p

M

m

´

V

m

m

m

´

´

´

mol

p

V

=

R

T

由:

M

R

T

mol

×

×

0.213×105

0.56×10-4

4×10-3

8.31×300

1.92×10-6Kg

×

1.92×10-6

6.02×1023

N

×

NA

M

4×10-3

mol

2.87×1020

2.87×1020

N

n

5.18×1024

个/米3

V

0.56×10-4

(2)混入的氦气的分子数是多少?

(3)分子数密度是多少?


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p

10atm=

10×1.013×105Pa

1.013×106Pa

273+47=320 (K)

T

例题:一个钢瓶内有0.1千克的氧气,此时气压表读数是10 个atm,温度是470C,现在因为钢瓶的开关失灵损坏而漏气,一段时间后,压强减少到原来的八分之五,温度下降到270C,求(1)钢瓶的容积?(2)漏掉多少氧气?

解:以钢瓶里的气体作为研究对象,考虑到气体漏掉,质量在变,所以用克拉伯珑方程

已知:


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0.10 (Kg)

M

32×10-3 (Kg)

´

m

mol

m

´

V

=

R

T

p

M

mol

0.10×8.31×320

V

32×10-3 ×

1.013×106

m

´

p

V

=

R

T

8.20×10-3 (m)3

这是钢瓶的容积

M

mol

5

p

´

×1.013×106(Pa)

8

´

273+27=300(K)

T

由:

(2)漏掉多少氧气?

还是将漏掉气体后剩下的气体作为研究对象

漏气体后:


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V

´

V

剩下的气体仍然充满整个钢瓶

p

´

V

M

mol

M

M

R

´

T

p

V

=

R

T

M

5

mol

×

×1.013×106×

8.20×10-3

32×10-3

8

8.31× 300

6.70×10-2(Kg)

33 (g)

△M

m

由:

´

M

0.10-0.067=0.033(Kg)

设 :M 为钢瓶中剩下的气体的质量


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例题:容积为V =30L 的高压钢瓶,装有压强为P =130atm的氧气,做实验每天用去压强P1=1atm 和体积V1= 400L 的氧气,规定钢瓶内的气压不能下降到P =10atm以下,以免开启阀门时混进空气,试求:这瓶氧气使用几天后就需要重新充气?

´

解一:设瓶内原装的氧气质量为m ,重新充气时瓶内剩余氧气的质量为m,每天用氧的质量为m1。

´

m

p

V

=

R

T

可得:

由:状态方程

M

mol

本题有多种求解方法。


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p

V

m

M

M

M

R

T

mol

mol

mol

p

p

´

´

p

V

V

´

m

m

1

1

R

T

1

R

T

´

m

p

´

m

p

V

(

)

m

p

V

1

1

1

30

(

130

10

)

9(天)

40

1

×

解二:将满瓶的氧气换算成

10atm

时的

体积,并设为x


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解二:将满瓶的氧气换算成

10atm

时的

体积,并设为x

p

V

x

则:

p

p

p

´

´

´

T

T

p

V

130×30

x

390 (L)

10

实际用去的氧气在

10atm

时的体积为

再换算成

时的体积为

1atm

360×10=3600

(L)

3600

9 (天)

400

390 -30=360 (L)


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解三:将该换气时瓶内剩余的氧气,换算成原来压强时的体积,并设为

p

V

V

p

V

p

V

´

´

´

´

´

则:

T

T

V

10×30

30

(L)

p

130

13

而实际用去的氧气在

130atm的体积为

30

360

30-

(L)

13

13

360

再换算成1atm时的体积:

×130=3600

13

(L)

3600

9(天)

400


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p

由物态方程:

n

kT

p

1.013×105

n

2. 44×1025

kT

1. 38×1023 ×

300

m3

p

M

1.013×105 ×32× 10-3

M

ρ

V

8. 31×300

RT

例题:一个容器内储有氧气,其压强为1atm,温度是270C,求(1)单位体积的分子数 (2)氧气的密度(3)分子间的平均距离(设分子是均匀等距离排列的,可视为小立方体)。

解: (1)单位体积的分子数

(2)氧气的密度


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p

M

1.013×105 ×32× 10-3

M

ρ

V

8. 31×300

RT

1. 30 (kg/m3)

3

1

d

3

V

d

n

o

3

1

2.44×1025

3.45× 10-9(m)

(2)氧气的密度

(3)分子间的平均距离(设分子是均匀等距离排列的小立方体)。


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L1

L2

例题:汽缸的活塞原先在中间,两侧的长度L1 = L2,当两侧分别充有压强是一个大气压、温度是680 K的氩气和压强是两个大气压、温度是280 K的同种氩气后,过一段时间达到平衡,问:气体平衡时,活塞将在什么位置上?

即:


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m

´

p

V

=

R

T

由状态方程:

M

mol

m

p1

=

SL1

R

T1

M

mol

m

p2

=

SL2

R

T2

M

mol

´

m1

p1

T2

1.013×105 ×280

p2

´

m2

T1

2.026×105 ×680

7

34

解:∵汽缸的截面积相同 ∴V=SL

理由:同种气体、原先活塞在中间

相比后:


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´

´

´

´

当平衡时:

T1

T2

P1

P2

´

´

´

P1

T2

L 1

7

´

´

´

m2

34

P2

T1

´

L 2

´

L 1

7

´

34

L 2

´

m1

气体平衡时,活塞所在位置距离的比值


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f (v)

73K

O2

273K

1273K

500

1000

1500

v

§12 – 2理想气体的

压强公式

物质的微观模型 统计规律性

理想气体的压强公式


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物质的微观模型 统计规律性

自然界中宏观物体都是由大量的、不停息.

运动着的、彼此有相互作用的分子、原子

组成。其中有单原子组成的分子、双原子组成的分子和多原子组成的分子,它们的结构不同,尺度也不同。

对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时,必须用统计的方法。

现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它们在物体中的排列情况, 例如 x光分析仪,电子显微镜, 扫描隧道显微镜等.


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利用扫描隧道显微镜技术把一个个原子排列成 IBM 字母的照片.

一、分子线度和分子力

1、气体分子运动论的实验基础

a 、分子之间有间隙(向球内打气)

b 、分子有扩散运动(香味四散)

c 、分子不停顿的紊乱运动(布朗运动可比拟)

d 、分子之间有作用力(与分子间的距离有关)

2、气体分子线度


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★标准状态下氧分子的直径

-

10

m

d≈

3

×

10

★标准状态下氧分子的间距≈分子线度的10倍

★标准状态下每个氧分子占有的体积V≈氧分子本身体积的1000倍。所以可把气体分子视为大小忽略不计的质点。

3、气体分子之间的分子力

气体可以压缩,但不能无限制的压缩

固体能变形或断开,但要借助于外力。

说明分子之间存在相互作用的引力和斥力(同时存在),实际表现出来的是它们的合力。其大小与物体分子的间距有关。


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o

★当r =ro (10-10m=1A)

= 0

F

f

f

f

f

f

f

★当r <ro

引力

F

F

F

F

·

f

f

f

f

f

f

o

ro

r

(物体不易被压缩)

★当10ro >r>ro

斥力

★当r>10ro

都很小

= 0

(物体不易被拉伸)

二 分子热运动的无序性及统计规律性

理想气体分子的微观物理模型


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(1)分子间发生的碰撞是完全弹性的

(2)除碰撞外不计分子间的作用力

(3)分子本身线度远小于分子间距

(4)每个分子遵守牛顿定律

(1)分子沿各方向运动机会相等

(2)分子速度沿各方向分量的各种平均值相等

2

v

v

2

2

2

v

v

v

v

v

v

z

x

y

x

z

y

3

3

1. 理想气体分子微观模型假设:

经典力学方面的假设

统计力学方面的假设


7031067

450

m/s

v

气体分子的运动速度

-

9

7

z

10

/

l

10

m

s

气体分子的平均自由程

气体分子的碰撞频率

2. 理想气体分子热运动的统计规律性

热运动:大量实验事实表明分子都在作永不停止的无规运动 .

例 : 常温和常压下的氧分子

★统计规律性:对大量分子而言,在偶然、无序的分子运动中,包含着一种规律性.

以下是说明统计规律的模拟实验:


7031067

投骰子实验

每次下投,不能预知向上的点数是多少,1点到6点都有可能,纯属偶然事件。但是如果下投的次数是无数次,则有规律:

每一面朝上的概率都是1/6


7031067

飞镖实验


7031067

中标点的分布曲线

无数多次中标点的分布

每次中标点的位置是不可知的,是偶然的次数无数多,即显示规律性


7031067

伽尔顿板实验

伽尔顿板实验

小球数按空间

位置 x 分布曲线

x

x

Δ

N

x

x

x

Δ

Δ

的粒子数

+

.

.

.

.

.

.

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小球落入其中一

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格是一个偶然事件。

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.

大量小球在空间的

分布服从统计规律。


7031067

设 为第i 格中的粒子数 .

粒子总数

统计规律: 当小球数 N足够大时小球的分布具有统计规律.

概率:粒子在第 i 格中出现的可能性大小

归一化条件


7031067

y

三、压强公式的推导

第i 个分子与器壁A碰撞

l

mv

2

一次获得的动量增量:

ix

i

P-Po

=

mv

o

l

ix

x

mv

mv

x

3

ix

ix

l

1

2mv

=

ix

z

2mv

v

ix

ix

I =

P-Po =

1个来回所需要的时间

1秒钟的碰撞次数

1

v

2

l

ix

△t

1

△t

2

l

1

A

第i 个分子一次碰撞给予器壁的冲量值:


7031067

第i 个分子一次碰撞对器壁的冲量:

I

Δ

t

由冲量定义

I

=

F

=

F

Δ

t

I

1

I

=

F

=

Δ

Δ

t

t

N

Σ

2mv

i

=

1

ix

mv

2

ix

v

F

1秒钟的碰撞次数

1

v

mv

2

=

ix

ix

l

2mv

ix

=

△t

ix

1

2

l

2

l

l

1

1

1

1秒钟给予器壁的冲量=第i 个分子给器壁的冲力

第i个分子给器壁的冲力

N 个分子的平均冲力:


7031067

l

S

2

F

mv

2

ix

F

=

l

l

3

1

l

1

mv

2

ix

Σ

l

mv

2

F

N

N

N

ix

p

Σ

Σ

1

=

=

=

S

l

l

l

N

l

l

i

i

=

=

1

1

1

3

2

3

2

n

m

v

=

2

x

N 个分子的平均冲力:

N 个分子给予器壁的压强:

(n:分子数密度)


7031067

p

nmv

2

=

x

v

2

v

v

v

2

2

2

v

=

=

2

=

x

y

z

x

3

v

v

v

v

2

2

2

2

+

+

=

x

y

z

2

1

v

2

p

m

v

n

2

(

)

nmv

nm

=

2

=

=

x

3

3

2

v

v

v

v

2

2

2

2

+

+

+

...

+

1

1

2

3

N

v

ε

2

=

m

v

2

=

N

2

k

由统计力学的假设

式中

分子热运动

平均平动动能


7031067

1

p

m

v

2

=

2

ε

ε

2

k

k

p

n

=

3

2

1

m

v

n

2

(

)

=

ε

3

2

(微观量)的统计平均值

联系起来,从

k

压强公式

压强公式将宏观量p和分子的平均平动动能

而说明了压强的微观本质。分子的数密度越大,压强越大;分子的平均平动动能越大,说明分子的活动性越强,相互碰撞越剧烈,压强也越大。压强是一个宏观量、统计量。说个别分子产生压强是无意义的。


7031067

例题:在一密闭容器内,储有A、B、C三种理想气体,A 气体的分子数密度为n1它产生的压强为P1,B 气体的分子数密度为2n1,C 气体的分子数密度为3n1,则混合气体的压强为

(A)3P1(B)4P1(C)5P1(D)6P1

解:

P = P1 + P2+ P3

= n1kT + 2n1kT + 3n1kT

= 6 n1kT = 6P1


7031067

§12 – 4平均平动动能与温度的关系

由理想气体的状态方程和压强公式可以得到气体的温度与分子的平均平动动能之间的关系,从而说明宏观量温度的微观本质。


7031067

m

´

´

p

V

R

T

m

=

N

m

M

=

N

m

=

mol

M

A

mol

m

R

T

N

m

R

T

N

R

给定

p

每个气体

=

(

)

T

=

=

阿伏伽德罗

理想气体

M

V

N

m

V

V

N

分子的质量

常数

mol

的质量

A

A

´

R

23

1

1.38

10

J.K

k

=

=

×

N

A

平均平动动能与温度的关系

玻尔兹曼恒量k


7031067

理想气体

p

的物态方程

2

p

n

=

3

ε

ε

k

k

3

=

kT

2

N

R

p

=

=

n

n

kT

kT

3

=

(

)

T

1

2

V

N

e

=

=

v

m

KT

0

2

2

k

宏观可测量的量

微观量的统计平均值

是理想气体压强公式的另一种表示形式

已知压强和分子平均平动动能的关系

比较这两式得:

分子平均平动动能


7031067

3

1

2

=

v

m

KT

2

2

(1) 温度是分子平均平动动能的量度

(反映热运动的剧烈程度)。

e

e

k

k

(2)温度是大量分子的集体表现,对个别

ε

分子来说它有多少温度是无意义的。

k

3

=

kT

(3)在同一温度下,各种气体分子平均

2

平动动能均相等.(与第零定律一致)

3

e

KT

…….

1

2

3

2

k

温度的物理意义:

各种气体在平衡态时,温度相同,则平均平动动能也相同


7031067

1

3

mv

kT

2

=

2

2

3

kT

3

RT

=

=

v

2

m

M

mol

RT

1.73

=

M

mol

为什么说与第零定律一致?

处于平衡状态的两种气体,若其分子的平均平动动能相等,则该两种气体的温度也必然相等。当这两种气体相互接触时,将没有宏观的能量传递,它们各自处于热平衡状态。温度是表征气体处于热平衡状态的物理量。

由:

方均根速率:


7031067

在00时气体分子的方均根速率

O

2

N

2

摩尔质量

气体种类

方均根速率

H

2

CO

2

32.0

H

4.61×102

O

2

28.0

4.93×102

1.84×103

m.s-1

2.02

(

)

3.93×102

44.0

6.15×102

18.0

10-3 kg.mol-1

(

)


7031067

例题:一容器内气体的温度为270C,

(1)压强为1.013×105 Pa时,在1m3

求:

体积中的分子数;

p

(2)在高空中压强为1.33×10-5Pa 时

1.03×105

n

=

2.45×1025 (m-3)

=

=

1

kT

在1m3体积中的分子数。

1.38×10-23×300

p

1.33×10-5

3.21×1015 m-3

n

=

=

=

2

kT

1.38×10-23×300

n

1

7.63×109

=

n

2

解:

分子数密度之比


7031067

3

1.38×10-23×1273

=

×

2

2.63×10-20 (J)

=

3

ε

kT

=

2

k

3×8.31×1273

=

28×10-3

3

RT

=

M

v

2

mol

1.06×103 (m.s-1 )

=

例题:求氮气分子的平均平动动能和方均根速率,设 (1)t =1000 0C, (2)t =0 0C (3)t = -150 0C.

解:(1)t =1000 0C


7031067

3

kT

=

2

2.55×10-21 (J)

5.65×10-21 (J)

=

=

ε

ε

k

k

3

kT

3

3

RT

RT

=

=

=

2

M

M

v

v

2

2

mol

mol

493(m.s-1 )

331(m.s-1 )

=

=

(2)t =0 0C

(3)t =-150 0C


7031067

温度

平均平动动能

方均根速率

m.s-1

J

0C

1000

2.63×10-20

1.06×103

-150

331

2.55×10-21

0

493

5.65×10-21

氮气分子的平均平动动能

和方均根速率


7031067

例题:在一密闭容器内,储有A、B、C三种理想气体,A 气体的分子数密度为n1它产生的压强为P1,B 气体的分子数密度为2n1,C 气体的分子数密度为3n1,则混合气体的压强为

(A)3P1(B)4P1(C)5P1(D)6P1

解:

P = P1 + P2+ P3

= n1kT + 2n1kT + 3n1kT

= 6 n1kT = 6P1


7031067

P

P

n

n

=

=

解:由

nkT

=

P

1

kT

2

kT

1

2

n

T

288

2

=

=

1

n

T

300

1

2

n

288

12

2

=

=

=

=

1

1

0

.

04

4

%

n

300

300

1

例题:室内生起炉子后,温度从150C 上升到270C,设升温过程中,室内的气压保持不变,问升温后室内分子数减少了百分之几?


7031067

解:

(1)

1

3

2

5.31×10-26×400

mv

mv

kT

2

2

=

T

205(k)

2

2

3×1.38×10-23

3k

p

=

n

kT

1023

×

1.38×10-23

10×10-3

×205

0.283105 (Pa)

例题:有质量为5.31×10-26kg的分子1023个储于10升容器中,它的均方根速率是400m/s求:(1)气体的温度是多少? (2)气体的压强 (3)气体的总分子平动动能是多少?

(2)气体的压强


7031067

3

3

kT

=

×

N

=

×

1023

2

2

1.38×10-23 ×205

解:

(1)

=

424.4 (Pa)

E

k

p

=

n

kT

单位体积内的分子数

(3)气体的总分子平动动能是多少?

例题:容器内有氧气,其压强P=1atm,温度t=27oC。求;(1)单位体积内的分子数(2)分子的质量(3)氧气的密度(4)分子的方均根速率(5)分子的平均平动动能。


7031067

p

1.013×105

n

=

=

kT

1.38×10-23 ×300

=

2.45×1025/m3

32×10-3

M

m

mol

=

=

=

5.31×10-26

N

6.02×1023

(kg)

p

M

=

n

kT

mN

ρ

m

=

=

n

=

V

V

×

=

2.45×1025

5.31×10-26

1.30(kg/m3)

=

(2)分子的质量

(3)氧气的密度


7031067

3

RT

8.31×300

=

=

1.73

v

2

M

32×10-3

mol

ε

k

3

3

kT

=

×1.38×10-23 ×300

=

2

2

6.21×10-21 (J)

=

4.83×102(m.s-1 )

=

(4)分子的方均根速率

(5)分子的平均平动动能。


7031067

§12 – 5 能量均分定理

理想气体

的内能

在热力学中,从宏观上把系统与热现象有关的那部分能量称为内能,并知道内能是系统的状态量

在研究气体的能量问题时,不能简单地把分子看作为质点。分子具有一定的形状和结构,分子的热运动也不仅仅是平动,还应该包括转动以及振动。


7031067

y

(x、y、z)

o

x

z

能量均分定理 理想气体的内能

一、什么叫自由度?

在气体动理论中

在数学上,确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。称为该物体的自由度数。

分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度。“i”

1.质点的自由度

确定质点位置的独立坐标数是三个x、y、z

∴自由度i =3


7031067

M

x

y

z

(

)

1

1

1

1

刚性杆子

M

x

y

z

(

)

M

2

2

2

2

2

M

1

l

(

x

y

l

x

y

z

z

=

)

(

)

(

)

2

2

2

+

+

2

1

2

1

2

1

飞机:自由度为3

(经度、纬度、高度)

2.刚性杆子的自由度

约束条件:

6 个坐标中只有 5 个是独立的。


7031067

3.刚体的自由度

z

P

P

绕GP 转角:

θ

γ

+)

θ

a

β

7

.

γ

cos

cos

cos

1

2

2

2

a

β

+

+

=

G

o

y

x

平动自由度 3个

G :x, y, z

3

GP :a ,β,γ

3

1

约束条件:

独立坐标数:

7-1 = 6

刚体自由度数=6

转动自由度 3个


7031067

火车

被限制在一曲线上

运动,自由度为1;

轮船

被限制在一曲面上

运动,自由度为2,

(经度、纬度)


7031067

=

υ

自由度数目

i

t

r

平动

转动

振动

为研究问题方便:把理想气体分子视为刚性分子处理。

化学键(有弹性)

刚性杆(无弹性)

气体分子的自由度用“i”表示

理想气体分子有单原子组成、双原子组成三原子以及多原子组成。


7031067

自由度

转动

平动

i

单原子分子

3

0

3

i

5

2

3

双原子分子

i

6

3

3

三原子(多原子)分子

单原子分子

双原子分子

多原子分子

4.刚性分子的自由度i


7031067

1

3

ε

kT

=

mv

=

2

2

2

k

v

v

v

v

2

2

2

2

v

v

v

=

+

+

2

2

2

=

=

x

y

z

x

y

z

1

1

1

1

1

1

mv

mv

mv

kT

kT

kT

2

2

2

+

+

=

+

+

y

z

x

2

2

2

2

2

2

1

1

1

3

1

mv

mv

mv

kT

kT

2

2

2

=

=

=

=

x

z

y

2

2

2

2

2

二、能量按自由度均分定理

由理想气体分子的平均平动动能和温度的关系

按统计规律

这也是单原子分子的平均能量∵它无转动、不考虑振动。


7031067

1

e

×

=

3

kT

2

分子平均平动动能

1

1

1

e

=

2

2

2

v

v

v

m

m

m

+

+

2

Cx

Cy

Cz

2

2

kt

m2

c

·

分子平均转动动能

y

x

m1

1

1

ε

m2

c

·

2

2

=

w

+

w

J

J

kr

y

y

z

z

2

2

m1

z

单原子分子平均能量

刚性双原子分子


7031067

i

ε

kT

=

2

1

1

1

1

mv

mv

mv

kT

2

2

2

=

=

=

x

z

y

2

2

2

2

1

分子每一自由度所占有的能量都为

kT

2

能量按自由度均分原理:处于平衡态的气体

三、理想气体的内能

分子热运动的平均动能

i=3 平动自由度 i=5(平动自由度3+转动自由度2)

理想气体内能:

系统中所有分子热运动动能之总和。

(不包括分子间相互作用的能量)


7031067

理想气体:

E = E (T)

´

m kg理想气

体的内能:

m

´

i

E

RT

=

2

M

,

E

0

¹

2. 在实际上当

T = 0

mol

i

i

E

N

kT

RT

=

=

mol

2

2

A

1mol 理想气体的内能:

特别注意:

  • 1. 内能 是气体状态的单值函数

在o 度时分子也有热运动,也还具有能量。


7031067

例题:一瓶氦气和一瓶氮气密度相同, 分子平均平动动能相同, 而且它们都处于平衡状态, 则它们:

i

kT

2

(A)温度相同、压强相同.

(B)温度、压强都不同.

(C)温度相同, 但氦气的压强大于氮气的压强.

(D)温度相同, 但氦气的压强小于氮气的压强.

例题:根据能量按自由度均分原理,设气体分子为刚性分子,分子自由度数为 i则当温度为 T时,

(1)一个分子的平均动能为 .

RT

(2)一摩尔氧气分子的转动动能总和为.


7031067

例题:两种气体自由度数目不同,温度相同, 摩尔数相同,下面哪种叙述正确:

(A)它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同;(B)它们的平均平动动能、平均动能、内能都不同.(C)它们的平均平动动能相同,平均动能、内能都不同;(D)它们的内能都相同,平均平动动能、平均动能都不同;

例题:有两个相同的容器,容积不变. 一个盛有氦气 , 另一个盛有氢气(看成刚性分子), 它们的压强和温度都相等, 现将 5J的热量传给氢气, 使氢气的温度升高, 如果使氦气也升高同样的温度, 则应向氦气传递的热量是

(A)6J (B)6J (C)3J (D)2J


7031067

例题:请说出下列各式的物理意义:

1

KT

2

3

KT

2

i

KT

2

i

RT

2

m

i

RT

M

2

mol

5

iRT

理想气体分子在一个自由度上的均分能量

理想气体的平均平动动能

自由度为i 的理想气体分子的平均动能

一个摩尔理想气体的内能

m千克理想气体的内能

10个摩尔理想气体的内能


7031067

例题:设有一恒温容器,其内储有某种

(1) 气体的压强是否变化?为什么?

(2) 容器内气体分子的平均平动动能是否

(3) 气体的内能是否变化?为什么?

理想气体,若容器发生缓慢漏气,问:

变化? 为什么?

n

n

(1)

=

P

RT

PV

3

e

=

(2)

kT

,

不变

\

Q

2

k

i

n

(3)

n

E

RT

=

E

2

解:


7031067

m

´

i

E

RT

=

2

M

mol

容器突然停止运动后,气体作宏观定向运动

其动能转化为分子无规则热运动能量,因而温度升高。

由:

得:

m

´

5

R△T

△E

=

2

M

mol

例题:在一个以匀速率 v=100 米/秒直线运动的体积是0.01米3容器中,盛有温度为27oC、分子质量为0.1kg 的氮气,若使容器突然停止运动,则气体状态达到平衡后,其温度的增量T和压强增量△P 各为多少 ?

解:在常温下,可以把氮气视为刚性双原子分子


7031067

而定向直线运动的动能为:

´

1

ε

m

1

´

m

´

=

mv

2

5

´

p

V

=

R

T

m

v

由题意得:

2

=

2

R△T

k

M

2

2

M

mol

1002×28×10-3

△T

6.7(k)

5×8.31

温度的增量T

由:

得:

m

´

△p

V

=

R

△T

M

0.1×8.31×6.7

m

△T

R

´

△p

M

V

28×10-3×0.01

19884.6(Pa)

压强增量△P


7031067

例题:某容器内有0.3mol 的气体T =273k,P =101.3Pa,密度为1.25g/m3求: (1)该气体的摩尔质量(2)气体分子运动的均方根速率 (3)气体分子的平均平动动能、平均转动动能(4)单位体积内气体的总平均动能(5)内能。

m

m

ρ

解:由

p

V

=

R

T

M

V

ρ

R

T

V

得:

M

8.31×273

1.25×10- 3 ×

p

V

101.3

28×10- 3(kg/mol)

可知是氮气。

(1)该气体的摩尔质量


7031067

3

RT

3×8.31×273

=

=

v

2

M

28×10- 3

mol

= 493 (m/s)

3

ε

=

KT

=

1.5× 1.38×10-2 3×273

2

k

=

5.65×10-2 1 (J)

2

ε

=

KT

=

1.38×10-2 3×273

2

r

=

3.77×10-2 1 (J)

(2)气体分子运动的均方根速率

(3)气体分子的平均平动动能

平均转动动能

(4)单位体积内气体的总平均动能


7031067

5

ε

=

KT

=

2.5× 1.38×10-2 3×273

2

p

=

9.42×10-2 1 (J)

p

101.3

n

=

=

kT

1.38×10-2 3×273

=

2.69×102 2/m3

ε

n

E

2.69×102 2

=

=

×9.42×10-2 1

=

n

kT

=

253.4 (J/m3)

i

m

……

1701.5(J)

E

=

=

R

T

=

2

M

气体的总平均动能

单位体积内气体的总分子数:

(4)单位体积内气体的总平均动能

(5)内能


7031067

v

§12– 6麦克斯韦

分子速率分布定律

在给定的温度下,处于平衡态的气体,个别分子的速度是偶然的,但是对于大量分子来说它们的速率是有一定的分布规律的。1859年麦克斯韦在概率理论的基础上导出了分子速率分布定律。

1859年施特恩实验证实

1920年葛正权实验证实


7031067

j

v

ω

ω

L

j

L

L

ω

t

=

t =

得:

v

t

=

t

,

=

ω

v

j

1

2

1

2

只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。

ω

通过改变

可获得不同速率区间的分子。

麦克斯韦分子速率分布定律

分子速率分布的测定—— 斯特恩实验

金属

蒸汽

方向选择

速率选择器


7031067

速率区间

百分数

(m/s)

1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律

1.4 %

100

8.1 %

100-200

16.5 %

200-300

21.4 %

300-400

20.6 %

400-500

1920年斯特

15.1 %

500-600

恩从实验上

9.2 %

600-700

证实了速率

4.8 %

700-800

分布定律。

2.0 %

800-900

900

0.9 %

速率很大或很小的分子占少数


7031067

一、麦克斯韦分子速率分布定律

v

v

v

N :

Δ

Δ

的分子数

+

N

Δ

v

v

v

的分子数占总分子数的百分比

Δ

+

N

气体分子速率分布函数曲线图

f

(v)

N

Δ

f

(v)

lim

=

N

v

Δ

v

Δ

0

dN

1

=

N

dv

o

v

1、认知几个符号(物理意义)

速率分布函数:

物理意义:气体分子的速率处于v 附近单位速率区间的概率,也称概率密度。


7031067

2

2

mv

mv

v

v

2

2

3

2kT

2kT

m

2

π

=

4

e

π

2

kT

dN

3

m

2

π

=

4

e

dv

f

(v)

π

2

kT

N

速率分布函数物理意义

麦克斯韦速率分布定律

1859年麦克斯韦从理论上导出在平衡态时气体分子的速率分布函数的数学形式:

一定量的理想气体,处于平衡态时,分布在速率区间v-v +dv 的分子数占总分子数的百分几率


7031067

f

(v)

dN

.

f (v)dv

d

v

=

dN

N

dv

f (v)=

N

dv

dN

=

N

o

v

v

dv

表示

v

v

的速率区间内的分子数

dv

+

图中小矩形面积表示:

占总分子数的百分比。

(也称概率)


7031067

f

(v)

ò

f (v) dv

1

=

0

o

v

其几何意义是:曲线下的总面积等于1

每个小矩形的面积表示某一速率区间内的分子

数占总分子数的百分数。

其物理意义是所有速率区间内的

分子数占总分子数的百分

比之和应等于1。

归一化条件:


7031067

f

(v)

dN

.

f (v)dv

d

v

=

N

dv

dN

o

=

v

v

v

N

2

1

v

ò

2

f (v)dv

表示

v

v

的分子数占总分

v

2

1

1

v

ò

2

f (v)dv

表示

v

v

的分子总数。

N

v

1

2

1

子数的百分比。


7031067

分布函数曲线

f (v)

T 低

和温度的关系

T 高

0

v

对于给定的同一种气体,温度升高,气体分子热运动加剧,速率较大的分子数增加,分布曲线的最高点向速率大的方向移动。但是为了满足归一化条件(即两次曲线下的面积应相等),所以曲线变得较为平坦。


7031067

f (v)

分布函数曲线和

m大

分子质量的关系

m小

0

v

对于不同种类的气体,在相同的温度下,摩尔质量小的气体分子运动相对比较剧烈,所以,运动速率较大的分子数占百分比较多,但是为了满足归一化条件(即两次曲线下的面积应相等),所以曲线变得较为平坦。


7031067

f (v)

73K

O2

273K

1273K

v

500

1000

1500

氧气分子分布函数和温度的关系


7031067

...

Δ

Δ

Δ

v

N

v

N

v

N

+

+

+

v

1

1

2

2

N

N

=

N

Σ

v

Δ

N

i

i

=

N

Δ

N

0

i

ò

v dN

dN

v

v

(

)

dv

=

=

N

Ndv

8RT

ò

v f (v) dv

=

=

π

M

0

mol

二、三种速率

1.平均速率


7031067

f (v)

3RT

2RT

得:

v

=

0

=

8

=

ò

p

2

v

v

v f (v) dv

2

M

=

M

0

mol

mol

3RT

=

v

2

M

mol

2. 方均根速率

3. 最概然速率

最概然速率(最可几速率)的物理意义:气体在一定的温度下分布在最概然速率v p 附近的单位速率区间内的分子数最多,占总分子数的百分比最大(概率最大)。


7031067

RT

2RT

v

=

=

1.41

p

M

M

mol

mol

RT

RT

1.73

f (v)

=

M

M

3RT

mol

mol

=

v

2

M

mol

v

=

1.60

o

v

v

v

p

v

2

8RT

v

ò

v f (v) dv

v

v

=

=

π

2

M

p

0

mol


7031067

平均速率

最概然速率

方均根速率

用于讨论气体分子碰撞时的平均碰撞频率和平均自由程

用于研究气体分子速率的分布情况

用于计算气体分子的平均平动动能

三种速率的各自不同用途:

例题:设温度为T0压强为P0 时,理想气体方均根速率为v0求(1)温度T0从200C 升高到3000C,(2)压强加倍,而T=T0(3)摩尔质量增加到3倍时,气体的方均根速率。


7031067

(1)温度T0 从200C 升高到3000C

气体的方均根速率

3RT

3RT

3RT

=

=

=

v

v

v

2

2

2

M

M

M

mol

mol

mol

3000C

573

=

=

1.4

293

200C

例题:设温度为T0压强为P0 时,理想气体方均根速率为v0求(1)温度T0 从200C 升高到3000C,(2)压强加倍,而T=T0(3)摩尔质量增加到3倍时,气体的方均根速率。

解:气体已经给定。由则方均根速率的定义

所以,300oC时的方均根速率是20oC时方均根速率的1.4倍:即1.4vo


7031067

3RT

=

v

2

M

1

M

mol

=

mol

=

3

3RT

3

M

mol

=

v

2

M

mol

(2)压强加倍,而T=T0时,气体的方均根速率。

∵方均根速率与压强无关∴在压强加倍温度不变的情况下,其方均根速率不变仍为vo

(3)摩尔质量增加到3倍时,气体的方均根速率。

在温度一定时

所以,摩尔质量增加到3倍时,方均根速率是原来的0.58倍:即0.58vo


7031067

例题:请说出下列各式的物理意义:

在速率v 附近处于速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比

单位体积内速率在v-v+dv区间内的分子数

速率在v-v+dv区间内的分子数

速率在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比

速率在v1-v2区间内的分子数

算术平均速率

方均根速率


7031067

f (v)

f (v)

(1)

(1)

(2)

(2)

0

0

v(m/s)

v(m/s)

(a)

(b)

(a)表示氢气和氧气在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布函数曲线

(b)表示某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布函数曲线

问(a)中哪条表示氢气的曲线,哪条表示氢气的曲线

问(b)中哪条曲线,表示温度较高?


7031067

f (v)

(1)

(2)

0

v(m/s)

(a)

RT

v

=

1.41

p

M

mol

判断技巧:从最概然速率vP 出发:同样温度看摩尔质量,同一气体看温度。

(a)表示氢气和氧气在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布函数曲线

氢气的摩尔质量<氧气的摩尔质量,所以氢气的vp>氧气的vp,因此(2)曲线表示氢气的速率分布函数曲线。


7031067

f (v)

(1)

(2)

0

v(m/s)

(b)

RT

v

=

1.41

p

M

mol

判断技巧:从最概然速率vP 出发:同样温度看摩尔质量,同一气体看温度。

(b)表示某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布函数曲线

同种气体,温度越高,分布在高速率区的分子数百分比就越大,分子运动就越剧烈,分布曲线也就向速率大的方向漂移。即:vp2> vp1,因此(2)曲线表示温度较高的曲线。


7031067

f(v)

(1)

(2)

500

0

v(m/s)

例题:两条曲线分别表示氧气和氢气在同样温度下的麦克斯韦速率分布曲线。则:(1)哪一条曲线是氧气的曲线?哪一条曲线是氢气的曲线?(2)它们的最概然速率各是多少?(3)方均根速率是多少?


7031067

f(v)

(1)

RT

v

(2)

=

1.41

p

M

mol

500

0

v(m/s)

判断技巧:从最概然速率vP 出发:同样温度看摩尔质量,同一气体看温度。

按题意温度相同,而气体不同(O2和H2)所以需要看两种气体的摩尔质量。

∴(2)是表示氢气H2的麦克斯韦分布曲线,(1)是表示氧气曲线

O2的摩尔质量大所以最概然速率来得小, H2最概然速率来得大。


7031067

f(v)

(1)O2

(2)H2

500

0

v(m/s)

v

(

H

)

m

32

P

(

O

)

=

4

2

=

=

2

v

(

O

)

2

m

(

H

)

P

2

2

3RT

2RT

v

=

=

v

p

2

M

M

mol

mol

(2)它们的最概然速率各是多少?

从图中得知02的vP=500m/s

所以H2的vP=4×500m/s=2000m/s

(3)方均根速率是多少?


7031067

得:

RT

RT

v

=

2

=

v

v

v

M

M

p

p

p

2

mol

3

mol

v

2

=

两者相等,得:

2

3

3

=

v

v

v

2

2

2

2

3

×500=612.4(m/s)

=

则O2:

2

H2

3

=

×2000=2449.5(m/s)

2


7031067

f(v)

按题意:

速率分布为:f (v)=kv(0<v≦vo)f (v)=0(v>vo)

kvo

0.5kvo

可以画出左图

vo

0.5vo

v

例题:有N 个粒子,其速率分布为:f (v)=kv(0<v≦vo)f (v)=0(v>vo) 其中k 为常数求(1)作速率分布曲线(2)由vo求k(3)粒子的平均速率(4)速率>0.5vo的分子数占总分子数的百分比(5)若粒子的质量为m ,求粒子的平均平动动能。

解:

(1)作速率分布曲线

0


7031067

1

vo

1

kvo

S⊿=

f(v)

2

2

K=

kvo

0

vo

2

0.5kvo

vo

v

ò

v

f(v)dv

ò

v

k v dv

vo

0.5vo

v

0

0

(2)由vo 求k

求解这个问题一般可以从两个方法入手:1.图形规则的可以用求面积的方法,图形不规则的用积分方法。

由归一化条件,三角形面积=1

(3)粒子的平均速率

根据平均速率的定义


7031067

vo

v

ò

v

f(v)dv

ò

v

k v dv

f(v)

0

0

vo

vo

2

ò

2

ò

v dv

k v dv

kvo

0

0

0.5kvo

vo

vo

3

2

vo

0.5vo

0

3

v

3

0

2

2

用0.5vo-vo的梯形面积

△N

vo

vo

2

2

总S⊿

N

3

1

1

1

kvo

kvo

vo

0.5vo

4

2

2

2

75%

vo

vo

kvo

(4)速率>0.5vo的分子数占总分子数的百分比


7031067

ε

ε

1

1

v

v

=

=

m

m

2

2

k

k

2

2

dN

v

f(v)dv

v

ò

v

ò

2

2

N

0

0

vo

vo

ò

v

2

k v dv

k

ò

v

3

dv

0

0

v

vo

4

2

v

1

4

vo

2

×

k

0

4

v

vo

2

其中 用方均根速率

2

4

2

0

代入下式

1

v

=

m

2

4

o

(5)若粒子的质量为m ,求粒子的平均平动动能。

得:


7031067

f (v)

A

0

v

v0

2v0

例题:N 个假想的气体分子,其速率分布如图所示,当v>2vo时,粒子数为零。求:(1)曲线下面积的物理含义(2)常数A, (3)速率在0- vo、1.5vo- 2.0vo之间的分子数(4)所有N 个分子的平均速率。

解:(1)曲线下面积的物理含义

物理含义:分布在v-2vo速率之间的分子数占总分子数的百分比率为100%

(2)求常数A,

(先要写出分布函数)


7031067

A

v

(

0≤v ≤vo

)

vo

f (v)

A

(

)

0

(

)

f (v)

v ≥2vo

≤v ≤2vo

vo

A

2vo

vo

ò

dv

f

ò

v dv

ò

dv

1

(v)

A

A

vo

vo

0

0

2

因此

A

3vo

0

v

v0

2v0

(2)求常数A,

(先要写出分布函数)

根据分布函数的归一化

(3)速率在0- vo之间的分子数


7031067

f (v)

A

0

v0

2v0

2

1

N1

1

v0

v0

A

3vo

2

2

N

1

因此

N

N1

3

A

vo

vo

vo

ò

ò

dv

v

dv

f

ò

dN

(v)

N

N

N1

vo

0

0

0

(3)速率在0- vo之间的分子数

有两种方法:

★求面积法 ★分析法(积分法)

★求面积法

v

★分析法(积分法)


7031067

f (v)

v0

A

v0

2

A

N

N

3vo

2

2

1

因此

0

N

v0

2v0

N1

3

1

A

S

2.0vo-

1.5vo

N

2

2

A

1

1

vo

vo

vo

0.5vo

N

N

ò

ò

dv

v

dv

f

ò

dN

(v)

N

N

N1

3vo

2

3

vo

0

0

0

(3)速率在1.5vo- 2.0vo之间的分子数

★求面积法


7031067

2.0vo

2.0vo

2.0vo

ò

ò

dv

dv

f

ò

A

dN

(v)

N

N

N2

1.5vo

1.5vo

1.5vo

2

2

2.0vo

-

ò

dv

2.0vo

N

N

(

1.5vo

)

3vo

3vo

1.5vo

1

N

3

A

vo

2vo

ò

dv

f

v

ò

v

v

v

dv

(v)

ò

v

dv

A

vo

0

0

vo

★分析法(积分法)

(4)所有N 个分子的平均速率


7031067

11

2

11

11

2

2

v0

v0

A

v0

3vo

6

6

9

a

f(v)

2

a

A

vo

2vo

ò

dv

f

v

ò

v

v

v

dv

(v)

ò

v

dv

A

vo

0

vo

2vo

3vo

v

0

0

vo

例题:由N 个分子组成的某种气体,其分子速率分布曲线如图所示:(1)用vo表示a 值 。 (2)求0-vo之间的分子数(3)写出速率分布函数表达式(4)求出分子的最概然速率和平均速率。


7031067

1

S =

+

+

=

(归一化)

1

1

7

vo

vo

vo

a

a

a

S =

2

2

4

a

2vo

a

vo

+

+

f(v)

2

a

a

2vo

3vo

+

1

=

2

4

a

1

a

得:

1

则:

=

=

vo

7

2

2

得:

7

vo

a

2

0

vo

2vo

3vo

v

△N

4

△N=

N

用:

=

7

=

N

S

(1)用vo表示a 值

可用求面积的方法:

(2)求0-vo之间的分子数


7031067

f(v)

a

a

a

2

v

(

0≤v ≤vo

)

vo

(

)

0

vo

2vo

3vo

v

f (v)

a

2

v ≥3vo

≤v ≤2vo

vo

0

a

3

a

v

vo

2

2

分子的最概然速率

vP

vo

=

(

)

(

2vo≤v ≤3vo

)

(3)写出速率分布函数表达式

(4)求出分子的最概然速率和平均速率。

平均速率则按照定义:


7031067

A

vo

ò

dv

f

v

ò

v

v

dv

(v)

v

vo

0

0

2vo

ò

v

dv

vo

a

3vo

dv

ò

v

2

2vo

4

其中a =

代入上式a中,再分步积分,可得

vo

7

a

3

a

v

vo

2

32

2

vo

v

21


7031067

ò

f (v) dv

1

=

0

解: 由归一化条件

(1)

vf

ò

ò

dv

dv

1

4πA v2

0

vf

4

0

得:

3

πA vf3

1

∴ A

3

π

vf3

4

例题:设导体中共有N 个自由电子,电子气中电子的最大速率为vf(费米速率)。电子的速率分布函数为: f (v)=4πA v2 (0 ≤v ≤vf )f(v)=0 (v>vf ) 式中的A为常数。求(1)用N 和vf确定A(2)电子气中一个自由电子的平均动能。

(2)电子气中一个自由电子的平均动能


7031067

vf

ò

dv

me

v

f

v

ε

2

0

me

vf

1

2

3

2

ò

dv

v

4πA v

2

2

2

10

5

5

2

0

π

me

vf

5

A

3

π

me

vf

5

(

)

π

vf3

4

me

vf

2

(2)电子气中一个自由电子的平均动能


7031067

u

u

>

2

1

f

u

2

f

下层对上层

的阻力力

u

1

上层对下层

的作用力

由于各层气流 的流速不同,产生相邻两层

气流之间的阻碍气体流动的阻力,称为粘性

力。这种现象称为内摩擦现象。


7031067

h

粘度,粘滞系数

d

流速梯度

u

Δ

d

y

S

相邻两层接触面面积

d

u

f

m

h

Δ

=

S

d

y

粘性力

f

1

ρ

η

v

l

=

3

由气体动理论可得到:


7031067

T

T

1

Δ

S

2

x

Δ

Q

Δ

x

<

T

T

1

2

κ

d

T

温度梯度

热导率(导热系数)

d

x

κ

d

Δ

Q

T

Δ

=

S

d

x

Δ

t

2.热传导现象

热传导现象——气体内部有热量从温度高的

地方传递到温度低的地方


7031067

κ

1

C

ρ

v

l

V

=

3

M

mol

由气体动理论可得:


7031067

3.扩散现象

1

v

l

D

=

3

ρ

ρ小

d

ρ大

d

x

迁移的气体质量

扩散系数

密度梯度

D

ρ

d

Δ

M

D

Δ

=

S

Δ

t

d

x

Δ

Δ

M

M

由气体动理论可得:


7031067

讨论:

(1)

k

8

k

T

T

l

=

v

π

m

π

m

2

d

2

p

1

=

1

=

2

1

v

v

l

m

8

D

=

k

T

2

1

3

π

m

8

2

k

T

v

=

π

m

(2)

µ

3

2

T

µ

1

2

T

µ

T

温度越高,扩散越快。

质量小的分子,

扩散较快。

应用:分离同位素235U、238U

U→UF6(氟化铀气体) →扩散分离

→ 235U、238U


7031067

f(r)

r

d

§ 12-10 实际气体的 范德瓦尔斯方程

斥力

合力

s有效作用距离 ~10-9m

实际分子力示意图

r0

s

引力

r0平衡距离

d分子有效直径 ~10-10m


7031067

实际气体分子都 是由电子和带电的原子核组成的,它们之间总存在相互作用力。对实验结果和理论分析表明,两个分子间的作用力如实际分子示力图所示。即当 r>r0时两分子相互作用表现为斥力。当 r<r0时表现为引力。当两分子相距较远时(r>s)相互作用力几乎为零 。当两个分子中心距离为 d时斥力无限大。

一、分子引力所引起的体积修正:

将气体分子视为刚性球,则分子本身占有体积 ,容器容积应有修正。这时一摩尔气体所占的可被压缩的空间体积不再等于Vm,而应该等于Vm减去一个反映气体分子本身体积的修正项 b。

一摩尔气体

理论指出 b 约为一摩尔气体分子本身总体积的 4 倍。估算 b 值 ~ 10 -6 (m3)=1(cm3)。

注意:通常情况下 b 可以忽略,但压强增大,容积缩小到可与 b 相比拟时,b 的修正就必须考虑了。实际 b 值要随压强变化而变化。


7031067

α

α

s

β

s

气体内压强的产生

二、分子引力所引起的压强修正:

  容器中的α分子 ,凡位于以 α为球 心,以分子有效作用距离 S为半径的球内的分子都对α有引力作用其效果是引力平均值为零。

  处于器壁附近厚度为S的表面层内的分子β由于引力作用的分子分布不对称,平均来说β受到一个指向气体内部的合力。这层气体分子受到的指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强,称内压强pint 。


7031067

气体分子实际作用于器壁的压强

——n分子数密度, a分子引力常数。

三、 范德瓦尔斯方程

一摩尔气体

质量为M 的气体

——Mmol为气体的摩尔质量


7031067

P

D

K

E

C

B

G

汽液共存

A

F

o

Vm

范德瓦耳斯等温线


7031067

The end


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