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函数（三）

函数（三）. 例 1 已知函数 ( a ＞ 0 且 a ≠1) 在其定义域 [ － 1, 1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ___________. 六、幂函数、指数函数与对数函数. 【 讲解 】 由 a ＞ 0 且 a ≠1 知 t ＝ 3 － ax 是减函数，从而 l g (3 － ax ) 也是减函数，故只有 a ＞ 1 时， f ( x ) 才是减函数； 另外， x  [ － 1 ， 1] 时 ， 要保证 3 － ax ＞ 0 ，为此只须考虑最小值：

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Presentation Transcript

  1. 函数（三）

  2. 例1 已知函数 (a ＞0 且a ≠1) 在其定义域 [－1, 1] 上是减函数，则实数 a的取值范围是___________. 六、幂函数、指数函数与对数函数

  3. 【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数； 另外， x [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值： x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0， 则a＜3，综上知1＜a＜3．

  4. 例2 如果不等式 x2－ ＜0 在区间 上恒成立，那么实数a 的取值范围是___________．

  5. 【讲解】 设y＝x2 ① y＝ ② 当a＞1时，函数②在 上取负值， 因此 不可能有x2＜ 成立． 在 上函数①的最大值是 ， 在 上，当0＜a＜1时，②的最小 值是 ，

  6. 在 上，x2＜ 恒成立 当0＜a＜1时，由 ， 得 ∴

  7. 例3.化简 (1) (2) (3) 略解：(1)x的指数是0,所以原式=1 (2)x的指数是=0所以原式=1

  8. (3)原式=

  9. 例4.若 ，求 解：因为 所以f(x)+f(1-x)=1

  10. 解：令121995=a>0则 所以 ¸

  11. 例6.已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R+)若 x1,x2∈R+,试比较 与 的大小 例7.已知y1= ，y2= 当x为何值时 (1)y1=y2(2)y1>y2(3)y1<y2

  12. 例8.对于自然数a,b,c (a≤b≤c)和实数x,y,z,w若 (1)ax=by=cz=70w (2) 求证：a+b=c

  13. 例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足 q-p=29，求证：3<A<4 证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg1984 1000<1984<10000　故3<A<4

  14. 例10.设f(x)=logax (a>0,a≠1)且 (θ为锐角)，求证：1<a<15 证明：∵θ是锐角，∴ 从而a>1又f(15)= =sinθ+cosθ 故a<15　 综合得：1<a<15

  15. 例11.已知0<a<1,x2+y=0，求证： 证：因为0<a<1，所以ax>0,ay>0由平均值不等式 故

  16. 例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b 解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标 设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3log2a+2b=2yM=3

  17. 例13已知函数 f (x)＝|2x －1 －1|, a＜b＜c 且 f (a)＞f (c)＞f (b) ，则必有 (A) a＜b，b＜1，c＜1 (B) a＜1，b≥1，c＞1 (C) 2－a＜ 2c (D) 2a＋2c＜4．

  18. 【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x－1，再下移1个单位得y = 2x－1－1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x－1－1|，图像如下图

  19. 由于在 上，f (x) 是减函数，所 以 a， b，c 不能同时在 上；同理，a，b，c 也不能同时在 上．

  20. 故必有a＜1且c＞1． 从而2a－1＜1，2c－1＞1 ∴ f (a)＝1－2a－1，f (c)＝2c－1－1 ∵ f (a) ＞f (c) ∴ 1－2a－1＞2c－1－1 ∴ 2a＋2c＜4． 故选（D）．

  21. 例14设 mR，关于x 的方程 (a＞0且a≠1) 有几个实根？证明你的结论．

  22. 【解】设y＝ax，则y＞0，且 (y + m)(y2+my+1) = 0 ∴ y =－m ① 或y2+my+1=0 ② 令 ， 则m≤－2

  23. (1) 当m＜－2 时， ① 有正实根，②有两个不等正实根． ∴ 原方程有三个实根； (2) 当m＝－2 时， ① 有正实根，②有一个正实根． ∴ 原方程有两个实根； (3) 当－2＜m＜0 时， ① 有正实根，②无实根． ∴ 原方程有一个实根；

  24. (4) 当m≥0 时， ① 只有负根，而②无实根或实根为负． ∴ 原方程无实根． 综上所述，知

  25. 例15.解方程 (1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0 例16.设a>0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内 解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0(1) 由Δ=4a2-4>0得a2>1,即a>1 令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0 下略

  26. 例16.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数) 解：由[x]的定义知，[x]≤x， 故原方程可变为不等式： lg2x-lgx-2≤0即-1≤lgx≤2 当-1≤lgx<0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg2x=1

  27. 当0≤lgx<1时，[lgx]=0，原方程为 lg2x=2， 均不符合[lgx]=0 当1≤lgx<2时，[lgx]=1，原方程为 lg2x=3，所以 当lgx=2时，x=100 所以原方程的解为

  28. 例18.当a为何值时，不等式 有且只有一解 解：易知：a>0且a≠1， 设u=x2+ax+5，原不等式可化为

  29. (1)当0<a<1时，原不等式为 (1) 由于当u>0时，　　　　　　　 均为单调增函数，所以它们的乘积 也是单增函数 因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1 所以(1)等价于u>4,即x2+ax+5>4 此不等式有无穷多解

  30. (2)当a>1时，不等式化为 (2) 由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4， 即0≤x2+ax+5≤4 从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解 即Δ=a2-4=0，a=2时， 不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x= -1 综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解

  31. 例19.已知a>0且a≠1，试求使方程 有解的k的取值范围 解：原方程即 即

  32. 分别解关于　的不等式、方程得： (k≠0时） 所以　　　　　 解得k< -1或0<k<1 又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾， 故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)

  33. 例20.设f(x)=min(3+ ， ),其中min(p,q)表 示p、q中的较小者，求f(x)的最大值 解：易知f(x)的定义域为(0,+∞) ∵y1=3+　　　　在(0,+∞)上是减函数， y2=log2x在(0,+∞)上是增函数， 而当y1=y2，即 七.函数的最值与函数的值域

  34. 3+=log2x时，x=4， 故当x=4时，得f(x)的最大值是2 另解：f(x)=3+ =3- (1) f(x)=log2x(2) (1)×2+(2)消去log2x， 得3f(x)=6，f(x)=2 又f(4)=2,故f(x)的最大值为2

  35. 例21.求函数 的最小值 解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-∞,0) 令3x=t,则t∈(0,1)，于是 故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23

  36. 例22已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，且 F(x) =a · f (x)+b · g(x)+2 ，若在 (0, +∞)上F(x)有最大值8, 则在(－∞, 0)上F(x) 有 (A) 最小值－8 (B) 最小值－4 (C) 最小值－6 (D) 最大值－8

  37. 【解】设x＜0，则－x＞0， 依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8 ∵ f (x) 和g(x)是奇函数 ∴－af (x)－bg (x)+2≤8 ∴ a · f (x)+bg (x)≥－6 ∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4． 故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4． 应选（B）．

  38. 例23求函数 的值域． 【讲解】 和 这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式． 据这个特点可以演变出下面多种解法．

  39. 【解法1】易知定义域为 0≤x≤1， 0≤x≤1 －x2+x 的值域是 [0， ] 的值域是 [0， ] ∴ 的值域是[1， ]．

  40. ∵ ≤1+x－x+1 ＝2 ∴ 且 时， 等号成立． 【解法2】

  41. 又由0≤x≤1知x2≤x , ∴ ， ∴ 且x＝1或0 时等号成立． 综合以上结果知， 的值域是 [1， ]．

  42. 【解法3】设 ，t[0，1] 则 整理，得2t 2－2yt + y 2 －1=0 由于该方程有非负实根， 所以

  43. 解之，得 ． 当y＝1时x＝1或0， 时， 故两个等号皆成立，故值域为

  44. 【解法4】 ∵ 且 ∴ 设 ， 则 ． ∵ ∴ ∴ ∴值域为[1， ]．

  45. 例24已知函数 , 定义域为 , 且a＜b，求函数的最小值．

  46. 【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，x＝b时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于是猜想，在 上函数递减，当然在 上也是减函数．于是有下面的解法1和2．

  47. 【解法1】 ∵ 0＜x≤a＜b ∴ a · x－b2＜0 且 x－a＜0 ∴ ．且 x＝a时， 等号成立．故y 的最小值为 ．

  48. 【解法2】 令0＜x1＜x2≤a＜b， 则x1－x2＜0 且x1 · x2＜b2， f (x1)－f (x2)＝(x1－x2) ∴ f (x1) ＞ f (x2) 即 f (x) 在 上是减函数， ∴ x＝a 时，y 最小且 ．

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