1 / 59

Introdução à Filtros Digitais

Introdução à Filtros Digitais. Filtros básicos , parâmetros no domínio do tempo e frequência , classificação de filtros. Filtros são usados basicamente para dois propósitos : Separação de sinais combinados ; Restauração de sinal que foi distorcido .

zena
Download Presentation

Introdução à Filtros Digitais

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Introdução à Filtros Digitais Filtros básicos, parâmetros no domínio do tempo e frequência, classificação de filtros

  2. Filtrossãousadosbasicamenteparadoispropósitos: • Separação de sinaiscombinados; • Restauração de sinalquefoidistorcido. • A princípio, a separação e/ourestauração de sinaispode ser realizada com ambos ostipos de filtros, analógicos e digitais. As diferençasbásicassão: • Analógicos • Barato • Rápidos • Grande faixadinâmica (amplitude e frequência) • Digitais • Muitomelhordesempenho. Ex.: Serávisto um filtropassa-baixaquepossuiganho 1±0,0002 entre frequência zero e 1000Hz e um ganho de menosque 0,0002 parafrequênciasacima de 1001Hz. Excelentenão?

  3. Filtros lineares comumente apresentam as curvas abaixo: -3dB : amplitude do sinal cai à 0,707 e a potência é reduzida à 0,5.

  4. DOMÍNIO DO TEMPO Respostaaodegrau Tempo de subida: entre 10% e 90%. Deseja-se o menorpossível. Overshoot: distorçãodainforma- ção. Fase linear: simetria entre as me- tades superior e inferior → res- postaemfrequência com faseli- near.

  5. DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Respostaemfrequência Banda passante: frequências permitidas (ganho 1 geralmente) Frequência de corte: 99%, 90%, 70,7% e 50% da amplitude para filtrosdigitais. Banda de transição: deseja-se a menorpossível. Banda de rejeição: frequências bloqueadas.

  6. DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Respostaemfrequência

  7. A figuraabaixomostra o processo de conversãofiltropassa-baixa → filtropassa-alta. • mudar o sinal das • amostras no kernel • 2. adicionar 1 na • amostra do centro da • simetria. Assim … Passa-alta → Passa-baixa Passa-banda → Rejeita-banda Rejeita-banda → Passa-banda

  8. Por que as modificações no domínio do tempo indicadas, resultam em inversão no espectro de frequência ? • δ[n]-h[n]: inverter sinaldaresposta • impulsiva e adicionar 1 no centro. • Condição: as componentes de baixa • frequência das saídasparciais (antes • do somador) precisamestaremfase. • Para issodeve-se: • filtro kernel original com fase linear • impulsoadicionado no centroda • simetria.

  9. Outro método: spectral reversal !! • mudar o sinal das • amostras no kernel → • multiplicar o filtro por • sin(0,5t) → shift em fre_ • quência de 0,5. • A frequência 0 se torna • 0,5.

  10. Ex.: Filtros passa-banda e rejeita-banda. Cascata: 2 estágios Convolução: 1 estágio Paralelo: 2 estágios Soma: 1 estágio

  11. Classificação de filtros Filtros Digitais Convolução Recursão FIR IIR Melhor desempenho Mais rápido

  12. Filtros Média Móvel Implementaçãopor convolução, redução de ruído, implementaçãorecursiva, passagensmúltiplas.

  13. Implementação por Convolução 1 É feito uma média de um número de pontos do sinal da entrada x[], para produzir cada ponto do sinal de saída y[]: Ex.: O ponto 80 da saída, para um filtro média móvel com M=5 é dado por: 1. O filtro média móvel é uma convolução da entrada com um pulso retangular de área 1.

  14. Ex.: Filtro média móvel com M=4 Note que, • adição • subtração • multiplicação

  15. Redução de ruído versus Resposta ao degrau O filtro média móvel apresenta bom desempenho em muitas aplicações e ótimo desempenho na redução de ruído branco, ao mesmo tempo que preserva a resposta ao degrau. A quantidade de ruído reduzida é igual a raiz quadrada do número de pontos no filtro !!

  16. Resposta em frequência O filtro média móvel possui bom desempenho no domínio do tempo e mal desempenho no domínio da frequência. 1 1. Obtida pela transformada de Fourier do pulso retangular.

  17. Passagens múltiplas no filtro média móvel Consiste em passar o sinal de entrada pelo filtro duas ou mais vezes.

  18. Implementação recursiva É possível implementar um filtro média móvel com um algoritmo rápido. Lembre que a implementação por convolução é lenta !! Ex.: Seja um filtro média móvel com M=7. Dois pontos de saída adjacentes são calculados da seguinte forma: Uma vez que os pontos x[48]....x[53] aparecem em y[50] e y[51], a melhor maneira para calcular y[51] é e assim sucessivamente.

  19. Depois que o primeiro ponto de y[] é calculado, todos os outros são determinados através de 1 soma e 1 subtração, por ponto:

  20. Simulação Implementar um filtro média móvel (recursivo ou não) para filtrar o seguinte sinal: Gerada através do Matlab/Simulink ...

  21. Resultados Optou-se pelo recursivo. Abaixo algumas formas de onda: M=7 M=21 Note os picos do ruído filtrado e a tendência de se tornar onda triangular com o aumento de M !

  22. Filtros Windowed-Sinc (SincJanelado) Estratégia do filtro, projeto, exemplos.

  23. Estratégia do filtro SincJanelado • Características: • Bons para separar uma banda de frequência de outra • Pobre resposta no tempo (overshoot) • Pode ser programado por convolução (lento) ou por FFT (rápido) 1 (Função Sinc) Problema: comprimento infinito e nunca cai à zero. Solução: Truncar em M+1 pontos (M par) e shiftar de M/2 (índices positivos). 1. Assunto que será visto.

  24. Para suavizar o efeito do truncamento utiliza-se janelas: x = (Janela) FFT

  25. Janelas M=50 Blackman Hamming Qual janela deve-se usar ? Blackman apresenta ainda ripple na banda de passagem de ~0,02%, enquanto a Hamming de ~0,2%.

  26. Projeto do filtro • Parâmetros de projeto: • Frequência de corte fC. Expressa como uma fração da frequência de amostragem, logo • 0 ≤ fC ≤ 0,5 (teorema da amostragem) • Número de amostras M. Essa quantidade determina a largura da banda de transição bw, pois • M ≈ 4 / bw , onde 0 ≤ bw ≤ 0,5 bw = 0.2, 0.1 e 0.02 A fcnão incluencia na forma da resposta

  27. Após selecionado fce M, o filtro pode ser calculado usando: onde K é selecionado de modo a garantir ganho unitário na frequência zero. Para evitar divisão por zero, fazer h[M/2]=2fcK. Note que a equação acima possui: a função sinc, o shift M/2e a janela Blackman !! Algumas respostas

  28. A frequência da oscilação senoidal vale aproximadamente fC ; • Resposta no tempo ruim.

  29. Exemplos Um eletroencefalograma (EEG) é o resultado combinado de um número enorme de pulsos elétricos das células nervosas do cérebro. Em relaxamento, o EEG apresentará um padrão de oscilação entre 7 e 12Hz (estado alpha). Um pouco mais ativo, o padrão fica entre 17 e 20Hz (estado beta). COMO PODEMOS SEPARAR O SINAL ALPHA DO SINAL BETA ? SUPONHA UMA FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM DE 100Hz. Solução: filtro passa-baixa com fc=14Hz (fc=0.14), bw=0.04 (logo M=100) e janela Hamming.

  30. Exemplos • Projeto de um filtro passa-banda, onde o sinal que será filtrado será amostrado a • 10kHz. O filtro terá na sua resposta em frequência uma banda de 80Hz de • passagem do sinal centrada na frequência 2kHz. Assim, o filtro deverá bloquear • frequência abaixo de 1960Hz e acima de 2040Hz. O filtro terá 50Hz de largura • de banda de transição, e portanto, M=801. • Etapas do projeto: • Dois filtros passa-baixa com fc1=0.196 e fc2=0.204 ; • O segundo filtro tem seu espectro invertido, tornando-se um passa-alta ; • Soma-se ambos os filtros, resultando um rejeita-banda ; • Outra inversão de espectro resulta em um passa-banda.

  31. Algoritmo para filtro passa-banda.

  32. Exemplos Deseja-se separar um sinal de 1mV que viaja numa linha de transmissão de 120V. Um filtro passa-baixa com banda de atenuação de -120dB no mínimo é necessário. Mas como foi visto, uma janela Blackman oferece somente -74dB. Solução -74dB -148dB Kernel h1 Kernel h2 Kernel h=h1*h2

  33. Simulação Para implementar um sinal amostrado no simulink, pode-se utilizar o bloco zero-order hold. Na simulação abaixo, amostrou-se uma senóide de 60Hz com período de amostragem de 1ms. Adicionalmente, inserimos o bloco to worspace para trabalharmos futuramente no espaço de trabalho (workspace). Experimente o comando: plot(simout.time,simout.signals.values,'o') no worspace.

  34. Convolução Função delta, resposta ao impulso, algoritmo input side e output side.

  35. Função Delta e Resposta ao Impulso Convolução é uma operação matemática que combina dois sinais para formar um terceiro. É importante pois relaciona três sinais de grande interesse, a saber: o sinal de entrada, o sinal de saída e a resposta ao impulso. Conhecendo-se a resposta ao impulso h, é possível determinar a saída y para qualquer entrada x !!

  36. Algoritmo Input Side Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da entrada, ou seja, explica como cada amostra da entrada contribui para formar as muitas amostras na saída. N=9 M=4 N+M-1=12 pontos Fundamento básico em DSP: 1. decompor a entrada 2. passá-la pelo sistema 3. sintetizar Ex.: Análise da amostra x[4]=1.4 Passo 1: 1.4[n-4] (impulso deslocado) Passo 2: 1.4h[n-4] (se a entrada é , então a saída é h)

  37. Passo 3: + + Note os símbolos em diamantes setados para zero !!

  38. É possível mostrar que a convolução é comutativa: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

  39. Programa em BASIC para o cálculo da convolução usando o algoritmo Input Side.

  40. Algoritmo Output Side Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da saída. Esta- remos olhando as amostras da saída e verificando a contribuição dos pontos da entrada. Lembre que y[n] = combinação de muitos valores entre entrada e resposta ao impulso. No presente método, veremos como calcular cada amostra da saída independentemente das outras amostras da saída. Ex.: Análise de y[6] y[6] y[6] = soma de todos os sextos pontos nas nove componentes acima, ou seja, y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0].

  41. Máquina de Convolução: um diagrama de fluxo de como ocorre a convolução. X[n] e y[n] são fixos, enquanto h[n] é móvel para os lados !

  42. Ex.: cálculo de y[0] e y[3] As amostras da saída bem da direita e as bem da esquerda estão baseadas em informações incompletas. Onde não existem amostras (note x[-3], x[-2] e x[-1]), colocar valor zero. Nesse caso diz-se que a resposta ao impulso h, não está totalmente imergida no sinal de entrada x. A definição formal da convolução enfim é dada por:

  43. A Transformada Discreta de Fourier - DFT

  44. Jean Baptiste Joseph Fourierafirmou que : todo sinal contínuo periódico poderia • ser representado como uma soma apropriada de sinais senoidais. • Por que usar senóides e não ondas triangulares ou quadradas? As senóides possuem • a interessante característica de manter a sua forma após passarem por algum sistema. Apenas as suas • amplitudes e fases são alteradas ! • Existem 4 categorias associadas ao termo Transformada de Fourier, a saber: • Contínuo aperiódico: Ex.: Decaimento exponencial. A transformada é simplesmente • chamada transformada de Fourier. • Contínuo periódico: Ex.: Senóides e onda quadrada. A transformada é chamada • série de Fourier. • Discreto aperiódico: A transformada é chamada transformada de Fourier a tempo • discreto. • Discreto periódico: É as vezes chamada de série de Fourier discreta, mas em geral • é conhecida como transformada de Fourier discreta.

  45. Ex.: Decomposição de um sinal discreto aperiódico 16 pontos Cada sinal possui 16 pontos

  46. DFT real A entrada são amostras de um sinal qualquer (igualmente espaçadas), enquanto as saídas contém as amplitudes das componentes senoidais escaladas de uma forma que veremos. • Re X[]: amplitudes cossenóide; • Im X[]: amplitudes senóide. • Usualmente N é escolhido de tal forma que seja potência de 2 (128, 256, 512, etc). Os • motivos são: • Endereçamento binário da informação, logo a potência de 2 é o tamanho natural do sinal; • O algoritmo mais usado para calcular a DFT, a FFT, opera sobre N.

  47. Variável independente no domínio da frequência Ex.:DFT com N=128. Eixo horizontal corresponde às amostras k. Eixo horizontal como uma fração da frequência de amostragem. Ainda é possível usar  (frequência natural), multiplicando por 2 o eixo do f. O range será portanto, de 0 a . Lembrar:SINAIS DISCRETOS APENAS CONTÉM FREQUÊNCIA ENTRE 0 E 0,5 DA FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM !

  48. Funções base da DFT As função base da DFT (de amplitudes unitárias)são geradas a partir de: Ex.: Seja uma DFT com N=32. A seguir 8 componentes das 17 senóides e 17 cossenóides usadas na DFT.

  49. . . .

  50. A DFT inversa De acordo com o que foi dito, podemos sintetizar a entrada como: Eqs. 1 onde, exceto Eqs. 2 Conclusão:Qualquer sinal x[i] com N pontos pode ser sintetizado, adicionando N/2+1 cossenóides e N/2+1 senóides.

More Related