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§7.2 偏导数

§7.2 偏导数. 偏导数的概念. 偏导数的几何意义. 偏导数与连续的关系. 高阶偏导数. 小结. 思考与练习. 偏导数的概念. 同理 , 如果极限. 导数 , 记作. 偏导函数 , 简称偏导数 , 记作. 根据偏导数的定义可知 , 求多元函数关于某个自变量的偏导数 ,. 并不需要新的方法 , 只需将其他自变量看作常数 , 仅对一个自变量求. 导 , 因此 , 一元函数的求导法则和求导公式 , 对求多元函数的偏导数仍 然适用. 例 1. 解. 例 2. 解. 所以. 例 3. 解. 偏导数的几何意义. 意义. 如下图所示.

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§7.2 偏导数

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Presentation Transcript

  1. §7.2 偏导数 • 偏导数的概念 • 偏导数的几何意义 • 偏导数与连续的关系 • 高阶偏导数 • 小结 • 思考与练习

  2. 偏导数的概念

  3. 同理,如果极限 导数,记作

  4. 偏导函数,简称偏导数,记作

  5. 根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用. 例1 解

  6. 例2 解 所以

  7. 例3 解

  8. 偏导数的几何意义 意义.

  9. 如下图所示

  10. 偏导数与连续的关系 例如

  11. 注: 偏导数存在与连续的区别 (1)偏导数存在，不一定连续； (2)连续，不一定存在偏导数；

  12. 高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设 一般来说,这两个偏导数还是 可定义二元函数的二阶偏导数如下

  13. 例 4 解

  14. 二阶以上的偏导数称为高阶偏导数

  15. 例5 解

  16. 上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数 来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有 条件的. 为此,给出下面的定理: 定理7.1 相等. 例6

  17. 解 因为 所以 • 小结： 在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导 次序无关。

  18. 作业 P141 习题4（2） 习题5 习题7

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