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§7.2 偏导数 - PowerPoint PPT Presentation


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§7.2 偏导数. 偏导数的概念. 偏导数的几何意义. 偏导数与连续的关系. 高阶偏导数. 小结. 思考与练习. 偏导数的概念. 同理 , 如果极限. 导数 , 记作. 偏导函数 , 简称偏导数 , 记作. 根据偏导数的定义可知 , 求多元函数关于某个自变量的偏导数 ,. 并不需要新的方法 , 只需将其他自变量看作常数 , 仅对一个自变量求. 导 , 因此 , 一元函数的求导法则和求导公式 , 对求多元函数的偏导数仍 然适用. 例 1. 解. 例 2. 解. 所以. 例 3. 解. 偏导数的几何意义. 意义. 如下图所示.

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§7.2 偏导数

  • 偏导数的概念

  • 偏导数的几何意义

  • 偏导数与连续的关系

  • 高阶偏导数

  • 小结

  • 思考与练习



同理,如果极限

导数,记作


偏导函数,简称偏导数,记作


根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,

并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求

导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍

然适用.

例1


2

所以


3





: 偏导数存在与连续的区别

(1)偏导数存在,不一定连续;

(2)连续,不一定存在偏导数;


高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设

一般来说,这两个偏导数还是

可定义二元函数的二阶偏导数如下


4



5


上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数

来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有

条件的.

为此,给出下面的定理:

定理7.1

相等.

例6


因为

所以

  • 小结:

在二阶偏导数连续的情况下,混合偏导数的最终值和求导

次序无关。


P141 习题4(2)

习题5

习题7


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