第 3 章随机信号分析

第3章随机信号分析 • 3.2 概率论的基本概念 • 3.3 随机过程的基本概念 • 3.4 平稳随机过程 • 3.5 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 • 3.6 高斯过程 • 3.7 窄带随机过程 • 3.8 正弦波加窄带高斯噪声 • 3.9 随机过程通过线性系统天津工业大学信息学院《通信原理》

3.2 概率论的基本概念 • 1. 随机变量 • 对于一个样本空间S={e}，若每一个e S ，都有一个实数ξ(t)与之对应，则这个定义在S上的单值实值函数称为随机变量。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.2 概率论的基本概念 • 2. 随机变量的统计特性 • （1）离散随机变量 • 设{xi}为离散型随机变量ξ的所有可能值；而P(xi)是ξ取xi的概率，离散型随机变量的分布函数为 • F(x)=P{ξ≤x}=∑ p{ξ=xi}= ∑ p(xi) • xi ≤x xi ≤x • （2）模拟随机变量天津工业大学信息学院《通信原理》

3.2 概率论的基本概念 • 3. 随机变量的数字特征 • （1）均值（数学期望）E • （2）方差D[ξ] • （3）协方差 • （4）相关函数天津工业大学信息学院《通信原理》

3.3 随机过程的基本概念 • 确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 • 通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 • 描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 随机过程的数学定义 • 设随机试验E的可能结果为ξ(t)，试验的样本空间S为{x1(t), x2(t)， …, xn(t),…}， xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 随机过程的数学定义 随机过程举例：天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 随机过程的数学定义 • 随机过程的基本特征: • 随机过程具有随机变量和时间函数的特点： • 第一，它是一个时间函数； • 第二，在固定的某一观察时刻t1，ξ(t1)是随机变量。天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 随机过程的统计描述 • 设ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， ξ(t1)是一个一维随机变量。 • 一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率，即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ • 一维概率密度函数天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 随机过程的统计描述 • n维分布函数： n维概率密度函数天津工业大学信息学院《通信原理》

3. 随机过程的一维数字特征 • 数学期望 • 方差天津工业大学信息学院《通信原理》

4. 随机过程的二维数字特征 • 协方差函数自相关函数天津工业大学信息学院《通信原理》

4. 随机过程的二维数字特征 由上面两式可得和之间的关系天津工业大学信息学院《通信原理》

3.4 平稳随机过程 • 1. 狭义平稳随机过程 • 平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即对于任意的n和τ，随机过程ξ(t) 的n维概率密度函数满足 则称ξ(t)是平稳随机过程（狭义）。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 狭义平稳随机过程 • 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。 • 推论：一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 狭义平稳随机过程 • 从而有天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 广义平稳随机过程 • 平稳随机过程的定义对于一切n都需成立，这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数，自相关函数是τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。天津工业大学信息学院《通信原理》

 3. 各态历经性 • 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。 • 若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。天津工业大学信息学院《通信原理》

3. 各态历经性 • “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 • 自相关函数定义：  R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］ • 自相关函数的意义： • 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述 • 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 • 自相关函数主要性质： • R(0)=E[ξ2(t)]=S ------ξ(t)的平均功率 • R(τ)= R(-τ) ------偶函数 • |R(τ)|≤ R(0) ------上界 • R(∞)=E2[ξ(t)] ------ξ(t)的直流功率 • R(0)-R(∞)=σ2 ------ξ(t)的交流功率。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 • ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中，FT(ω)是fT(t)的频谱函数；fT(t)是f(t)的短截函数；f(t)是ξ(t)的任一实现。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 ξ(t)的平均功率S可表示成天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计算功率谱。确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 利用二重积分换元法，则上式可化简成：于是简记为 R(τ)  Pξ(ω)。 • 上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 例3-1 随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。解：(1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ(t)的数学期望为天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 ξ(t)的自相关函数为：令t1=t, t2=t+τ, 经过推导得：天津工业大学信息学院《通信原理》

3.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度 仅与τ有关。由此看出， ξ(t)是宽平稳随机过程。它的功率谱密度为：因为cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)] 所以，Pξ(ω)= [δ(ω- ωc)+δ(ω+ ωc)] 天津工业大学信息学院《通信原理》

§3.6 高斯过程 • 1. 定义 • 若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 天津工业大学信息学院《通信原理》

b12 … b1n • B21 1 … b2n • Bn1 bn2 … 1 … … … … 1. 定义式中, ak=E{ξ(tk)}，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数：天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： • 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 • 如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。 • 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有j≠k，有bjk=0，于是天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)= =f(x1, t1)·f(x2, t2)…f(xn, tn) 这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： • 常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为 • 概率密度函数的曲线为天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： 特点（1）f(x)对称于x=a这条直线; • （2）， • （3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数; • 正态分布函数天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： • 这里的称为正态概率积分。这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 高斯过程的特点： 误差函数 • 互补误差函数 • 几种函数的关系为天津工业大学信息学院《通信原理》

3. 高斯白噪声 • 一类特殊的高斯过程——高斯白噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数为天津工业大学信息学院《通信原理》

3. 高斯白噪声 这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。画出了白噪声的双边带功率谱及其自相关函数的图形。应当指出，我们定义的这种理想化的白噪声实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率普密度均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，那么就可以把它视为白噪声。天津工业大学信息学院《通信原理》

§3.7 窄带随机过程 1.定义：随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如下图所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 定义 天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 定义 因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示: ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (3.7-1) 等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (3.7-2) 其中 ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) (3.7-3) ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t) (3.7-4) 式中, aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的包络函数和随机相位函数，ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量。天津工业大学信息学院《通信原理》

1. 定义 由式（3.7-1）至(3.7-4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零,方差为σ2ξ。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。  (1). 数学期望 对式（3.7-2）求数学期望: E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct (3.7-5) 可得 E[ξc(t)]=0 E[ξs(t)]=0 (3.7-6) 天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 (2). 自相关函数 Rξ(t, t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］ =E｛［ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct］ ·［ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝ =Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)- Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)- Rξc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ) Rξs(t, t+τ) sinωctsinωc(t+τ)(2.6-7) 天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 • =Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)- • Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)- • Rξc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ) • Rξs(t, t+τ) sinωctsinωc(t+τ) 天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 式中 Rξc(t, t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］ Rξcξs(t, t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］ Rξsξc(t, t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］ Rξs(t, t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］ 因为ξ(t)是平稳的，故有 Rξ(t, t+τ)=Rξ (τ)，这就要求式（2.6 - 7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔τ有关。若取使sinωct=0 的所有t值，则式（2.6 - 7）应变为天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 Rξ(τ)=[Rξc(t, t+τ)] cosωcτ- [Rξcξs(t, t+τ)]sinωcτ(2.6 - 8) 这时，显然应有  Rξc(t, t+τ)=Rξc(τ) Rξcξs(t, t+τ)=Rξcξs(τ) 天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 • 所以，式（3.7 - 8）变为 • Rξ(τ)=Rξc(τ)cosωcτ- • Rξcξs(τ) sinωcτ (3.7 - 9) • 再取使cosωct=0的所有t值，同理有 • Rξ(τ)=Rξs(τ)cosωcτ+ • Rξsξc(τ)sinωcτ (3.7 -10）天津工业大学信息学院《通信原理》

2. 同相和正交分量的统计特性 由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。  进一步分析，式（3.7-9）和式（3.7-10）应同时成立，故有Rξc(τ)=Rξs(τ)(3.7 - 11) Rξcξs(τ)=－Rξsξc(τ) (3.7 - 12) 可见，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有天津工业大学信息学院《通信原理》

Rξcξs(τ)=Rξsξc(-τ) 将上式代入式（2.6 - 12），可得 Rξsξc(τ)=-Rξsξc(-τ)(2.6- 13) 同理可推得  Rξcξs(τ)=-Rξcξs(-τ)(2.5 - 14)  式（2.6 - 13）、（2.6- 14）说明，ξc(t)、ξs(t)的互相关函数Rξsξc(τ)、Rξcξs(τ)都是τ的奇函数，在τ=0时 Rξsξc(0)=Rξcξs(0)=0 (2.6 - 15) 天津工业大学信息学院《通信原理》

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