Stereometrie
Download
1 / 58

Stereometrie - PowerPoint PPT Presentation


  • 63 Views
  • Uploaded on

Stereometrie. Užití řezů těles. VY_32_INOVACE_M3r0111. Mgr. Jakub Němec. Užití řezů při konstrukčních úlohách.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Stereometrie' - zelenia-workman


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Stereometrie

Stereometrie

Užití řezů těles

VY_32_INOVACE_M3r0111

Mgr. Jakub Němec


U it ez p i konstruk n ch loh ch
Užití řezů při konstrukčních úlohách

  • Řezy těles danou rovinou lze využít při řadě konstrukčních problémů. V této prezentaci si ukážeme, jak přesně najít průsečnici dvou rovin, společný bod a roviny a společné body stěn krychle a přímky.


V krychli ABCDEFGH mějme roviny ACF a BEG.

Určete průsečnici těchto rovin.


Z kapitoly o hledání řezů danou rovinou víme, že část řezu určíme mj. pomocí dvou bodů v rovině jedné stěny.

Jejich spojením získáme část řezu.

V případě roviny ACF lze pomocí tohoto pravidla sestrojit celý řez.



Pro nalezení průsečnice je potřeba určit alespoň dva body, které jsou společné pro dané roviny.

Je zřejmé, že pokud hledáme průsečnici pomocí řezů určených danými rovinami, musí hledané společné body ležet ve stěně krychle.

Bod P leží v přední stěně(určený částí řezu AF a EB), bod R leží v boční stěně (průsečík BG a CF).


Jejich spojením získáme hledanou přímku, která je společná pro obě roviny – průsečnici PR.


Určíme viditelnost. společná pro obě roviny – průsečnici PR.


Pro názornost je přiložena viditelnost rovin společná pro obě roviny – průsečnici PR.v krychli.

Průsečnice je místo, kde se roviny protínají, mění se na ní i jejich vzájemná viditelnost (v horní části krychle je „více vpředu“ rovina AFC, zatímco v dolní části krychle je v popředí rovina BEG).


V krychli ABCDEFGH mějme roviny BFH a GKL, společná pro obě roviny – průsečnici PR.kde body K a L jsou po řadě středy hran AE a BF.

Určete průsečnici těchto rovin.


Nejdříve sestrojíme rovinu BFH. společná pro obě roviny – průsečnici PR.

Na základě pravidla o bodech ležících ve stejné rovině lze určit části řezu BF a FH.


Dokončení řezu je založeno společná pro obě roviny – průsečnici PR.na pravidlu o rovnoběžnosti dvou rovin, k nimž je třetí různoběžná.


Podobně sestrojíme i řez určený rovinou GKL. společná pro obě roviny – průsečnici PR.

Nejdříve spojíme body ve stejných stěnách.


Poté doplníme části řezu, společná pro obě roviny – průsečnici PR.které jsou v rovnoběžných stěnách.

Řez je hotov.


Společnými body obou řezů (a tedy společná pro obě roviny – průsečnici PR.i rovin) jsou body H a L.


Jejich spojením získáme průsečnici rovin BFH a GKL. společná pro obě roviny – průsečnici PR.


Určíme viditelnost řezů. společná pro obě roviny – průsečnici PR.


Pro názornost je přiložena viditelnost rovin společná pro obě roviny – průsečnici PR.v krychli.


V krychli ABCDEFGH mějme roviny ABG a KLM, společná pro obě roviny – průsečnici PR.kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AE, BC a CG.

Určete průsečnici těchto rovin.


Sestrojme nejdříve řez roviny KLM. společná pro obě roviny – průsečnici PR.

Na úvod můžeme využít toho, že body L a M leží v jedné rovině, a díky tomu je spojit.

Tato část řezu nám bude nápomocna v dalším postupu, kdy budeme hledat společný bod pro tři různoběžné roviny (přední stěna, boční stěna a zadaná rovina).

Díky tomu získáme část řezu v přední stěně.



Řez rovinou ABG by pro vás měl být již triviální. řezu snadným cvičením.

Spojíme body ve stejných stěnách a získáme části řezu AB a BG.


Řez dokončíme díky tomu, řezu snadným cvičením.že stěny v krychli jsou navzájem rovnoběžné.


Body P a R jsou společné body námi určených řezů a díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.


Spojením bodů P díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.a R získáme hledanou průsečnici.


Určíme viditelnost řezů. díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.


Pro názornost je přiložena viditelnost rovin díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.v krychli.


V krychli ABCDEFGH mějme rovinu BFH a přímku CE. díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.

Urči jejich průsečík a urči viditelnost přímky vůči rovině.


Nejprve sestrojíme rovinu. díky tomu určují průsečnici rovin ABG a KLM.

Dvojice bodů BF a FH lze spojit, poněvadž leží v jedné rovině.




Nalézt přímku CE by neměl být problém. stěn krychle.

Obtížnější bude najít místo, kde protíná rovinu BFH, což je shodou okolností náš úkol.


Krokem, který nám určitě pomůže, je nalezení vhodné roviny, ve které leží přímka CE.

Nejvhodnější se jeví úhlopříčná rovina ACE.

Postup však lze aplikovat i s jinými rovinami, v nichž by přímka ležela (pro zajímavost si můžete nějakou takovou rovinu najít).


Rovina BFH roviny, ve které leží přímka CE. a rovina „kolem přímky“ ACE mají společné body S a T.


Body S a T nám určují průsečnici, která obsahuje všechny společné body obou rovin, tedy i společný bod přímky EC a roviny BFH.


Průsečík P průsečnice ST všechny společné body obou rovin, tedy i společný bod přímky EC a přímky CE je bod, který nám určuje místo, kde přímka EC protíná rovinu BFH a právě tento bod jsme hledali.


Nyní určíme viditelnost přímky CE vůči rovině BFH. všechny společné body obou rovin, tedy i společný bod přímky EC

Zvolíme si libovolnou různoběžnou rovinu k přímce CE a rovině BF, nejlépe např. horní podstavu.

Bod E leží v přední hraně horní podstavy, zatímco bod H leží v zadní hraně horní podstavy, proto leží přímka před rovinou – vyznačíme ji plnou čarou.

Bod P určuje změnu situace, za ním přímku nevidíme, dokud nepřekoná „okraj“ řezu (v dolní podstavě je bod roviny B „vpředu“, zatímco bod přímky C „vzadu“) –vyznačíme přerušovanou čarou.

Ostatní část lze opět vidět – značíme plnou čarou.


Pro názornost je přiložena viditelnost roviny a přímky. všechny společné body obou rovin, tedy i společný bod přímky EC


V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLH a přímku FM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.

Urči jejich průsečík a urči viditelnost přímky vůči rovině.


Nejprve sestrojíme řez roviny. K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.

Prodloužená část řezu KL a průsečnice dolní a boční stěny nám určí společný bod tří různoběžných rovin (dolní podstava, boční stěna a rovina KLH).

Tuto vlastnost využijeme pro konstrukci řezu v boční stěně.


Řez dokončíme K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.na základě rovnoběžnosti stěn krychle.


Určíme viditelnost řezu. K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.


Určíme přímku FM v krychli. K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.


Nalezneme vhodnou rovinu, K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH.v níž přímka FM leží, např. úhlopříčnou rovinu BFH.




Průsečík P průsečnice HX – jsou to body X a H.a přímky FM určuje bod, který je společný pro přímku FM a rovinu KLH.




V krychli ABCDEFGH mějme přímku KL, kde bod K leží – jsou to body X a H.na polopřímce HD a zároveň platí |HD|:|HK|= 2:3 a bod L leží na polopřímce EF a zároveň platí |EF|:|EL|= 2:3.

Určete její průsečíky se stěnami krychle a urči její viditelnost vůči krychli.


Nejprve určíme přímku KL. – jsou to body X a H.


Naším úkolem je najít vhodnou rovinu, která by nám ukázala, ve kterých bodech přímka protíná stěny.

Využijeme kolmých průmětů bodů K a L do horní a dolní podstavy.


Na základě znalosti bodů L, ukázala, L‘, K‘ a K‘‘ je snadné najít rovinu, která je těmito body určena.

V této rovině leží i zadaná přímka KL.


Určíme řez, který je určen rovinou L, ukázala, L‘ a K‘.

Průsečíky řezu a přímky jsou body, v němž přímka vstupuje do krychle (P) a v němž z krychle vychází (R).

Řez krychle nám totiž určuje průsečnice bočních stěn a pomocné roviny, a proto také společné body přímky a částí řezu.




Kol z v rem
Úkol závěrem a přímky.

  • V krychli ABCDEFGH určete:

    • a) průsečnici rovin KFC a ACG, kde bod K je střed hrany AE.

    • b) průsečnici rovin ALG a BFH, kde bod L je střed hrany BF.

    • c) průsečnici rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, DH, AD, CD a GH.

    • d) průsečík přímky BK a roviny ALG, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a BF. Určit také viditelnost přímky vůči rovině.

    • e) průsečíky přímky KL se stěnami krychle a viditelnost přímky KL vůči krychli, když pro bod K platí, že leží na polopřímce DA a zároveň platí |DA|:|DK|= 2:3 a bod L leží na polopřímce CG a zároveň platí |CG|:|CL|= 2:3.


Zdroje
Zdroje a přímky.

  • Literatura:

    • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7.

  • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.


ad