ГИМНАЗИЯ №1517

1. Государственное образовательное учреждение ГИМНАЗИЯ №1517 Северо-Западное окружное управление образования Департамента образования города Москвы

2. Гимназия №1517 Нестерова Мария Вадимовна учитель математики Два высших образования 12 лет педагогической работы , в т.ч. 8 лет в гимназии в старших профильных классах, 15 медалистов, в т.ч. 9 в физ-мат классах. Мое главное достижение – это мои ученики !

3. Тема выступления КОНЦЕРТ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА В СОПРОВОЖДЕНИИ КЛАССА ИЛИ КАК МЫ ЭТО ДЕЛАЕМ… Рекомендации для начинающих

4. ВОПРОСЫ • Курс и тема в курсе • Зачем? • Кто работает? • Технологии и средства • Помощь

5. Курс и тема в курсе Внеурочная деятельность Алгебра (Малонаглядно, много текстовой информации, требуется обработка содержания) Геометрия (Много чертежей, символики, требуется продумать анимацию)

6. Зачем? • Наглядность • Доступность и краткость в изложении материала • Многократное использование как целого, так и фрагментов • Внешняя привлекательность (не путать с наглядностью!) • …Сформулируйте сами

7. Кто работает? Преподаватель (Договорись с самим собой) Преподаватель+ученик (Договорись с собой и донеси это до ребенка!) Ученик (Доступно и понятно объясни, чего хочешь!)

8. Технологии и средства • Наличие/отсутствие технических ресурсов • Наличие/отсутствие соответствующих программных продуктов • Умение работать с требуемыми программами • Наличие/отсутствие в программе соответствующих возможностей и пути выхода из тупиковых ситуаций

9. ПРОСТЕЙШИЕ тригонометрические неравенства Способырешения.

10. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности Решим неравенство sin t > a Для этого: Начертим единичную окружность в декартовой системе координат. На оси синусов отметим значениеa, а на окружности – точки Р , задающие числа, синус которых равен a. у 1 P Р 1 0 х

11. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности Значения sin t, большие, чем a, на оси синусов расположены выше, чем a, но не выше, чем 1. Дуга окружности, на которой расположены точки Р , отвечающие условию sin t >a - это дуга между точками Р и Р Чтобы «пройти» по этой дуге, следует двигаться от точки Р к точке Р против часовой стрелки у 1 P Р 1 0 х

12. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности Значение определяется значением Значение определяется значением Получаем: << у 1 P Р 1 0 х

13. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности Помним, что функция f(x)=sin x является периодической, повторяя свои значения через каждые . Чтобы записать решение неравенства на множестве R, следует добавить к обеим частям полученного двойного неравенства слагаемое : у 1 P Р 1 0 х

14. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Теорема 5. Если a<b,и c<d, то a+c<b+d. Доказательство: a<ba+с<b+с c<d c+b<d+b a+с<b+с, b+c<d+b a+с<b+d Если сложить почленно два и более верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

15. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Пример.Известно, что 7<a<10, 14<b<15. Оценить сумму, разность, произведение и частное a и b. • Оценим сумму a+b: 7<a<10 + 14<b<15 21< a+b<25 • Оценим разность a – b: - 15<- b< - 14 + 7<a<10 - 8< – b + a< - 4 - 8< a – b< - 4

16. R O1 H O Найдем объем цилиндра с радиусом оснований R и высотой Н. Р2 Р1 • Построим многоугольники Р1 и Р2: Р2 содержит круг – основание цилиндра, Р1 содержится в круге – основании цилиндра, причем количество сторон этих многоугольников n. • Значит, Sp1 и Sp2 S(O;R). • На многоугольниках Р1и Р2как на основаниях построим n – угольные призмы с высотой Н.

17. Р2 Р1 R O1 H O • Получается, что призма Р2 содержит цилиндр, а призма Р1содержится в цилиндре. • Т.к. n, то • Vp1 и Vp2 Vцилиндра, т.е. • где R– радиус основания цилиндра, Н – высота.

18. у х • Проведем плоскость , проходящую через ось тела, и введем в этой плоскости декартову систему координат. • Ось тела примем за Ох. • Плоскость хОу пересекает поверхность тела по линии, для которой Ох – ось симметрии. • Пусть y=f(x) – уравнение той части этой линии, которая расположена выше оси Ох  y=f(x) O

19. у  А h В х х+h х  • Проведем через точку А(х; 0) плоскость Ох и обозначим V(x) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости . • V(x) – функция от х. • Проведем через точку В(х+h; 0) плоскость Ох и обозначим V(x+h) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости . • V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями  и . 

20. F f x f h F • V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями  и . • Пусть F=max f(x) на [x; x+h], f=min f(x) на [x; x+h]. • Тогда рассматриваемый слой содержится в цилиндре с высотой h и радиусом оснований F и содержит в себе цилиндр с высотой h и радиусом оснований f.

21. f F x h при значит, . По формуле Ньютона – Лейбница где и - плоскости, между которыми заключается часть тела, объем которой находят.

22. Таким образом, общая формула для расчета объема тела вращения: Здесь y=f(x) – уравнение, задающее кривую, по которой пересекается осевое сечение тела с его поверхностью,a и b – плоскости, между которыми расположено тело, объем которого ищется.

25. Система координат z y x z Mz M O My y Mx x О – начало координат Ox, Oy, Oz, - координатные оси Oxy, Ozy, Ozx – координатные плоскости O Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Mx – абсцисса точки M My – ордината точки M Mz – аппликата точки M

26. Расстояние между точками z B A C O y A' x B' AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 ЧТД. Дано: A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) Найти: AB 1. Проведем через A и B прямые, || оси z. Они пересекут плоскость xy в точках A’ и B’. Проведем через точку A плоскость, || плоскости xy. Она пересечет прямую BB’ в некоторой точке C. 2. По теореме Пифагора AB2=BC2+CA2 CB’=AA’ A’B’=(x2-x1)2+(y2-y1)2 BC=|z1-z2| AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

27. Задачa №2 A1 C1 B1 D1 A D Q B C Дано: ABCDA1B1C1D1-параллелепипед P∈ (AA1B1B) T R∈ (AA1D1D) T∈ C1D1 Q∈ AA1 P R Построить: Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости (PRT)и проходящей через точкуQ

28. Задачa №2 Построение: A1 C1 T B1 D1 P R A D B C Построим сечение параллелепипеда плоскостью (PRT). Построим проекции точек P,R и T на ребра, принадлежащие плоскости основания: prABP = P1 prADR = R1 prCDT = T1 M N Найдем след сечения. Q P1 R1 RT∩R1T1 = M T1 PR∩P1R1= N MN – след сечения

29. Найдем точки пересечения плоскости (PRT) с ребрами параллелепипеда Задачa №2 A1 C1 T B1 P R A D B C F K D1 AB∩MN=G E PG∩AA1=E M N G Q PG∩A1B1=F ER∩C1D=K EFTK – сечение параллелепипеда плоскостью (PRT)

30. Задачa №2 Искомая плоскость параллельна плоскости (PRT). A1 C1 T F B1 K D1 P R Q A D B C Значит, прямые пересечения искомой плоскости и плоскости (PRT) с гранями параллелепипеда параллельны (по св-ву 1) X E QS║FE, S∈AB Y S SY║FT,Y∈CD XY║TK, X∈CD1 QSYX – искомая плоскость

31. Доказательство Допустим, что плоскости α и β не параллельны Тогда они пересекаются по некой прямой с Итак, α проходит через а, причем а ll β, и пересекает β по прямой с => allc Но α проходит также через прямую b, причем b ll β поэтому b ll c Таким образом, через точку М проходят две прямые, параллельные с, что невозможно (теорема о параллельных прямых) Значит, наше допущение неверно, и α ll β Теорема доказана. α a M b с a1 β b1

32. Два Хайяма литературно- математическая сказка

34. вершина образующая ось направляющая основание

36. Геометрия Эвклида 5 постулатов, 9 аксиом, 23 начальных определения

37. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Сентябрь 2007 года