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数据结构

第六章 树和二叉树. 数据结构. 树的定义和基本术语. 6.1. 二叉树. 6.2. 遍历二叉树和线索二叉树. 6.3. 树和森林. 赫夫曼树及其应用. 6.4. 6.6. 内容提要. 基本 要求. 重点. 难点. 基本要求、重点、难点. （ 1 ）掌握树结构的定义、特点、基本术语和基本操作。 （ 2 ）掌握二叉树的定义、操作、性质及存储结构特点。 （ 3 ）掌握二叉树遍历的递归算法和非递归算法。 （ 4 ）掌握树的存储结构、树与二叉树的转换和森林与二叉树的转换。 （ 5 ）掌握二叉排序树和哈夫曼树以及应用.

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Presentation Transcript

  1. 第六章 树和二叉树 数据结构

  2. 树的定义和基本术语 6.1 二叉树 6.2 遍历二叉树和线索二叉树 6.3 树和森林 赫夫曼树及其应用 6.4 6.6 内容提要

  3. 基本 要求 重点 难点 基本要求、重点、难点 （1）掌握树结构的定义、特点、基本术语和基本操作。 （2）掌握二叉树的定义、操作、性质及存储结构特点。 （3）掌握二叉树遍历的递归算法和非递归算法。 （4）掌握树的存储结构、树与二叉树的转换和森林与二叉树的转换。 （5）掌握二叉排序树和哈夫曼树以及应用 二叉树的各种存储结构的特点及适用范围，按各种次序遍历二叉树的递归和非递归算法，二叉树的线索化，树的各种存储结构及其特点，编写树的各种运算的算法，建立最优二叉树和哈夫曼编码的方法。 二叉树的性质，建立最优二叉树和哈夫曼编码的方法。

  4. A C B H G F E D J I 6.1 树的类型定义 一、 树的定义 1．树的定义 树（Tree）是n（n≥0）个有限数据元素的集合。在任意一棵非空树T中： 123 4 （1）有且仅有一个特定的称为树根（Root）的结点，根结点无前趋结点； （2）当n>1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤ i ≤m）本身又是一棵树，并且称为根的子树。

  5. A B C D E F G H I J K L M 例如 A 只有根结点的树 有13个结点的树 其中：A是根；其余结点分成三个互不相交的子集， T1={B,E,F,K,L}； T2={C,G}； T3={D,H,I,J,M}, T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树

  6. A C B H D E G F I J 2．树的其它表示法 （1）嵌套集合法 嵌套集合法，也称为文氏图法（Venn Diagram），它是用集合以及集合的包含关系来描述树形结构，每个圆圈表示一个集合，套起来的圆圈表示包含关系。

  7. A B D E J F C G H ( 2 ) 圆括号表示法 圆括号表示法也称为广义表表示法，它是使用括号将集合层次与包含关系显示出来。 ( A ( B ( D, E ( I, J ), F ), C ( G, H ) ) ) ( 3 ) 凹入法 凹入法是用不同宽度的行来显示各结点，而行的凹入程度体现了各结点集合的包含关系，。 树的凹入表示法主要用于树的屏幕显示和打印输出。 I

  8. 3 .基本术语 （1）结点——树的结点包含一个数据及若干指向其子树的分支。 （2）结点的度——结点所拥有的子树数称为该结点的度（Degree）。 （3）树的度——树中各结点度的最大值称为该树的度。 （4）叶子（终端结点）——度为零的结点称为叶子结点。 （5）分枝结点——度不为零的结点称为分支结点。 （6）兄弟结点——同一父亲结点下的子结点称为兄弟结点。 （7）层数——树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于它双亲结点的层数加1。 （8）树的深度——树中结点的最大层数称为树的深度（或高度）。 （9）有向树： 有确定的根； 树根和子树根之间为有向关系。

  9. 1层 A 2层 B C D height = 4 3层 E F G H I J 4层 K L M 例如：

  10. 大家来思考 问题 ？？？ 回答： n1+n2+…+nM+n0+=1+n1+2n2+…+mnM =>n0+=1+n2+…+(m-1)nM 问题： 已知一棵树为m的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，…nm个度为m的结点，问该树中有多少片叶子

  11. 练习一下吧 1.设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.如果结点A有 3个兄弟，而且B是A的双亲，则B的度是______。

  12. A B D C B C D H G I J E F K J I K F G H E （10）森林——零棵或有限棵互不相交的树的集合称为森林。 在数据结构中，树和森林并不象自然界里有一个明显的量的差别。任何一棵树，只要删去根结点就成了森林。 (a) 树 (b) 移去根结点后成为森林 （11）有序树和无序树——树中结点的各子树从左到右是有次序的（即不能互换位置），称这样的树为有序树；否则称为无序树。

  13. 4.树的抽象数据类型定义 ADT Tree{ 数据对象D: 数据关系R: 基本操作 P： } ADT Tree D是具有相同特性的数据元素的集合。 若D为空集，则称为空树；//允许n=0 若D中仅含一个数据元素，则R为空集； 其他情况下的R存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 //至少有15个，如求树深，求某结点的双亲

  14. 基本操作 P： Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 RightSibling(T, cur_e) // 求当前结点的右兄弟 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子 TreeEmpty(T) // 判定树是否为空树 TreeDepth(T) // 求树的深度 TraverseTree( T, Visit() ) // 遍历 InitTree(&T) // 初始化置空树 CreateTree(&T, definition) // 按定义构造树 InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树 Assign(T, cur_e, value) // 给当前结点赋值 ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构 DeleteChild(&T, &p, i) // 删除结点p的第i棵子树

  15. 想一想： . 树型结构与线性结构的结构特点比较？ 树型结构 根结点(无前驱) 多个叶子结点(无后继) 其它数据元素(一个前驱、多个后继) 线性结构 第一个数据元素(无前驱) 最后一个数据元素(无后继) 其它数据元素(一个前驱、一个后继)

  16. 6.2 二叉树的类型定义 • 为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？ • 二叉树的结构最简单，规律性最强； • 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。 6.2.1 二叉树的定义 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构

  17. 6.2 二叉树的类型定义 6.2.1 二叉树的定义 1、定义： 二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。 根结点 右子树 A B E C F G D 左子树 逻辑结构：一对二（1:2） 基本特征: ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； ② 左子树和右子树次序不能颠倒。 H K

  18. 基本形态： 一般的树有几种？ 问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？ 有5种

  19. c e a d b f + / - - * 应用举例：可以用二叉树表示表达式 a+b*(c-d)-e/f

  20. 大家来思考 问题 ？？？ 回答： 度为2的有序树只有一个分支时没有左右之分；二叉树即使只有一个分支，也有左右之分。 一棵度为2的有序树与一棵二叉树有何区别？

  21. 二叉树的抽象数据类型定义 ADT BinaryTree{ 数据对象D: 数据关系R: 基本操作 P： }ADT BinaryTree D是具有相同特性的数据元素的集合。 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ ……//关于左子树和右子树的说明 //至少有20个，如返回某结点的左孩子，或中序遍历，等等

  22. 性质 1： 在二叉树的第i层上至多有2i-1 个结点。 (i≥1) 6.2.2　二叉树的性质 用归纳法证明： 归纳基： 归纳假设： 归纳证明： i = 1层时，只有一个根结点： 2i-1 = 20 = 1； 假设对所有的 j，1≤ j i，命题成立； 二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1。

  23. 性质 2 ：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）。 证明： 基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+      +2k-1 = 2k-1。 性质 3 ：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为2的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。 证明： 设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1+2n2 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。

  24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a b c d e f g h i j 两类特殊的二叉树： 满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。 完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。

  25. 性质 4 ：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1 。 证明： 设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1≤ n < 2k 即 k-1 ≤ log2 n < k 因为 k 只能是整数，因此， k =log2n+ 1 。

  26. 性质 5 ： 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1至 n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i的结点：(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲， 否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点；(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

  27. 练习一下吧 1.将算术表达式（（a+b）+c*(d+e)+f）*(g+h)转化为二叉树。 2.假设高度为H的二叉树上只有度为0和度为2的结点，问此类二叉树中的结点数可能达到的最大值和最小值各为多少？

  28. 练习一下吧 1.假定在一棵二叉树中，双分支结点数为15个，单分支结点数为32个，则叶子结点 数为 。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 47 2.假定一棵二叉树的结点数为18个，则它的最小高度 。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 18 3.在一棵二叉树中第五层上的结点数最多为 。 A. 8 B. 15 C. 16 D. 32 4.在一棵具有五层的满二叉树中，结点总数为 。 A. 31 B. 32 C. 33 D. 16 5.假定一棵二叉树的广义表表示为A(B(，D)，C(E(G)，F))，则该树的深度为， 度为0的结点数为 ，度为1的结点数为 ，度为2的结点数为 。

  29. 练习一下吧 6.如果结点A有三个兄弟，而且B是A的双亲，则B的出度是 。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 1 7.一个深度为L的满K叉树有如下性质：第L层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有K棵非空子树。如果按层次顺序从１开始对全部结点编号，编号为n的有右兄弟的条件是 。 A.(n-1) % k= =0 B.(n-1) % k!=0 C.n % k= =0 D.n % k!=0 8.在完全二叉树中，当i为奇数且不等于１时，结点i的左兄弟是结点 ，否则没有左兄弟。 A. 2i-1 B. i+1 C. 2i+1 D. i-1

  30. 小结 本小节主要讲了一下内容： 1.树的定义相关术语。 2.熟练掌握二叉树的结构特性，了解相应的证明方法。

  31. 6.2.3 二叉树的存储结构 一、 二叉树的顺序存储表示 二、二叉树的链式存储表示

  32. 一、 二叉树的顺序存储表示 所谓二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。一般是按照二叉树结点从上至下、从左到右的顺序存储。 #define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉树的最大结点数 typedef TElemType SqBiTree[MAX_ TREE_SIZE]; // 0号单元存储根结点 SqBiTree bt; 0 A 2 例如: 1 B D 6 4 E C 13 F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B D C E F

  33. 例： 4 1 1 2 3 2 3 5 6 7 4 5 6 8 9 7 8 9 10 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 910 1 2 3 4 0 5 6 7 8 0 0 910 完全二叉树 一般二叉树 的顺序表示 的顺序表示

  34. 二、二叉树的链式存储表示 1. 二叉链表 2．三叉链表 3．双亲链表 4．线索链表

  35. 1. 二叉链表 结点结构: root lchild data rchild A B D   C E    F  

  36. 大家来思考 问题 ？？？ 回答： n+1个空指针 问题： 在具有n个结点的二叉树（k≥2）的二叉树链表表示中，有多少个空指针？

  37. C 语言的类型描述如下: typedef struct BiTNode { // 结点结构 TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针 } BiTNode, *BiTree; 结点结构: lchild data rchild

  38. 2、三叉链表 结点结构: parentlchild data rchild C 语言的类型描述如下: typedef struct TriTNode { // 结点结构 TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针 struct TriTNode*parent; //双亲指针 } TriTNode, *TriTree;

  39. B 2 C 0 A -1 D 2 E 3 F 4 3．双亲链表 结点结构: 0 1 2 3 4 5 6 L R R R L data parent LRTag

  40. C语言描述 typedef struct BPTNode {// 结点结构 TElemType data; int*parent; // 指向双亲的指针 char LRTag; // 左、右孩子标志域 } BPTNode; typedef struct BPTree{// 树结构 BPTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int num_node;// 结点数目 int root; // 根结点的位置 } BPTree;

  41. 大家来思考 问题 ？？？ 回答： （k-1）n+1个空指针 问题： 在具有n个结点的k叉树（k≥2）的k叉树链表表示中，有多少个空指针？

  42. 6.3 二叉树的遍历和线索二叉树 6.3.1 二叉树的遍历 6.3.2 线索二叉树

  43. 6.3.1 二叉树的遍历 一、问题的提出 “遍历”是任何类型均有的操作，对线性结构而言，只有一条搜索路径(因为每个结点均只有一个后继)，故不需要另加讨论。而二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题。 对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径： • 1 先上后下的按层次遍历； • 2 先左（子树）后右（子树）的遍历； • 3 先右（子树）后左（子树）的遍历。

  44. 二、先左后右的遍历算法 先（根）序的遍历算法 中（根）序的遍历算法 后（根）序的遍历算法

  45. DLR 先（根）序的遍历算法： 若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）访问根结点； （2）先序遍历左子树； （3）先序遍历右子树。

  46. 例：

  47. LDR 中（根）序的遍历算法： 若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）中序遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历右子树。

  48. 例：

  49. 后（根）序的遍历算法： 若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）后序遍历左子树； （2）后序遍历右子树； （3）访问根结点。

  50. 例：

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