6 장 순환
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6 장 순환 디지털 필터의 설계. 순환 디지털 필터 - 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다. - 피드백 ( feedback) - 무한한 임펄스 응답 ( IIR) 장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다. 단점 1) 순환 필터는 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다. 2) 비선형 위상 응답 만약 n , h[n] 은 무한히 연속적이다. Causal (h(n)=0 for n<0) => 더 이상 대칭적이지 않다. .

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6 장 순환 디지털 필터의 설계

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Presentation Transcript


6

6 장 순환디지털 필터의 설계


6

  • 순환 디지털 필터

    - 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다.

    - 피드백 (feedback)

    - 무한한 임펄스 응답 (IIR)

  • 장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다.

  • 단점

    1) 순환 필터는 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다.

    2) 비선형 위상 응답

  • 만약 n ,h[n]은 무한히 연속적이다.

    Causal (h(n)=0 for n<0) => 더 이상 대칭적이지 않다.


6

전달함수의 일반형

  • 순환 필터

  • => 강력한 이점 : H(z)의 분자와 분모를 분리해서 조절할 수 있다.

  • => 분모의 크기를 특정 주파수가 작아지도록 조절 -> 첨예한 최고점의 응답


6 2 z

6.2 Z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계

  • 순환 필터를 설계하는 방법은 z평면에서 극점과 영점을 먼저 선택

    => 이산 방정식을 구함

    => 주파수 응답을 계산

  • 단위 원 위에 있는 여러 극점과 영점에서 임의의 한 점까지의 벡터의 크기를 계산함으로써 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답을 나타냄

  • 극점이 단위 원에 가까울수록 첨예한 최고점을 갖는 응답

  • 영점이 단위 원에 가까울수록 깊은 골

  • 극점이 z평면 실수축의 어느 위치에 놓이느냐에 따라 저역 필터 또는 고역 필터로 설계 (4.3.3 절)

  • 공액 복소 극점쌍의 위치에 따라 대역 필터


6

  • 주파수 응답 H()는 {exp(j )-zn} 형태의 분자 요소들의 곱을

    {exp(j )-pn} 형태의 분모 요소들의 곱으로 나눈 형태(종속 표준형 연결가능)

  • Z = 에서 극점이 있으면

    - H()의 분모는

    - 진폭의 크기는

  • Z = 에서 영점이 있으면

    - | H() |의 분자를 나타낸다는 것이 차이


6

  • 공액 복소 극점쌍 또는 영점쌍의 경우 극좌표가 (r, )를 가진 극점쌍

    - H()의 분모는

    - 진폭의 크기는


6

  • 실수 극점 z = 0.9  저역통과 필터

  • 실수 영점 z = - 0.8 저역통과 필터

    (그림6.1(a)(b))


6

  • 복소수 극점 쌍 r = 0.975,  = 150  대역통과 필터

  • 복소수 영점 쌍 r = 1,  = 50  대역저지 필터

    (그림6.1(c)(d))


6

  • 원하지 않은 주파수의 좁은 대역을 제거하기 위한 대역저지 필터

     켤레 복소수 영점 쌍을 단위원 위의 적당한 점에 놓는다.

    ((그림6.2))

    z = 0.9에서의 실수 극점을 갖는 1차 시스템

    z = - 0.8에서의 실수 영점을 갖는 2차 시스템

    r = 0.975,  = 150°에 공액 복소 극점쌍

    r = 1,  = 50 °에 공액 복소 영점쌍


6

예제 6.1 다음의 특징을 가진 순환 디지털 대역 필터를 설계하라.

(a) 대역 중심이  = /2에 위치하고 -3dB 사이에서 진폭은  /40이며, 최대 이

득이 1이다.

(b)  = 0,  = 에서 안정상태로 차단된, 즉 0인 필터

진폭 특성을 구하기 위해 부록 A1에서 20번 프로그램을 사용하여 필터의 이

산 방정식을 구하라.


6

- BC가 직선에 근접하다 가정

- PAB가 직삼각형이라 가정

- d = 1 - r (r > 0.9인 경우 합당)

- 2d = 2 (1-r)

- 2 (1-r) = /40, r = 0.961

  • 최대이득 : 26.15(28.35dB)

  • 방정식에서 , K = (26.15)-1 = 0.03824

  • 응답하는 차분방정식 :

    y[n+2] + 0.9235y[n] = 0.03824{x[n+2] - x[n]}

    괄호 안의 각각의 항에 대해서 2씩 빼면,

    y[n] = -0.9235y[n-2] + 0.03824{x[n] - x[n-2]}


6

그림6.4 간단한 대역 필터의 극점-영점 구성과 진폭 응답 (횡좌표 : 320 샘플)


6

예제 6.2(풀이)

- fs 2 fmax

- fs = 1.2 kHz

- fmax 는 최대 600Hz까지 될 수 있다.

- 2 : 1200 = o: 60

- o = 0.1 

-


6

y[n+2] - 1.8523 y[n+1] + 0.94833 y[n] = x[n+2] - 1.9021 x[n+1] + x[n]

y[n] = 1.8523 y[n-1] - 0.94833 y[n-2] + x[n] - 1.9021 x[n-1] + x[n-2]


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6.3 아날로그 설계에 의한 필터

- 라플라스 변환 : 아날로그 신호

- z 변환 : 디지털 신호


6

쌍1차 변환


6

  • 버터워스 필터

    1) 가장 평탄한 통과 대역

    2) Cutoff 주파수

    3) 만약 필터의 차수가 증가한다면

    통과대역, 정지대역  기능향상

    천이  날카롭게 된다.

  • 쳬비셰프

    1) 통과대역에서의 리플

    2) 1.0사이에서의 떨림

    3) 차수의 증가  리플의 증가

    4) 큰 리플  더 나은 정지대역

    5) 버터워스보다 더 날카로운 천이대역을 가진다.

  • 엘립틱 필터

    1) 리플  정지대역 통과대역 둘다 있음

    2) 좁은 천이대역


6

버터워스, 체비셰프, 엘립틱 필터

아날로그

디지털

버터워스

체비셰프

엘립틱


Butterworth chebyshev 1

디지털 Butterworth와 Chebyshev 필터를 설계하는 데 쌍 1차 변환이 중요한 이유

- 주파수 축이 압축될 때 필터의 진폭 특성인 최대 평탄과 등맥류 특성은 보

존됨.

- 아날로그 주파수 응답의 경우 에일리어싱(aliasing)이 없으므로 저역 필터의

응답은  = 에서 0이 되며 실제 응용에 많이 사용됨.


N butterworth

n차 Butterworth 저역필터

- 원주 위에 n개의 극점

- z = -1에 n차의 영점

- 극점들은 단위원 안쪽에 있는 Pm값에 의해 주어짐

- Pm의 실수부와 허수부는 별개


Chebyshev

Chebyshev 저역 필터


6

예제 6.3 차단 주파수 1= 0.2이며 주파수 응답이  = 0.4에서 30 dB 이하가 되도록 하는

(a) 필터의 최소 차수를 계산하라.

(b) z평면의 극점과 영점을 찾기 위해 21번 프로그램을 사용하여 구하고 극점과 영점을 그려라.

(c) 필터의 이산 방정식을 구하라.

(d) 21번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 데시벨로 그려라.


6

풀이

(a) 0.2 차단 주파수   = 0.4

(b) 5차의 필터가 z = -1에서 5차의 실수 영점

r 

0.50953 0

0.83221 34.644

0.59619 23.125


6

(c)

- 1차와 2차 필터를 직렬로 연결

- 1차 필터는 단일 실수 극점과 영점

- 2차 필터는 복소 극점쌍과 2차의 영점을 포함

- 5개 극점과 5개의 영점

- 중간 출력 v[n], w[n]


6

V[n] = v[n-1] + x[n] + x[n-1]

2차 필터의 전달함수

w[n] = 2r cos w[n-1] - r2w[n-2] + x[n] + 2x[n-1] + x[n-2]

v[n] = 0.50953v[n-1] + x[n] + x[n-1]

w[n] = 1.3693w[n-1] - 0.69257w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2]

y[n] = 1.0966y[n-1] - 0.35544y[n-2] + w[n] + 2w[n-1] + w[n-2]


6

(d) 프로그램 20번의 입력

No. of separate real poles: 1

value, order, of pole: 0.50953, 1

No. of separate real zeros: 1

value, order, of zero: -1, 5

No. of complex pole-pairs: 2

radius, angle, of each: 0.83221, 34.644

0.59619, 23.125

No. of complex zero-pairs: 0


6

((그림 6.7))


6

예제 6.4

(a) 3dB의 통과 대역 멱류와 0.2(36)에서 차단 주파수를 가진 3차의

Chebyshev 저역 필터의 주파수 응답을 구하기 위해 20번과 21번 프로그램을

사용하라. 이 필터는 예제 6.3의 차단 특성과 같은가?

(b) 0.7 의 차단 주파수를 가진 6차 Butterworth 고역 필터의 극점과 영점의

분포와 주파수 응답의 진폭 함수를 그려라.

풀이

(a) z = -1에서 3개의 영점을 가짐.

극점은 다음과 같다.

r 

0.82343 0

0.91467 32.794


6

(b) 21번 프로그램에 의해

r 

0.80853 126.95

0.52174 135.78

0.35026 160.39


6

  • Chebyshev 필터

    2 : 하위 차단 주파수

    3 : 상위 차단 주파수

    1 = ( 3 - 2 )

    두개의 극점과 영점

    ((그림 6.9))


6 3 2

6.3.2 임펄스-불변 필터

  • 아날로그 필터로부터 디지털 필터를 유도하는 또 다른 방법

  • 참조한 아날로그 필터의 impulse 응답의 샘플된 형태

    ((그림 6.10))


6

  • 주파수 영역에서 아날로그와 디지털 필터간의 다른 관계는, bilinear 변환에 비교됨.

  • 실제 문제  쌍1차 변환보다 사용하기에 덜 효율적이고 더 불편함.

  • h(nTs) = h A(t) | t = nTs

    h A(t) : 아날로그 필터, h(nTs) : h A(t)의 샘플된 형태 ‘

    h1[n] = h(nT1) n = 0, 1, 2, …

    h2[n] = h(nT2)

    T1<T2  h(nTs) : 에일리아싱(겹침)

  • 적절한 샘플링율에 의존.

  • 제한된 대역폭의 아날로그 기준 필터를 선정하는데 의존.


6

((그림 6.11))


6

  • 각각의 아날로그 부필터의 임펄스 응답은 단순한 지수적 형태를 가짐.

  • i번째 부필터의 경우


6

 z 평면의 원점에서 0.

 z = exp(piT)에 극점


6

예제 6.5 아날로그 선형 시불변 프로세서에서 가장 기본적인 형태는 전달함

수가 1차인 저역 필터이다.

여기서 는 시정수(time constant)라고 부른다. (이러한 필터는 저항과 커패시

터를 사용하여 설계할 수 있다.)


6

풀이

(a) τ = 1미고 s에 jω를 대입하면

이는 단일-극점 필터이므로 병렬 분해할 필요가 없으며,. 식(6.32)는 다음과 같이된다.

|H(ω)|와 h(t)는 그림 6.12와 같으며 ω = 1일 때, -3dB점 즉 |H(ω)|=1/√2이 된다.


6

(b) 식(6.35)를 사용하면 전달함수는

이산 방정식은

(c) T = 0.5초인 경우, 이산 방정식은 다음과 같다.


6

20번 프로그램을 이용하면, (b)에서의 필터는 z = 0.9512에서 단일 극점을 가지며, 또한 (c) 는 z = 0.6065에서 극점을 갖는다. 그림 6.13에 각각에 대한 주파수 응답을 나타내었다.

T = 0.05초일 때, 주파수 Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 62.8 라디안/초이다. T = 0.5초에서 주파수 Ω = π에 대응하는 각주파수는 ω = 6.28 라디안/초이다. 각각의 경우 -3dB 차단 특성은 아날로그 필터와 같이 1 라디안/초에 가깝게 발생한다. 그러나 에일리어싱 효과는 낮은 샘플링율에서 보다 심각하게 나타난다.

실제적으로 1 라디안/초와 같은 낮은 차단주파수를 가진 필터는 실용성이 없다.그러나 위의 결과로 샘플링율이 비례적으로 변한다면 상대적으로 차단주파수도 변한다는 것을 알 수 있다. 예에서각각 T = 5×10-5초와 T = 5×10-4초에 대하여 1000 라디안/초의 차단 주파수에 적용하였다.


6

예제6.6

1 라디안/초의 차단주파수를 가진 3차의 Butterworth저역 필터의 전달 함수는

(a) 샘플링 간격 0.5초인 임펄스 불변 디지털 필터를 설계하고 이산 방정식을 구하라.

(b) 부록 A1의 20번과 21번 프로그램을 사용해서 쌍 1차 변환 방법에 의해 설계된 설계된 3차의 Butterworth필터의 주파수 응답과 비교하라.

(c) 임펄스-불변 필터의 극점과 영점을 구하고 4번 프로그램을 이용해서 임펄스응답을 그려라.


6

풀이

(a) 병렬 형태의 H(s)를 표현하기 위해 부분 분수법을 사용한다.

복소수를 포함하고 있기 때문에 대수적인 주의가 필요하다.

T = 0.5초라 하면, 식(6.35)을 사용하여 디지털 전달함수의 구성 성분을 찾을 수 있다.


6

z = 0.6065, z = rexp(±jθ)에 세 개의 극점이 있다. 여기서 r = 0.7788이고 θ = 0.433 라디안(24.8°)이다. 두 복소 표현을 결합해 보면,

1차와 2차 부 시스템들이 병렬로 연결된 형태로 직렬 형태로 바꿀 수 있으며,20번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 나타낸다.그리고 프로그램은 직렬 형태를 가정하였으므로

이며, 간소화하면

그러므로 임펄스 불변 필터의 이산방정식은


6

입력

No. of separate real poles: 1

value, order, of pole:0.6065, 1

No. of separate real zeros: 1

value, order, of zero:-0.7315, 1

No. of complex pole pairs:1

value, order, of pole:0.7788, 24.8°

No. of complex zero pairs:0

프로그램은 그림 6.14(a)와 같이 주파수 응답을 나타내며, 이 경우에 Ω = π에 대등하는 각 주파수는 ω = π/T = 6.28 라디안/초이다. 특성에 의해 -3dB 차단점은 ω = 1에서 발생한다.


6

20번 프로그램을 사용하여 쌍 1차 변환 방법에 의해 설계된 3차의 Butterworth필터의 응답과 비교한다. 차단주파수는 Ω = ωT = 0.5 라디안, 즉 28.65°이다. z = 0.5932에서 실수극점을, 반지름 0.7831과 각 ±25.32°에서의 복소 극점쌍을 가지며 이 프로그램은 z = -1에서 3차의 영점을 갖는다. 20번 프로그램에 대한 입력 데이터로 사용되는 정보는 그림 6.14(b)에 나타내어져 있다.

두 개의 주파수 응답은 낮은 주파수에서 매우 유사하며 임펄스 불변필터의 차단경사는 아날로그 필터 특성의 에일리어싱 때문에 고주파수에서 덜 가파르다.


6

순환:2.0203, -1.464, 0.3678

비순환:0,0.08701, 0.06365


6

6.4 주파수 샘플링 필터

  • 아날로그 필터의 이론에서 직접적인 부분이 없음.

  • 필터 크기 특성의 선택이 유동적.

  • 유한 임펄스 응답 필터를 만듦. (유한 임펄스 응답  선형 위상 응답)

  • 디지털 공명 장치들 : 단위원상에 복소수의 극점쌍, 원점에 2차 영점.

  • 극점의 위치에 대응하는 주파수에서 계속된 진동.


6

  • 디지털 공명 장치들은 불안정.

  • 주파수 샘플링 필터  comb 필터와 공명 장치의 조합.

  • Comb 필터의 주파수 응답은 하나의 양수 출력 임펄스와 하나의 음수 출력 임펄스인데, 그것들은 m 샘플링 간격들로 분리되어 있음.  x(n)-x(x-m)

  • comb 필터의 전달함수 

  • 공명 장치는 정확하게 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨.


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  • 종합적으로

  • zm - 1 = 0  m개의 영점들은 단위원 주변에 등간격으로 분포. (comb 필터)

  • z2 - z + 1 = 0  정확히 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨.

  • 따라서, 전체 필터는 단지 z 평면의 영점들만을 가짐.

  • m=24인 경우에 y[n] = y[n-1] - y[n-2] + x[n] - x[n-24]

  • 대역 통과 특성

  • m   주 대역 


6

  • Comb 필터와 공명 장치의 조합.

  • 교대의 가중치들이 반전되어야 한다. 왜냐하면, 인접한 공명 장치들의 출력들간에 위상 역전이 있기 때문이다.


6

예제6.7 그림 6.18(a)의 주파수 응답에 근접하는 주파수 샘플링 필터를 설계하라. 75°에서 93°사이(Ω = 1.309에서 1.623 라디안)에서 3°간격으로 주파수영역에서 샘플을 하고, z-평면의 r = 0.999에 극점들과 영점들을 위치시킨다.필터를 실행하기 위한 이산 방정식을 구하라.

풀이

그림 6.18(b)와 같이7개의 샘플에 대하여 7개의 공진기가 필요하며, 그림 (c) 는 주파수-샘플링 필터를 나타낸다.

3°간격으로 샘플을 구하기 때문에 컴 필터는 z-평면에서 360/3 = 120 개의 염점을 가져야 하며 반지름 0.999에 영점을 놓으면 전달함수는 다음과 같다.

주어진 이산 방정식은


6

단위원보다 작은 반지름에 놓인 극점에 대해 수정된 공진기 식(6.37)과 같다.

각각의 7개의 공진기들은 여기서 고유각 θ를 가지며, 또한 샘플의 가중치는 이득인자이며 그림 6.18(c)에서 주어진 신호 특성과 r = 0.999을 사용하면, 7개의 공진기 식을 얻을 수있다.

완벽한 필터를 구현하기 위해서, 이미 주어진 컴 필터 수식을 사용하고, 마지막 출력은 공진기의 수직을 중첩해서 나타내며

9개의 전체식은 프로그램의 루프와 연결되어 진다.


6

6.5 디지털 적분기

  • 이동합

이상

  • 사다리꼴

연속합

  • 심슨의 법칙

사다리꼴

심슨


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그림 6.20 디지털 적분기: (a) 이동합, (b)사다리 법칙, (c)Simpson의 법칙


6

그림 6.21 이동합, 사다리, Simpson 적분기의 극점과 영점 위치


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