VECTORES
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VECTORES. DÍA 19 * 1º BAD CT. VECTORES FIJOS. Un VECTOR FIJO AB es una entidad geométrica, un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Se caracteriza por tener: Punto de aplicación, A, dado por unas coordenadas.

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Presentation Transcript


Vectores

VECTORES

DÍA 19 * 1º BAD CT


Vectores fijos

VECTORES FIJOS

  • Un VECTOR FIJO AB es una entidad geométrica, un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

  • Se caracteriza por tener:

  • Punto de aplicación, A, dado por unas coordenadas.

  • Dirección, que es la recta sobre la que se apoya.

  • Sentido, que es el indicado por la flecha del vector.

  • Módulo o intensidad, que es la medida desde el origen A al extremo B.

  • Vector v = AB

Dirección

B

La flecha del vector indica su sentido.

Nota: Se permite formalmente

que, en lugar de una flecha

sobre el nombre del vector, baste

señalar dicho nombre en negrilla.

Módulo = |v|

A = Punto de aplicación


Vectores

  • Vector fijo

  • Un vector fijo es un segmento orientado, de origen el punto A y extremo el punto B.

t

z

w

v

u

Ejemplo de cinco vectores diferentes: u, v, w, s, y t


Vectores

  • Vector fijo

  • Un vector fijo es un segmento orientado, de origen el punto A y extremo el punto B.

AB

CD

EF

GH

JK

Ejemplo de cinco vectores diferentes.


Equipolencia de vectores

EQUIPOLENCIA DE VECTORES

  • Dos vectores fijos AB y CD, no nulos, son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

  • Se designan como:

  • AB ~ CD

  • Gráficamente, dos vectores no nulos y no alineados son equipolentes si al unir los orígenes y los extremos se obtiene un paralelogramo.

B

A

D

C


Vectores libres

VECTORES LIBRES

  • Un vector libre es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto de los vectores fijos mediante la relación de equipolencia.

  • Dicha relación es de equivalencia al cumplir las propiedades:

  • Reflexiva: Todo vector fijo es equipolente a si mismo.

  • Simétrica: Si un vector fijo es equipolente a otro, éste es equipolente al primero.

  • Transitiva: Si un vector fijo es equipolente a un segundo, y éste es equipolente a un tercero, el primero es equipolente al tercero.

v

v

v

v

v

C


Vectores libres1

VECTORES LIBRES

  • Si al segmento le quitamos su punto de aplicación, A, se podrá mover libremente (desplazarse) sobre la recta que forma la Dirección.

  • Si además le permitimos desplazarse paralelamente a su Dirección, podrá ocupar todo el plano.

  • El vector tendrá una libertad de movimientos muy grande, aunque no podrá girar. Debido a dicha libertad de movimientos se denomina vector libre.

  • El módulo, dirección y sentido de un vector libre es el módulo, dirección y sentido de cualquiera de sus representantes.

v

v

v

v

v


Vectores

F

B

  • Ejemplos de vectores equipolentes

  • Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, direcciones paralelas y sentido.

EF

AB

H

GH

E

A

P

D

G

CD

M

PQ

MN

C

Q

  • Los vectores AB y CD son equipolentes.

  • Igual que EF y GH . Y lo mismo pasa con MN y PQ.

N


Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas

  • Un sistema de coordenadas cartesianas en V2 está formado por:

  • Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas.

  • Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes.

  • El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas.

  • El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX.

  • El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY.

  • La unidad del eje de abscisas es el vector i.

  • La unidad del eje de ordenadas es el vector j.

  • La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector.

  • La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector.

y

u

j

i

x

u = xi + yj


Vectores

v = 5i + 3j  v = (5,3)

  • Ejemplos de coordenadas de un vector

  • Sea el vector u = ai + bj  u = (a, b)

w = 2j  w = (0, 2)

t = - 4i+j  t = (- 4, 1)

u = 5i  u = (5, 0)

z = 2i – 3j  z = ( 2, -3)


Vectores

B(8, 5)

  • Ejemplo 1

  • Sean los puntos A(6,2) y B(8,5) en la referencia euclídea R=(O,i,j)

  • Hallar las coordenadas del vector AB.

  • Podemos poner:

  • OA+AB=OB

  • a+AB=b

  • De donde:

  • AB = b – a

  • AB=(8, 5) – (6,2) =

  • = (8 – 6 , 5 – 2)= (2,3)

AB =(2,3)

A(6, 2)

O


Vectores

A(4, 0)

O

  • Ejemplo 2

  • Sean los puntos A(4,0) y B(8,-6) en la referencia euclídea R=(O,i,j)

  • Hallar las coordenadas del vector AB.

  • Podemos poner:

  • OA+AB=OB

  • a+AB=b

  • De donde:

  • AB = b – a

  • AB=(8, – 6) – (4,0) =

  • = (8 – 4 , – 6 – 0)= (4, – 6)

AB=(4, –6)

B(8, -6)


Vectores

A(5, 2)

  • Ejemplo 3

  • Un vector fijo tiene su origen en el punto A(5, 2) y sus coordenadas son (- 3, - 4). Hallar las coordenadas de su extremo B.

  • Podemos poner:

  • OA+AB=OB

  • a+AB=b

  • De donde:

  • b = AB + a

  • b=(– 3 , – 4) + (5, 2) = (2 , – 2)

O

AB=(– 3, –4)

B(2, -2)


M dulo y argumento

MÓDULO Y ARGUMENTO

  • MÓDULO

  • Módulo de un vector u , |u|, es su longitud.

  • |u|=√(x2+y2)

  • ARGUMENTO

  • Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas.

  • arg(u) = α = arctg (y/x)

u

yj

|u|=√(x2+y2)

α = arctg (y/x)

j

i

xi


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