Structuri arborescente

Structuri arborescente (grafuri de tip arbore)

Structuri arborescente • Definiţie. Graful este arbore dacă este aciclic şi conex.

Structuri arborescente • Definiţie.Fie graf arbore. Subgraful al lui este subarbore al lui dacă este graf arbore.

Structuri arborescente • Fie un graf. Următoarele afirmaţii sînt echivalente: • este graf arbore (aciclicşi conex); • este graf conex minimal: prin eliminarea oricărei muchii, graful rezultat nu este conex; • este graf aciclic maximal: prin adăugarea unei noi muchii în graf rezultă cel puţin un ciclu. • Cum verificăm dacă un graf este arbore? • Verificare conexitate+ verificareaciclicitate (alg. Marimont) • Verificareaciclicitateşi 1(n – nr. vîrfuri, m– nr. muchii) • Verificareconexitateşi 1

Graf asimetric Graf simetric Structuri arborescente • Definiţie.Se numeşte graf asimetric un digraf cu proprietatea că pentru orice , . • Digraful D este simetric dacă pentruoriceşi .

Graf suport Structuri arborescente • Definiţie. Fie digraf netrivial. Graful , unde se numeşte graf suport al digrafului D.

G1 GS Graf orientat asimetric Graf suport G2 Graf orientat asimetric Subarbori (G1, G1/G2) Structuriarborescente • Definiţie. Un arbore direcţionateste un graf orientat asimetric pentru care graful suport corespunzător este graf arbore. • Definiţie. Arborele direcţionat este arbore cu rădăcină dacă există astfel încît, pentru orice , , există r-u drum în . Vîrful r se numeşte rădăcina arborelui direcţionat (drumurile sînt unice, rădăcina este unică; lungimea unui drum este egală cu numărul de arce). • Definiţie. Fie arbore direcţionat. Arborele este subarbore al lui T dacă , şi T1 este arbore direcţionat. Pentru un arbore cu rădăcină, orice nod este rădăcina unui subarbore. Arbore direcţionat Arbore direcţionat cu rădăcină

Reprezentări şi parcurgeri(arboriorientaţi) “…lungimea unui drum este egală cu numărul de arce.” • Definiţie. Un arbore orientat este un arbore direcţionat cu rădăcină. • Definiţie. Fie un arbore orientat cu rădăcină r. Un vîrf v este situat pe nivelul ial arborelui T, dacă distanţa de la vîrf la rădăcină este egală cu i. Rădăcina arborelui este considerată pe nivelul 0. • Se pot folosi toate tipurile de reprezentare a grafurilor, plus metode specifice arborilor.

Reprezentarea Fiu-Frate Atenție la translația etichetă indice vector din partea stîngă, conform reprezentării grafice • N: numărul de noduri • R: eticheta nodul rădăcină • FIU(i): eticheta primului descendent al vîrfului i • FRATE(i): eticheta vîrfului descendent al tatălui vîrfului i şi care urmează imediat lui i • INF(i): informaţia ataşată vîrfului i • adesea informaţia e chiar valoarea i, caz în care vectorul INF nu mai e necesar • Valoare lipsă (fiu, frate): se foloseşte o valoare convenţională (0, -1…) spre dreapta, conform reprezentării grafice

Reprezentarea Fiu-Frate N = 16, R = 1 Putem afla tatăl unui nod? Putem afla descendenţii unui nod? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 FIU =(2,5,0,8,0,9,0,14, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) FRATE =(0,3,4,0,6,7,0, 0,10,11,12,13, 0,15,16, 0)

Reprezentare folosind structuri dinamice • Presupunînd că fiecare vîrf al arborelui are cel mult n descendenţi, fiecărui vîrf îi este asociată structura ,

Parcurgeri • Aplicarea sistematică a unei reguli de vizitare a vîrfurilor arborelui. • Cele mai utilizate reguli de parcurgere a arborilor orientaţi sînt • A-preordine (variantă DF) • A-postordine (variantă DF) • parcurgerea pe niveluri (BF)

Parcurgerea în A-preordine (Fiu-Frate) • Se vizitează vîrful curent şi se identifică descendenţii lui. Se aplică aceeaşi regulă de vizitare pentru fiecare dintre arborii avînd ca rădăcini descendenţii vîrfului curent. void A_preordine (nod R) { if (R) { vizit(R); A_preordine(FIU[R]); A_preordine(FRATE[R]); } } 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 7, 3, 4, 8, 14, 15, 16

Parcurgerea în A-postordine (Fiu-Frate) • Se identifică şi se vizitează descendenţii vîrfului curent, apoi se vizitează vîrful curent. Se aplică aceeaşi regulă de vizitare pentru arborii avînd ca rădăcini descendenţii vîrfului curent. void A_postordine (nod R) { if (R) { A_postordine(FIU[R]); vizit (R); A_postordine(FRATE[R]); } } 5, 9, 10, 11, 12, 13, 6, 7, 2, 3, 14, 15, 16, 8, 4, 1

Parcurgeri în adîncime (str. dinamice) void A_preordine (nod R) { if (R) { vizit (R); for(i=0;i<n;i++) A_preordine(R->leg[i]); } } void A_postordine (nod R) { if (R) { for(i=0;i<n;i++) A_postordine(R->leg[i]); vizit (R); } }

Parcurgerea pe niveluri (Fiu-Frate) void parcurgere_pe_niveluri(nod R, int FIU[], int FRATE[], int n) { TNOD* C=NULL; push(C,R); while (C) {pop(C,v); VIZIT(v); v=FIU[v]; while(v) {push(C,v); v=FRATE[v]; } } } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Parcurgerea pe niveluri (str. dinamice) void parcurgere_pe_niveluri(nod *R) { TNOD* C=NULL; push(C,R); while (C) {pop(C,v); VIZIT(v); for(i=0;i<n;i++) if(R->leg[i]) push(C,R->leg[i]); } } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Arbori parţiali • Definiţie. Fie un graf. Subgraful parţial este un arbore parţial al lui dacă este graf arbore. • Definiţie. Fie un graf ponderat conex. Dacă este un arbore parţial al grafului , ponderea arborelui, notată , este definită prin • Definiţie. Arborele parţial este arbore parţial minim pentru dacă , unde este mulţimea arborilor parţiali ai grafului .

Arbori parţiali P = 22 P = 20 P = 15

Algoritmul lui Kruskal Problemă: determinarea arborelui parţial de cost minim al grafului . Algoritm: • se iniţializează iar . • dintre arcele disponibile (neselectate anterior) se alege arcul cu ponderea cea mai mică şi care nu formează un ciclu prin adăugare la arbore • repetă pasul anterior de ori

v v 4 3 4 3 2 v 2 x 8 8 v 12 9 2 2 1 1 1 4 2 3 4 5 5 1 6 3 2 6 4 i j arc 1 2 3 4 5 6 cost total (-1, -1, -1, -1, -1, -1) 0 1 1 (1,6) (-2, -2, 2, -1, -1, 1) 2 3 2 2 (2,4) (-2, -3, 2, 2, -1, 1) 2 5 3 3 (1,5) (-3, -3, 2, 2, 1, 1) 3 8 4 4 (3,4) 8 5 4 (1,2) (-6, 1, 2, 2, 1, 1) 4 12 Algoritmul lui Kruskal v 2 3 1 1 6 2 2 4 2 1 5 3 3 4 4 1 2 4 4 6 8 5 6 8 3 6 9 3 5 12 Nr. arc curent Arc curent Vectorul Tata Nr. arce selectate 0 0 (2,3) (-1, -2, 2, -1, -1, -1) 1 1

Algoritmul lui Kruskal • Funcţie pentru determinarea rădăcinii int radacina(int v,int tata[]) { int u = v; while(tata[u] >= 0) u = tata[u]; return u; } Ex.: v = 4 u = 4 tata[4]=2 u = 2 tata[2]=1 u = 1 tata[1]=-6 < 0 1 2 3 4 5 6 (-6, 1, 2, 2, 1, 1)

Algoritmul lui Kruskal intkruskal(int a[][3],int nm, intnv, int b[][3]) {int tata[50],i,j, v1, v2, r1, r2; int c=0; for(i=0;i<nv;i++)tata[i]=-1; for(i=j=0; j<nv-1;i++) {v1=a[i][0]; v2=a[i][1]; r1=radacina(v1,tata);r2=radacina(v2,tata); if( r1 != r2 ) {if( tata[r1]<tata[r2] ) {tata[r1]+=tata[r2];tata[r2]=r1; } else {tata[r2]+=tata[r1];tata[r1]=r2; } b[j][0]=a[i][0]; b[j][1]=a[i][1]; b[j][2]=a[i][2]; c+=a[i][2]; j++; } } return c; }

Spor la învăţat!

Structuri arborescente