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数理统计

数理统计. 一、数理统计的基本概念. 二、参数估计. 三、假设检验. 一、数理统计的基本概念. (一)总体、个体和样本. 1. 总体:研究对象的全体,记为 X. 2. 个体:组成总体的每个元素。. 3. 样本:从总体中按某种方式抽取若干个个体 所组成的集合 . 个体的个数称为样本容量 ( 大小 ). 容量为 n 的样本记为 ( X 1 , X 2 , ‥ ,X n ). 4. 简单随机样本:来自总体 X 的 n 个相互独立且与 总体同分布的随机变量 X 1 , X 2 , ‥ ,X n . 简称样本. 样本观察值:.

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Presentation Transcript


  1. 数理统计 一、数理统计的基本概念 二、参数估计 三、假设检验

  2. 一、数理统计的基本概念 (一)总体、个体和样本 1.总体:研究对象的全体,记为X . 2. 个体:组成总体的每个元素。 3.样本:从总体中按某种方式抽取若干个个体 所组成的集合.个体的个数称为样本容量(大小). 容量为n的样本记为(X1, X2,‥,Xn). 4.简单随机样本:来自总体X的n个相互独立且与 总体同分布的随机变量X1, X2,‥,Xn .简称样本. 样本观察值:

  3. 5.样本(X1, X2,‥,Xn)的联合分布函数 设总体X的分布函数为F(x),则样本(X1, X2,‥,Xn) 的联合分布函数为 (1)若总体X 具有密度函数f (x),则样本的联合密度 函数为 (2)若离散总体X 具有分布律: 则样本的联合分布律为

  4. 6.分位数(点) 设总体X的分布函数为F(x),满足 的点 称为X的上 分位数. 若满足 的点 称为X的下 分位数.

  5. (二)统计量 1.定义 不含总体分布中任何未知参数的样本X1, X2,‥,Xn 的任意函数 g(X1, X2,‥,Xn )称为统计量. 2.常用统计量 设X1, X2,‥,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,‥,xn 是这一样本的观察值. (1)样本平均值 (2)样本方差

  6. (3)样本标准差 (4)样本k阶原点矩 一阶: 二阶: (5)样本k阶中心矩 二阶: (样本方差) 3.抽样分布 统计量的分布称为样本分布.

  7. 1. 分布 (2)数字特征: (三)三大抽样分布 (1)定义 设X1, X2,‥,Xn 相互独立,且都服从 则随机变量 所服从的分布 称为自由度为n的 分布,记为 (3)分位数

  8. 2. t 分布 (1)定义 设 且X与Y 独立同 分布,则随机变量 所服从的分布称为 自由度为n的t分布,记为 (近似) (2)性质: 当n足够大时, (3)数字特征:ET=0,n>0, DT= (4)分位数 密度函数的图形关于y 轴对称,形状与标准正态 分布相类似.

  9. (2)性质: 若 则 (4)分位数 3. F分布 (1)定义 设 且X与Y独立同 分布,则随机变量 所服从的分布称 为自由度为(n1,n2)的F分布,记为 若 则 (3)数字特征:

  10. 相互独立,并且 (四)正态总体的常用统计量 1.单个正态总体的抽样分布 设X1, X2,‥,Xn是来自正态总体 的一个样本, 分别是样本均值和样本方差,则

  11. 2.两个正态总体的抽样分布 设X1, X2,‥,Xn1是来自正态总体 的一个样本, X1, X2,‥,Xn2是来自正态总体 的一个样本, 且两个样本相互独立,设它们的样本均值和方差为 则

  12. 当 时, 其中

  13. (五)最大、最小次序统计量的分布 设总体X的分布函数为F(x), X1, X2,‥,Xn是来自 总体X的样本, 则统计量 和 的分布函数分别是

  14. 重要结论 1.无论总体X是否正态分布,只要样本X1, X2,‥,Xn 取自X,且 则 2.三大抽样分布的有关性质: (1)若 则 (2)若 则X与Y相互独立,则 (3)对于 有

  15. (4)对于 有 (5) 若总体X的k阶原点矩 存在,X1, X2,‥, Xn取自X的样本,则

  16. 考点与例题分析 有关数理统计的基本概念 考点一:求样本容量n,或与样本均值 和样本 方差 有关的概率(记住统计量的分布). 考点二:求统计量的数字特征(利用统计量和数 字特征的性质). 考点三:求统计量的分布.

  17. 考点一:求样本容量n,或与样本均值和样本方差 有关的概率 例1 在天平上重复量称一重为a的物品,假设各次 称量结果相互独立且服从正态分布 若以 表示n次称量结果的算术平均值,则为使 n的最小值应不小于自然数________.

  18. 得 取 解

  19. (1)已知 求概率 (2)未知 求概率 已知 未知 例2 从正态总体 中抽取样本X1, X2,‥,X10 , 解 由统计量的分布知

  20. (2)未知 因此 (1) 已知 (查表)

  21. 考点二:求统计量的数字特征 注意利用统计量的性质和随机变量的性质 例3 设总体 X1, X2,‥,Xn是来自X的样本, 记 则 且 解 因 从而 故

  22. 例4 设 为来自总体N(0,1)的简单 随机样本, 为样本均值,记 求:(I) 的方差 (II) 与 的协方差 分析 先将 表示为相互独立的随机变量求和, 再用方差的性质进行计算 解 由题设,知 相互独立,且 ,

  23. (I)

  24. (II)

  25. 考点三:求统计量的分布. 利用 分布,t分布和F分布的典型结构、正态总 体下常用统计量的性质求解. 正态总体 的三个抽样分布:

  26. 例5 设总体X~N(0,1),从中取一个容量为6的样本 (X1, X2,‥,X6),设Y=(X1,+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 试决定常数C,使随机变量CY服从 分布. 解因X1,+X2+X3~N(0,3), 故 同理 于是有

  27. 例6 设 : 解 由t分布的性质知 、 因此选(C). 再由F分布的性质知 、

  28. 例7 设总体 X1, X2,‥,Xn是来自X的简单 样本, 是样本均值,记 服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

  29. 例8(05)设 为来自总体N(0,1)的 为样本方差,则 简单随机样本, 为样本均值, 正态总体 的三个抽样分布:

  30. 解 由正态总体抽样分布的性质知, 可排除(A);又 可排除(C);而 不能断定(B)是正确. 因为 且 相互独立,于是 故应选(D).

  31. 二、参数估计 点估计 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

  32. (一)点估计 1.定义 样本的某个函数 作为总体 分布中未知参数 的估计,则 称为 的点估计. 2.估计量与估计值 统计量 作为 的估计时,称为 的估计量,它的一组样本观测值 称为 的估计值. 3.矩法估计 • 用样本的矩(原点矩或中心矩)或矩的函数代替 • 相应总体的矩或矩的同一函数而求得未知参数的 • 一种估计方法.

  33. (2) 矩估计法的步骤: • 求出总体的矩 • 列矩估计方程 • 解上述方程(或方程组) 4. 最大似然估计 (1)定义 设总体X的概率分布为 为未知参数,则取自X的样本(X1, X2,‥,Xn)的联合 分布称为似然函数.

  34. 若有 使得 则 称为 的最大似然估计值 称为 的最大似然估计量 • (2)最大似然估计的求解步骤:(最值问题) • 写出似然函数 • 取对数的对数似然函数 • 分别对未知参数求偏导数,得似然方程 • 求解方程得驻点,确定最大值点

  35. (二)估计量的评选标准 1.无偏性 设 为 的估计量,若 则称 为 的无偏估计. 2.有效性 设 均为 的无偏估计, 如果 则称 比 有效.若 的无偏估计 的方差达到最小,则称 为 的最小方差估计. 有 若对 3.一致性 则称 为 的一致估计.

  36. (三)区间估计 设 为正态总体X的未知参数, X1, X2,‥,Xn是来自 X的样本,对给定的 如果两个统计量 满足 则称随机区间 为 的置信水平为 的置信 区间. 和 分别称为置信水平为 的双侧置信 区间的置信下限和置信上限. 单侧:

  37. 2.正态总体未知参数的双侧置信区间表 单个正态总体: ( 已知, 未知) 待估参数 ( 已知, 未知) 待估参数 两个正态总体: ( 已知, 未知) 待估参数 ( 已知, 未知) 待估参数 对应的统计量:

  38. (四)重要结论 1. 分别为总体EX,DX的无偏估计量. 2. 由大数定理易知 也是EX,DX的一致估计量. 3.若 则 为 的一致估计. 4.若 为 的矩估计, g(x)为连续函数,则 为 的矩估计. 5.若 为 的最大似然估计, g(x)为单调函数,则 为 的最大似然估计估计.

  39. 6.若 为 的置信水平为 的置信区间, g(x)为单调增加(减少)的函数,则 为 的置信水平为 的置信区间.

  40. 考点与例题分析 考点一:矩估计和最大似然估计.

  41. 例1.设总体X的概率分布为 0 1 2 3 其中 是未知参数,利用总体X的如下样 本值:3,1,3,0,3,1,2,3 求 的矩估计和最大似然估计值.

  42. 分析:矩估计用 计算即可; 最大似然估计的关键是写出似然函数,对离散型 情形,就是在对应样本观测值处的联合分布律. 解 得 即 令

  43. 似然函数为 取对数: 求导: 令 即 舍去 解得 故得所求最大似然估计值为

  44. 例2 (06) 设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 X1, X2,‥,Xn是来自X的简单样本,记N为样本值x1, x2,‥,xn中大于0小于1的数, (1)求 的矩估计;(2)求 的最大似然估计. 分析(1)先求出X的期望,再列矩估计方程即可. (2)先写出似然函数,再用似然估计法计算.

  45. 考点二:评估量评选标准 估计量的无偏性就是计算估计量的期望; 比较无偏估计量的有效性,就是计算估计量的方差; 一致性是求估计量与参数之差的绝对值的概率的 极限,即依概率收敛的问题.

  46. 例3 设X1, X2,‥,Xn是来自X的一个样本,且设 确定常数c使 为 的无偏估计. 解 方法一:因X1, X2,‥,Xn相互独立同分布,所以

  47. 方法二:因X1, X2,‥,Xn相互独立同分布,所以 从而有

  48. 例4(0713)设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 X1, X2,‥,Xn是来自X的 简单样本, 是样本均值, (1)求参数 的矩估计量 (2)判断 是否为 的无偏估计量,并说明理由.

  49. 解 (1) 令 其中 解方程得 的矩估计量为

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