Песочный замок

1. Песочный замок Задача №15

2. Условие задачи Оцените прочность мокрого песка. Какой максимальной высоты можно построить "песочный замок" с заданной площадью основания?

3. Цели • Дать качественное объяснение • почему можно построить песочный замок • почему замок разрушается • Определить как зависит прочность песка и песочного замка • от влажности песка • от размеров песчинок • от степени утрамбовки • от формы песочного замка • Определить максимальную высоту замка • Построить песочный замок максимально возможной высоты

4. Почему можно построить замок из влажного песка Когда к песку добавляют воду, то между песчинками в местах их соприкосновения друг с другом образуются капиллярные мостики, которые создают притягивающую силу между песчинками из-за поверхностного натяжения. Это полностью меняет свойства песка. Жидкость в пространстве между песчинками изначально собирается рядом с точками соприкосновения песчинок, потому что ее притягивает туда поверхностное натяжение. Кривизна жидкости создает области низкого давления, вызывающие притяжение между песчинками.

5. Схематическое изображение сил, действующих на неподвижные песчинки Fa – сила поверхностного натяжения N – сила реакции опоры В дальнейшем мы будем считать, что сила поверхностного натяжения уравновешивает силу реакции опоры.

6. Схематическое изображение сил, действующих на песчинки, когда они движутся Ffr - сила трения скольжения Fv - сила вязкого трения Fa - сила поверхностного натяжения

7. Оптимизация песка • Из формулы Лапласа сдвигающее давление – • Растягивающее давление (вес песчинки) – • Чем меньше средний размер песчинок, тем прочнее будет замок.

8. Характерные размеры использованного песка R∈[0,1; 0,3] мм Rср= = 0,2 мм σ ≈ 0,05 мм

9. Влажность песка • Наибольшая прочность песка достигается при втором состоянии (мосты между отдельными песчинками) • В нем также можно выделить три режима Сухой песок, соединение отсутствует Частично насыщенный – при малых объемах воды образуются жидкостные мостики рядом с точками соприкосновения песчинок При больших объемах воды жидкостные мостики соединяются и образуют тримеры, тетраэдры ипентамеры. Hornbaker, D. J., Albert, R., Albert, I., Barabasi, A. & Schifer, P. Nature 387, 765 (1997), Arshad Kudrolli. Sticky Sand При еще больших объемах воды образуются большие кластеры. Если пространство между песчинками полностью заполнено водой, соединение отсутствует.

10. Капиллярные мостики (фото под микроскопом) Песчинки окрашивались зеленкой для лучшей видимости. В качестве жидкости использовалась вода. 1 мм

11. Кластер 1 мм

12. Возможные режимы соединения

13. Зависимость силы поверхностного натяжения от объема жидкости • Т.о. мы можем видеть, что максимум прочности соединения соответствует третьему режиму, до начала образования кластеров. ThomasC.Halsey & AlexJ.Levine. HowSandcastlesFall

14. lr R Минимальное значение оптимальной концентрации воды Переход от второго к третьему режиму наблюдается приVbond=lr2R, где lr – средняя высота выступа. (ThomasC.Halsey & AlexJ.Levine. HowSandcastlesFall) Оценим оптимальное соотношение воды и песка в этом случае. k У нас Nmin = 2,5%

15. R φ θ r l Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам). Обозначения и допущения R – радиус шара r – толщина мостика φ=arcsin(r/R) l – длина мостика. В дальнейших расчетах мы считаем, что она мала по сравнению с радиусом песчинки. θ – краевой угол между водой и песком. В дальнейшем считаем θ~00.

16. Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) • Слияние песчинок в простейший кластер (треугольный) происходит, как понятно из геометрических соображений, в случае, если φ=π/6. • ∆ABC, составленный центрами трех касающихся песчинок (шарики одинакового размера) – равносторонний. ∠ φ – половина угла этого треугольника. • При дальнейшем увеличении угла φ, связанном с увеличением объема жидкости, количество песчинок, входящих в кластер, увеличивается, соответственно уменьшается прочность соединения. A B φ C

17. Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) Зная радиус песчинки (R)и угол φ, выразим через них объем мостика k - Количество мостиков на каждую песчинку зависит от плотности упаковки песка (fp). N – количество песчинок в единице объеме. Отсюда найдем соотношение общего объема воды и объема песка k

18. Нахождение максимального процентного соотношения воды и песка, соответствующего максимуму прочности (переход к кластерам) Подставив в формулу числовое значение φ=π/6, получаем верхнее значение для оптимальной концентрации воды Nopt≈4,5%.

19. Экспериментальная зависимость прочности замка от влажности песка Nmax = 3,75% Параметры башни: R=3 см H = 6 см

20. Разрушение на сжатие При разрушении на сжатие максимальная сжимающая сила - - предел прочности на сжатие мокрого песка Собственный вес конструкции - Условие разрушения: Максимальная высота не зависит от радиуса! Экспериментально мы видим, что это не так.

21. Перед F Разлом Во время F После F После F Во времяF Перед F Небольшое возмущение Неустойчивое равновесие Причины разрушения замка • При достижении определенной высоты столб песка разрушается. Находясь в состоянии неустойчивого равновесия и имея низкую прочность на изгиб, замок разрушается под действием собственного веса. • Для того, чтобы количественно оценить максимальную высоту замка, необходимо знать модуль упругости для мокрого песка с разными параметрами.

22. Теоретическая оценка максимального модуля упругости E Модуль сдвига для куба из влажного песка со стороной L, состоящего из большого количества песчинок, можно найти как: где Δx/L – удлинение, Fstrain/L2– напряжение. Предполагая, что на уровне отдельных частицкапиллярные силы и силы упругости уравновешены для каждой пары частиц, и предполагая контакт двух песчинок контактом двух шаров, можно найти максимальный модуль сдвига. где R – радиус песчинок γ – поверхностное натяжение E – модуль Юнга для песчинок Коэффициент α зависит от утрамбовки. При коэффициенте упаковки fp≈0,74 α ≈0,054 Moller, P. & Bonn, D. The shear modulus of wet granular matter.

23. Зависимость коэффициента αот плотности упаковки

24. Формула для максимальной высоты (модель Гринхилла) Из формулы следует, что оптимальная форма замка не зависит от параметров песка. E – модуль Юнга для мокрого песка, r–радиус основания, F – фактор формы n – параметр, определяющий, как изменяется радиус замка по высоте(1), H – высота замка с – первый корень функции Бесселя Jt, t(m,n) (2)

25. Форма замка при разных значениях n 0<n<1 n=0 n>1 n=1

26. Оптимизация форм-фактора (коэффициента n). График зависимости форм-фактора от коэффициента n. Максимальная высота достигается при n=1,24(F = 132)

27. Окончательная формула Для конуса F=120 Для цилиндра F= 31,4 E = 3*1010Па ρc = 3400 кг/м3

28. Методика проведения эксперимента • Промывание и прокаливание песка • В песок наливалась вода в необходимом процентном соотношении • Влажный песок засыпался в заранее подготовленную форму (бумажный цилиндр, несколько слоев бумаги), место соединения заклеивалось скотчем) • Утрамбовка песка. • Скотч отдирался и бумагу аккуратно разматывали.

29. 18 см, r = 2 см

30. 22 см,r = 2,5 см

31. Цилиндр

32. 30 см, r = 2 см

33. Конус H (см) r (см)

34. Выводы • Тип песка: • Характерный размер песчинок – максимально мелкий • Плотность песчинок – минимальная • Влажность песка- оптимум достигается при соотношении объема воды и объема песка от 2,5 до 4,5%. • Форма «песочного замка» - конусообразная фигура, зависимость радиуса от высоты задается формулой • Плотность упаковки – чем больше, тем лучше (определяет ɑ). • Метод постройки – засыпание в формы и утрамбовка • При нашей плотности утрамбовки Hmax=4,5*r2/3 • При максимальной плотности утрамбовки Hmax=10,2*r2/3