结构力学

1. 结构力学 第七章 薄壁梁的弯曲和扭转

2. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-1 引言 工程假设 梁式薄壁结构： • 长度››剖面尺寸——受力和变形同材料力学中的细长梁类 似。 • 外形——棱柱形、锥形。棱柱形薄壁结构是指其横截面几 何特征与材料沿结构纵向完全一样。 • 剖面周线——开口、单闭室和多闭室。 • 飞行器构造中常采用的梁式薄壁结构： • 大展弦比的机翼、尾翼和细长的机身； • 翼梁、桁条等。

3. 图7-1 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 以悬臂大展弦比平直机翼为例，如图7-1所示: 1. 合内力——在外载作用下，各个横截面上的合内力弯矩Mx和My，扭矩Mz，剪力Qx和Qy及轴向力Nz，均可由静力平衡方程确定。 • 应力分布——确定横截面上的应力分布则是一个比较复杂 • 的问题。本章将采用适当的工 • 程假设，使该问题得以简化， • 得到工程梁薄壁结构的常规 • 计算方法。

4. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 “翘曲”——梁式薄壁结构在外载荷作用下发生弯曲和扭转，横剖 面上纤维可沿纵向伸长或缩短，我们把横截面上各点 沿纵向的相对位移所形成的剖面不再是平面的变形称 为“翘曲”。 自由翘曲——自由端——自由弯曲、扭转 “翘曲” 限制翘曲——根 部——限制弯曲、扭转 （附加应力—初应力） 研究内容——本章主要研究棱柱形薄壁梁在自由弯曲和自由扭 转受力状态下的内力计算。对限制弯曲和限制扭转的受力特点仅 简要阐明其物理概念。

5. 图7-2 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 薄壁梁计算模型 基本假设：1. 线弹性； 2. 小变形假设。 根据它的受力和变形的特点，另作如下假设： • 横剖面上的线应变εz符合平面分布规律，用下列函数表示， 式中x、y为剖面上各点位置的坐标，a、b、c为待定常数。 • 假设剖面没有畸变； • 壁板很薄，壁板中正应力和剪应 力沿其厚度均匀分布；剪流q=τt， τ为剪应力,t为板厚； • 横剖面上剪应力的方向与壁板中 线切线的方向一致，如图7-2所示；

6. 图7-1 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-2 自由弯曲时的正应力 根据线应变平面分布规律假设和剖面没有畸变假设，对于由同一材 料制成的薄壁梁，其截面上任一点的正应力为 在微分面积df=tds上的轴向力为σdf, (a) 令A=Ea，B=Eb，C=Ec，则 式中A、B、C仍为待定常数，可由剖面上静力平衡条件来确定。 根据合内力的关系，可得: (b)

7. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 （b）式中∫F表示沿整个剖面全部承受正应力面积的积分，将式(a)代入 (b)，得到： （c） 若把坐标原点o取在剖面上全部承受正应力面积的形心上,则： 联立求解(c), 可求得系数A、B、C。

8. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 系数A、B、C为: 将求得的A、B、C代回式(a)，且令:

9. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 (7-1) 则正应力表达式为: • 式(7-1)中 : • Jx、Jy分别为剖面上承受正应力的面积对过其形心座标系x轴和y轴 • 的惯性矩; • 2. Jxy为剖面上承受正应力的面积对xoy座标轴的惯性积; • 3. Fo为剖面上承受正应力的面积。

10. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 (7-2) 若取座标轴xoy与剖面承受正应力的面积的中心主轴重合时，有 Jxy=0，于是,式(7-1)简化为 式中Jx、Jy分别为剖面上承受正应力的面积对其中心主轴x和y的惯性矩 注意：公式(7-1)或(7-2)是在假设组成系统的各元件材料都相同且在比例 极限内受力的前提下导出的。 实际结构经常是由弹性系数不同的许多元件组成的，如图所示的机翼剖 面（蒙皮、桁条和翼梁），它们的材料是各不相同的。 线应变——平面分布； 正应力——平面分布 “减缩系数”——即将各种不同材料的元件都折算为一种符合线性规律 的理想材料，减缩后的结构元件便具有相同的弹性系数，于是式(7-1)便 可应用到不同材料组成的结构了。

11. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 设图7-4(a)表示结构各元件均在弹性极限内受力，且各元件的弹性系数不同，其σ-ε关系如图所示。 理想材料弹性系数——E0 减缩前的应力为σ=Eεi 减缩为理想材料后的应力为 式中fi表示i元件原来的横截面积， 为减缩后i元件的横截面积。 图 7-4 （d） 减缩系数被定义为两个应力之比： 为使减缩前后元件承受的内力保持不变，则 (e)

12. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 减缩系数法求截面正应力的计算步骤： • 计算各元件的减缩系数。在线弹性范围内，则 =Ei/E0，E0为任何一个理想材料的弹性系数。 • 计算各元件的减缩面积， 。 • 确定减缩后整个截面的中心轴或中心主轴xoy。 • 计算减缩后的截面对坐标轴的惯性矩、惯性积和面积,即： • 由式(7-1)或(7-2)算出减缩后各元件应力 。 • 求出各元件真实的正应力，即。 注：当各元件受力在线弹性范围以外时，如图7-4(b)所示。减缩系数的计算一般采用逐次逼近法。

13. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-3 自由弯曲时开剖面剪流的计算 图 7-5 外载荷作用下，剖面上内力为Qx、Qy、Mx和My(扭矩Mz和轴力Nz略去， 因为开剖面薄壁结构承扭能力很小，而轴力与剪流无关) 目标——确定剪流q =τt在剖面上的分布规律和大小。

14. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 现研究开剖面薄壁梁在弯曲载荷作用 下产生的剪流，如图7-5(b)所示，取微元 件abcd，由于弯曲载荷的作用： cd边正应力合力： 图7-5ab边正应力合力： ad边为自由边，其上剪流为零，设bc处剪流为 ，其方向如图7-5(b)所示。 微元体在z方向力的平衡： 式中 就是s处沿纵剖面上的剪流。根据剪应力互等定理，这个 值 等于横剖面上s处的剪流。它是为了平衡微元体两端的弯曲正应力差而 出现的，因此又叫弯曲剪流。

15. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 当剖面上只有Mx和Qy作用时，则正应力σz为 则 令 ， 且因 ，惯性矩Jx沿z轴为常值，故 式中 Sx表示从自由边算起到所求剪流处s为止，受正应力的面积对剖面中 心主轴x轴的静矩。剪流沿周边的分布规律与静矩Sx一致，因Qy/Jx在同 一剖面上为一常数。

16. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 如果剖面上只有My和Qx作用时， 同理可以推导出剪流 的计算式 ： 式中表示从自由边算起到所求剪流处s为止，受正应力的 面积对中心主轴y的静矩。剪流沿周边的分布规律与静矩Sy一致。 如果剖面上同时作用着Qx和Qy，则剖面上总剪流为 和 两部分 相加，即： （7-3） 当座标轴不是中心主轴而是任意形心轴时，则剖面剪流为： （7-4）

17. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 式（7-4）中 • 注意： • 剪流与剪力Qx和Qy有关而与弯矩无关； • 分布与Sy、Sx成比例变化，即只与剖面的几何性质有关； • 剖面上剪流 在x和y方向的合力分别和Qx和Qy相平衡。 • 至此，确定了剪流的大小。

18. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 剪流方向的确定 图7-6（c）所画剪流与剪力相平衡. 图 7-6 Qx和Qy的方向与座标轴一致时为正； 正负与Sx、Sy一致，计算Sx、 Sy时，计算方向总是从自由边起沿S的方向积分。 为正，则与所取 S坐标方向相同。 计算开剖面弯曲引起的剪流时，所取的坐标轴必须与剖面的中心轴 或中心主轴重合，这样在自由边处静矩Sx和Sy必然是零，该自由边上的 剪流也必然为零。剪流的方向总是连续地从剖面的一个自由边流到另一 自由边。

19. 图7-7 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-4 开剖面的弯心 (7-5) 弯心——剪流合力作用点称为开剖面的剪切中心或弯曲中心。 将 代入上式。 弯心到力矩中心沿x方向的距离为： 同样，可得到力矩中心沿y方向的距离为： (7-6) (7-7) 可见，弯心位置只与剖面几何性质有关，而与载荷无关，是剖面的一个 几何特征点。当剖面有一个对称轴时，弯心一定在该对称轴上。当剖面有两 个对称轴时，弯心在两对称轴的交点上，即在剖面的形心上。

20. 图7-8 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 解：1、确定剖面中心轴 对称轴x就是中心主轴;因为只有Qy 作用，y轴位置可不必求出（垂直 于x轴且过剖面形心）。 例7-1试求图7-8所示槽形剖面薄壁梁在剪力Qy作用下的剪流。设壁厚都是t，而且都能承受正应力。并求该剖面弯心位置。 2、求剪流 静矩Sx的分布 （从自由端计算起）：上突缘1-2上某点i的静矩为：

21. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 显然 为直线变化，最大值在2处，即si=b处： 复板2-3上某点j的静矩为： 可见，按抛物线变化，其最大值在复板中点A处，即 处 因为剖面相对x轴对称，剖面下半部静矩可由对称关系得到，静矩Sx的分布图 如图7-9(a)所示。 图7-9

22. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 为了说明符号的规则与运用，下突缘4-3的静矩也可从自由边4算起，其 某点k的静矩为： 将Sx分布乘以 则得的分布，剪流的方向根据平衡条件很容易确定， 如图7-9(b)、(c)所示，其方向是顺时针的。 3、求剖面弯心位置 x轴为剖面对称轴，弯心就在x轴上， =0，取3点为力矩中心，弯心 至力矩中心的水平距离用表示，由式(7-6)得： 即： 由 得

23. 图7-11 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 解：1、确定剖面中心轴 因为剖面有两个对称轴，所以坐标 轴ox和oy就是中心主轴。 例7-2试求图7-11所示工字型剖面的薄壁梁在Qy作用下的剪 流。设壁板厚度为t，且能承受正应力。 2、因为剪流与静矩Sx成正比关系， 所以这里只讨论Sx的计算。 Sx必须从自由边开始计算。 左上突缘1-2的Sx是从1点开始的，按线性变化，其最大值在2点的左边， 即： 其中，Sx为正，算得剪流为正，剪流方向从1流向2

24. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 右上突缘3-2的Sx则应从右边自由边3点开始， 剪流为正，剪流方向从3流向2，如图7-12(a)。 当计算腹板上2点的剪流时，首先计算相应的Sx。这时，Sx应包含 上凸缘的全部面积和计算点以上的腹板面积对x轴的静矩。 腹板上任意点i的静矩为： 图7-12

25. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 解：1、确定剖面中心轴 剖面的坐标系xoy原点 取在圆心上，即为中心 主轴坐标系。 例7-3在开剖面圆筒形壳体上作用剪力Qy，如图7- 13(a)所 示，壁厚为t可承受正应力。试求剪流沿周线的分布规律。 图7-13 2、静矩Sx计算 从开口自由边计算静矩Sx，周边上任一点A处，与中心解相应的弧段对 x轴的静矩为

26. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 3、剪流的计算 将Jx及Sx代入式(7-3)，得： 注意： Qy方向与y轴方向相反，故冠以负号。 求得剪流为负值，表示其方向与s坐标方向相反，剪流分布如图 7-13(b)所示。左右剪流分布对称。

27. 图7-14 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 解：1、正应力面积形心 因为只有f1和f2承受正应力，则形心位置为 例7-4 试求图7-14所示具有两缘条而壁板不承受 正应力的开剖面的剪流与弯心位置。上缘条面积为f1，下缘条面积为f2。 过形心o且经过f1和f2中心的y轴即为中心主 轴，xoy为中心主轴坐标系。剖面惯性矩为 2、静矩Sx及剪流计算 由于壁板不受正应力，所以壁板上剪流为常值，f1对x轴的静矩为

28. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 壁板剪流为： 3、弯心 对o点取力矩平衡： 为周线与连接缘条的直线所围面积的两倍。 这种剖面结构只能承受平行弦线的剪力，且剪力作用在周线外侧的 弯心上。

29. 图 7-15 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 分析：壁板不承受正应力，求剖面弯心。 解：1、中心主轴 xoy坐标轴不是中心主轴，y0轴是正 应力面积的对称轴，所以是一个中心主轴。 剖面所有缘条面积的形心在c点，c点到圆 心的距离为： 故，另一中心主轴x0轴很容易在图中画出。 例7-5 图7-15所示的薄壁梁剖面，它的壁板不能承受正应 力。四个缘条的面积标注在图上，求剖面的弯心位置。 剖面对中心主轴惯性矩为：

30. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 2、各壁板静矩Sx 3、各壁板静矩Sx 由式(7-6)、(7-7)可求得弯心位置，选o点为力矩中心，可得： 弯心在力矩中心0点右下方。

31. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-5 单闭室剖面剪流的计算 图7-16(a)表示的是剖面周 线闭合的薄壁梁，因为剖面只有 一个闭室，又称为单闭室薄壁梁。 这种结构能承受任意形式的外载 荷，而产生弯曲和扭转。 单闭室剖面的剪流为： 图7-16 剪流计算：纯弯矩和轴力不会产生剪流，所以只须考虑剪力和扭矩。 如图7-16(b)所示，由微元体在z轴方向的平衡条件ΣZ=0可得： (7-8)

32. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 图7-17(a)相当于剪力Q作用在假想的开剖面的弯心上，在剖面上 引起剪流； 图7-17(b)相当于剪力Q从假想开剖面的弯心移到实际作用点时所 构成的扭矩，与原来的扭矩Mz共同作用下引起的剪流q0，q0在单闭室的 周线上为常值。Q0与计算 的起点有关。 图7-17 可用开剖面剪流的计算公式(7-3)或(7-4)求得。

33. 图7-18 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 剖面上剪流(+q0)对矩心的力矩（以顺时 针为正）与M0相平衡，因此有： 任选一点A作为矩心，如用M0表示全 部外载荷（剪力Q、扭矩Mz）对矩心产生 的力矩，以符合右手定则为正。 即： (7-9) 将q0和 两部分剪流叠加，即得到单闭室剖面的剪流q

34. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 (7-10) 若单闭室剖面上只有扭矩Mz作用，而没有剪力作用，则 =0， 并且M0=Mz，于是得到纯扭矩作用下单闭室剖面的剪流为： 这公式称为白雷特(Bredt)公式，在飞机结构设计中经常用到。 注： 1、单闭室剖面结构在扭转时所产生的剪流沿剖面周线是常值，并且剪 流的大小与剖面周线的形状无关，仅与闭室周线所围成的面积有关。 2、当剖面周线长度一定时，若要使剖面上剪应力最小，则必须使周线 所围的面积为最大。

35. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 分析：四橼条单闭室剖面的薄壁梁， 壁板不承受正应力，求q？ 例7-6图7-19(a)所示为四缘条单闭室剖面的薄壁梁，剖面的 几何尺寸在图上注明，假设壁板不承受正应力，试求在Qy作 用下剖面的剪流q。 解：1、中心主轴 因为剖面上下对称，所以x轴 是剖面的中心主轴。剖面对x 轴的惯性矩为： 图7-19

36. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 在缘条1右侧开口，先求开口剖面剪流： 的大小及方向标注在图7-19(b)。 利用力矩平衡求q0，对4点取力矩平衡，得： 最后，将 与q0叠加，则得剖面剪流q，如图7-19(c)所示。

37. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-6 单闭室剖面薄壁梁的扭角 弹性位移——单位载荷法 单位状态《1》——平衡力系；《P》状态——虚位移 式中的剪应力τ用剪流q/t表示，则上试可写为： (7-11) 式中t表示壁板的厚度，∫s表示沿结构剖面周线积分， 表示 沿结构长度积分，E和G分别是材料的线弹性模量和剪切弹性模量。

38. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 例如，欲求结构自由端的总扭角，就必须在端部剖面上加单位 扭矩，则可得： 式中Ω为剖面闭室周线所围面积的两倍，代入式(7-11)，得扭角为： 式中，由于q1只在闭室周线部分存在，所以，∮只沿闭室周线积分。 (7-12) 单位长度上的扭角(也称相对扭角)θ为： (7-13) 扭转刚度是指产生单位相对扭角时所需施加的外扭矩，扭转刚度用C 表示。

39. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 将 代入式(7-13)，则得扭矩Mz所产生的相对扭角为： 悬臂梁自由端受扭矩Mz作用： 由扭转刚度的定义得单闭室剖面的扭转刚度为： (7-14) 可见，若想提高单闭室结构的抗扭刚度，当剖面周线长度一定 时，应增加壁板的厚度t和使周线所围面积为最大。

40. 图7-20 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-7 单闭室剖面的弯心 剖面弯心——当剖面上剪力作用线通过该点时，剖面只产生移动而不 产生转动，即剖面的相对扭角等于零。 设弯心到任意选定的力矩中心A的距离为。 根据力作用的互不相关原理，利用相对扭 角为零的条件，即 分别求出Qy和Qx作用时，弯心的位置 。 假定Qy作用在剖面的弯心上， 图中的xoy轴是 剖面的中心主轴

41. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 用θ=0的条件，可求得 ，即： 所以， 为了求弯心位置，以A为力矩中心，列出平衡方程: (7-15) 将q代入，且 得： (7-16)

42. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 (7-17) 同理假定Qx过弯心作用，可求得弯心位置 上式中∫s表示剖面全部周线积分，∮表示剖面中闭合周线部分积分。 另外一种算法： 设已经求得剪力Qy通过o点作用时剖面中的剪流q，由于Qy并不通过 弯心，使剖面产生相对扭角 （逆时针为正）， 即由下式求得。

43. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 倘若Qy通过弯心B，则剖面将不产生扭转，即θ=0。 为求弯心B到o点的距离，我们可把通过弯心B的剪力Qy用通过o点的剪 力Qy和一力矩Mz=Qy 来代替，于是在这力和力矩共同作用下，剖面的相对 扭角为0，即： 式中θ1表示单位扭矩所产生的相对扭角（逆时针方向为正）。其值为 故，可得： 同理： (7-18) (7-19) 图7-21

44. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 扭心——就是当纯扭矩作用时， 剖面的转动中心。 所以闭剖面的弯心就是扭心，也称刚心。

45. 图7-22 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 解：已求得的剪流如图7-22所示。 1、求相对扭角： 假设材料剪切弹性模量G和壁板厚t为 常值，则： 例7-7试求例7-6所示单闭室剖面系统的相对扭角θ和剖面的 弯心位置。 得： 2、求弯心： x轴是中心主轴，又是对称轴，弯心在x轴上。

46. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 单位扭矩产生的相对扭角为： 得： 为负，表示弯心在剪力Qy作用点左边 处，其结果和 相同。

47. 图7-24 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 分析：壁板不承受正应力，缘条面积f。 解：弯心在对称轴x上 。 1、求 在在缘条2左边开口，得： 例7-8试求图7-24所示剖面的弯心位置。设壁板不承受正应 力，壁厚均为t，缘条面积均为f。 2、求 因为剪力过弯心，故：

48. 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 式中 注意，上式中∮仅沿闭室周线积分，因此： 所以， 最后，由力矩平衡求弯心位置。以3点为力矩中心得： 所以，

49. 求剪流q 求剪流q 求剪流q 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 7-8 多闭室剖面剪流的计算 单闭室静定问题 (只用平衡条件) 双闭室 一度静不定 (补充一个变形协调条件) n 闭室(n-1)度静不定 (补充(n-1)个变形协调条件) 求三闭室剖面中的剪流是一个两度静不定问题,只需在任意两个 闭室上开切口，形成的单闭室剖面剪流可用平衡条件确定，而切口处 的剪流用变形协调条件确定。

50. 剪应力成对定理 第七章：薄壁梁的弯曲和扭转 切口处：q01、q02、q03 计算单闭室剖面剪流时，仍要将单闭室切开，求得开剖面系统的剪 流和切口处的剪流，只不过这两个剪流用平衡条件就可决定。 为计算方便，同时沿纵向切开每个闭室——开剖面 剖面上各闭室周线上 也将产生相应的剪流 使用（7-20）时应将剪流图对应叠加，并用平衡观点的平面图表示。 (7-20)