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第十五章 几何证明（选考）

第十五章 几何证明（选考）. 15.1 相似三角形的判定及有关性质. 15.2 直线与圆的位置关系. 15.3 圆锥曲线性质的探讨. 15.1 相似三角形的判定及有关性质. 知识要点. 考点剖析. 1. 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 . 2. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 . 3. 相似三角形的判定及性质 　判定定理 1 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 .

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第十五章 几何证明（选考）

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Presentation Transcript

  1. 第十五章 几何证明（选考） 15.1 相似三角形的判定及有关性质 15.2 直线与圆的位置关系 15.3 圆锥曲线性质的探讨

  2. 15.1 相似三角形的判定及有关性质 知识要点 考点剖析

  3. 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的判定及性质 　判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 　简述为：两角对应相等，两三角形相似.

  4. 　判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例并且夹角相等，那么这两个三角形相似.　判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 　简述为：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. 　判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似. 　特别地，对直角三角形，有定理:（1）两直角三角形有一锐角对应相等，那么它们相似. （2）两直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么它们相似. （3）两直角三角形的两直角边对应成比例，那么它们相似. 4.相似三角形的性质定理：

  5. 　（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.　（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 　（2）相似三角形周长的比等于相似比. 　（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 返回节目录

  6. 1 考 点 平行线等分线段成比例 方法点拨：平行线等分线段定理主要应用在证线段成比例后，求线段的长度及线段的比值. 自学范例1在△ABC中，BD和CE分别是两边上的中线，且BD⊥CE，BD=6，CE=8，求△ABC的面积. 答案　32 解析　∵D、E分别是AC，AB的中点,

  7. ∴DE∥BC.

  8. 2 考 点 相似三角形的判定及性质 方法点拨：三角形相似对应边成比例时，注意对应要准确，高考中主要用来计算线段长度，线段的比值，距离等. 自学范例2如下图：平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若△AEF的面积为6，求△CDF的面积. 分析　利用相似三角形面积之比等于对应边之比的平方. 解析　ABCD中，∵AB∥CD ∠FAE=∠FCD，∠AFE=∠CFD ∴△AEF∽△CDF

  9. 【点评】本题找出△AEF∽△CDF是关键.

  10. 3 考 点 射影定理应用 方法点拨：射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示直角三角形的内在关系，在解决与直角三角形有关的几何问题时是一个强有力的工具. 自学范例3如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC，DF⊥BC，E、F为垂足. 求证：CD3=AB·AE·BF. 解析　∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴CD2=AD·BD 即CD4=AD2·BD2

  11. 又∵∠CDA=90°，DE⊥AC， ∴AD2=AE·AC 同理BD2=BF·BC ∴CD4=AE·BF·AC·BC 在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90° ∠A为公共角 ∴△ABC∽△ACD ∴即BC·AC=AB·CD ∴CD4=AE·BF·AB·CD 即CD3=AE·BF·AB 返回章目录

  12. 15.2 直线与圆的位置关系 知识要点 考点剖析

  13. 1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. 　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 　推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 3.圆内接四边形的性质定理： 　（1）圆内接四边形的对角互补.

  14. 　（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.　（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 4.圆内接四边形的判定定理： 　（1）如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 　（2）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 5. 圆的切线的性质定理： 　（1）圆的切线垂直于经过切点的半径. 　（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 　（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 6.圆的切线的判定定理：

  15. 　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 7.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 　割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 　切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分两条切线的夹角. 返回节目录

  16. 1 考 点 圆周角定理的应用 方法点拨：在圆中与角有关的证明，计算等问题，可以用圆周角来处理. 自学范例1如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°,则圆O的面积等于. 连结OA、OB,则∠AOB=90° ∵AB=4，且OA=OB 解析

  17. 故S=π·(OA) 2=8π. (或另法）：由正弦原理 则S=πR2=8π.

  18. 2 考 点 圆内四边形的判定与性质 方法点拨：有一类四边形中的有关证明及计算可以借助于圆的几何性质来解决，这些四边形就是圆的内接四边形，因而关键在于四点是否共圆. 自学范例2如下图，已知四边形ABCD为平行四边形，过A、B的圆交AD于E，交BC于F，求∠EFC+∠CDE的度数. 答案　180°

  19. 解析 ∵在□ABCD中，∠B+∠C=π， 圆的内接四边形∠B+∠FEA=π，∴∠C=∠FEA 故点C、D、E、F共圆，∴∠EFC+∠D=180°.

  20. 3 考 点 圆的切线的性质和判定 自学范例3如图，在圆O中，C是圆上异 于A、B的一点，弦AB的延长线与过C点的 切线相交于P，过B作圆O的切线交CP于点 D，且∠CDB=90°，CD=3，PD=4，则圆 O的半径r=；弦AB=. 方法点拨：判定一直线是否是圆的切线，方法有：①和圆是否有唯一一个公共点；②圆心到直线距离是否等于半径；③过半径外端且和该半径垂直的直线就是圆的切线. 

  21. 解析　连OC，OB，由C，B是切点 ∴OC⊥PC，OB⊥BD，且DC=DB ∴四边形OCDB是正方形，故OB=r=CD=3 在Rt△PDB中，PB2=PD2+DB2=42+32=52由切割线定理有：PC2=PB·PA=PB（PB+AB） ∴72=5(5+AB) ∴AB= 分析　切线、割线问题要注意切割线定理的应用. 【点评】关键是利用切割线定理列AB的方程.

  22. 4 考 点 弦切角的性质 自学范例4如图，MA、MB是圆O的切线， A、B是切点，割线MCD交圆O于C、D.求证：AC·BD=BC·AD. 方法点拨：使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找出弦切角和它所夹弧上的圆周角. 分析:考虑相似三角形. 解析:∵MA、MB是切线 ∴MA=MB，∠MAC=∠ADC

  23. ∠MBC=∠BDC ∴△MAC∽△MDA， △MBC∽△MDB 【点评】线段成比例常用相似三角形对应边成比例来证明.

  24. 5 考 点 与圆有关的比例线段 方法点拨：本考点包括相交弦定理、割线定理，切割线定理和切线长定理，这些定理主要描述了与圆有关的线段的数量关系，可以解决一些线段的长度问题. 自学范例5 已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两 点，AC= ，∠PAB=30°，则线段PB的长为_______. 答案:1 解析:∵PA是⊙O的切线∴∠PAB=∠ACP=30° 连接OA，则OA=OC

  25. ∴∠AOC=120°,又AC= ∴OA=1,在Rt△AOP中，有∠AOP=60° ∴AP= 由切割线定理得：PA2=PB·PC=PB·(PB+BC) ∴3=PB·(PB+2) PB2+2PB-3=0 ∴PB=1. 【点评】掌握相交弦定理，切割线定理、并与相似三角形等知识结合起来进行运用，这部分内容综合了各种比例线段的关系，要充分重视. 返回章目录 返回章目录

  26. 15.3 圆锥曲线性质的探讨 知识要点 考点剖析

  27. 1.平行射影：设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称点投影线)必交α于一点A′，称A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在 平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影. 2.平面与圆柱面的截线 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆. 3.平面与圆锥面的截线 定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点,夹角 为α，l′围绕l旋转及到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取

  28. 平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0) ，则(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 返回节目录

  29. 1 考 点 平行射影 自学范例1Rt△ABC的斜边BC在平面α 内，求证：△ABC的两直角边在平面α内 的射影与斜边组成的图形是一线段或一个 钝角三角形. 方法点拨：一个平面图形在平面α的投影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系，即平行、斜交、垂直三种.

  30. 解析:当顶点A在平面α上的射影A′在BC所在直线时，其图形是解析:当顶点A在平面α上的射影A′在BC所在直线时，其图形是 线段BC. (2)当顶点A在α的射影不在BC所在直线时,Rt△ABC中，有b2+c2= a2，又 ∵cos∠BA′C= ＜0，∴∠BA′C是钝角. 故图形是钝角三角形. 分析:注意余弦定理的应用. 【点评】注意分类讨论.

  31. 2 考 点 平面与圆柱面的截线 自学范例2一个盛满水的圆柱形水杯，将水杯慢慢倾斜使水缓慢流出，当剩下的水的体积为原来的体积的 时，水面的形状是 ————，其离心率是————. 方法点拨：这类问题中，平面向量只是工具，熟练运用平面向量的定义、公式将问题转化，即是三角函数的图象及性质问题. 分析:根据定理求解即可. 解析:易知，圆柱形物体的的斜截口是椭圆，由立体几何可求出， 水平面与斜面所成角为45°

  32. 【点评】关键是利用定理及离心率的定义.

  33. 3 考 点 平面与圆锥的截线 方法点拨：从平面与圆锥面的旋转轴的夹角及母线与旋转轴的夹角的大小关系，判断截线的形状. 自学范例3 设圆锥面V是由直线l1绕直线l旋转而得，l1与l交点为V，l1与l的夹角为α(0°＜α＜90°)，不经过圆锥顶点V的平 面π与圆锥V相交，轴l与平面所成的角为β，则： 当时，平面π与圆锥面的交线为圆 当时，平面π与圆锥面的交线为椭圆 当时，平面π与圆锥面的交线为双曲线 当时，平面π与圆锥面的交线为抛物线

  34. 分析:根据定理2求解即可. 答案:β=90°；α＜β＜90°；β＜α；β=α 返回章目录

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