Μη-Παραμετρική Στατιστική

1. Κεφάλαιο17 Μη-ΠαραμετρικήΣτατιστική

2. Μη-Παραμετρική Στατιστική… Σε αυτό το κεφάλαιο αναπτύσσονται στατιστικές τεχνικές γιαδιατακτικά δεδομένα. Θυμηθείτε: όταν τα δεδομένα είναι διατακτικά, ο μέσος δεν είναι κατάλληλο μέτρο κεντρικής θέσης (population locations). Σε αναπλήρωση, θα ελέγξουμε χαρακτηριστικά των πληθυσμών χωρίς να αναφερόμαστε σε συγκεκριμένες παραμέτρους, από όπου προκύπτει και ο όροςμη-παραμετρική. Αντί να ελέγχουμε εάν οι μέσοι διαφέρουν, θα ελέγχουμε εάνp μέτρα θέσης του πληθυσμού διαφέρουν …

3. Μη-Παραμετρική Στατιστική… Οι έλεγχοι που εξετάσαμε μέχρι τώρα μπορούν να εφαρμοστούν μόνο όταν τα δεδομένα είναι κανονικά ή προσεγγιστικά κανονικά. Εάν η παραπάνω υπόθεση δεν ικανοποιείται μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μη-παραμετρική στατιστική, επίσης γνωστή ωςστατιστική χωρίς κατανομές (distribution free statistics).

4. Μη-Παραμετρική Στατιστική… Οι τεχνικές που πρόκειται να μελετήσουμε μπορούν να χρησιμοποιηθούν όταν τα δεδομένα είναι διαστημικά και η απαιτούμενη υπόθεση της κανονικότητας δεν ικανοποιείται.Σε τέτοιες περιπτώσεις θαμεταχειριστούμε τα διαστημικά δεδομένα σαν να ήταν διατακτικά.

5. Κατανομή των πληθυσμών όταν τα μέτρα θέσης τους είναι τα ίδια

6. Μέτρα Θέσης Πληθυσμού … Το μέτρο θέσης τουπληθυσμού 1είναιστα αριστεράτου μέτρου θέσης τουπληθυσμού 2 Το μέτρο θέσης τουπληθυσμού 1είναιστα δεξιάτου μέτρου θέσης τουπληθυσμού 2 πληθυσμός 1 πληθυσμός 2 πληθυσμός 2 πληθυσμός 1

7. Αντικειμενικός Στόχος του Προβλήματος… Όταν ο αντικειμενικός στόχος του προβλήματος είναι νασυγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η μηδενικήυπόθεση είναι: H0: Τα δύο μέτρα θέσης του πληθυσμού είναι τα ίδια. Η εναλλακτική υπόθεση μπορεί να πάρει μία από τις ακόλουθες τρεις μορφές: • H1: Το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι διαφορετικό απότο μέτρο θέσης του πληθυσμού 2. • H1: Το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι στα δεξιά του μέτρο θέσης του πληθυσμού 2. • H1: Το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι στα αριστεράτου μέτρο θέσης του πληθυσμού 2.

8. Έλεγχος Άθροισης Βαθμών Wilcoxon • Τα χαρακτηριστικά του προβλήματος του ελέγχου είναι: • Ο αντικειμενικός στόχος του προβλήματος είναι η σύγκριση δύο πληθυσμών. • Τα δεδομένα είναι διατακτικά(ordinal) ήδιαστημικά(interval), αλλά όχι αναγκαστικά κανονικά. • Τα δείγματα είναι ανεξάρτητα.

9. Έλεγχος Άθροισης Βαθμών Wilcoxon – Παράδειγμα • Παράδειγμα 21.1 • Βασισμένοι στα δύο δείγματα που παρουσιάζονται παρακάτω, μπορούμε να συμπεραίνουμε, με 5% επίπεδο σημαντικότητας, ότι το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι στα αριστερά του πληθυσμού 2; • Δείγμα 1: 22, 23, 20; Δείγμα 2: 18, 27, 26; • Οι υποθέσεις είναι: • H0: Τα δύο μέτρα θέσης των πληθυσμών είναι ίσα. • H1: το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι στα αριστερά του πληθυσμού 2.

10. Άθροισμα βαθμών = 41 Άθροισμα βαθμών = 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Γραφική Παρουσίαση - Γιατί χρησιμοποιούμε το άθροισμα των βαθμών για να ελέγξουμε μέτρα θέσης; Εάν τα μέτρα θέσης των δύο πληθυσμών είναι περίπου ίσα, (η μηδενική υπόθεση είναι αληθής) θα περιμέναμε οι βαθμοί να είναι ομοίως απλωμένα μεταξύ των δειγμάτων. Σε αυτή την περίπτωση το άθροισμα των βαθμών για τα δύο δείγματα θα είναι κοντά το ένα με το άλλο. Οι δύο υποθετικοί πληθυσμοί και τα αντίστοιχα δείγματα παρουσιάζονται,οΠΡΑΣΙΝΟΣπληθυσμός και οΡΟΖπληθυσμός. Πληθυσμοί Ας βαθμολογήσουμε τις παρατηρήσεις των δύο δειγμάτων μαζί

11. Γραφική Παρουσίαση - Γιατί χρησιμοποιούμε το άθροισμα των βαθμών για να ελέγξουμε μέτρα θέσης; Επιτρέπουμε τονΠΡΑΣΙΝΟπληθυσμόνα μετατοπιστεί στα αριστερά τουΡΟΖ πληθυσμού.

12. Άθροισμα βαθμών = 41 Άθροισμα βαθμών= 37 Άθροισμα βαθμών = 40 Άθροισμα βαθμών = 38 Άθροισμα βαθμών = 33 Άθροισμα βαθμών = 45 2 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 Γραφική Παρουσίαση - Γιατί χρησιμοποιούμε το άθροισμα των βαθμών για να ελέγξουμε μέτρα θέσης; Το πράσινο δείγμα αναμένεται να μετακινηθεί επίσης στα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, αρκετές παρατηρήσεις ανταλλάσουν θέση. Τι συμβαίνει στο άθροισμά των βαθμών;

13. Άθροισμα βαθμών = 41 Άθροισμα βαθμών = 37 Άθροισμα βαθμών = 40 Άθροισμα βαθμών = 38 Άθροισμα βαθμών = 33 Άθροισμα βαθμών = 45 Γραφική Παρουσίαση - Γιατί χρησιμοποιούμε το άθροισμα των βαθμών για να ελέγξουμε μέτρα θέσης; 1 3 4 5 8 10 11 12 9 2 6 7 Το «πράσινο» άθροισμα μειώνεται, και το «ροζ» άθροισμααυξάνει. Αλλάζοντας την σχετική θέση των δύο πληθυσμών επηρεάζει το άθροισμα των βαθμών των δύο δειγμάτων που αναμείχθηκαν.

14. Έλεγχος Άθροισης Βαθμών Wilcoxon – Παράδειγμα Δείγμα 1 22 23 20 Δείγμα 2 18 27 26 3 4 2 1 6 5 Βαθμός Βαθμός 2.Υπολογίστε το Άθροισμα των βαθμών: 9 2.Υπολογίστε το Άθροισμα των βαθμών:12 • Παράδειγμα17.1 – (συνέχεια) • Στατιστικός έλεγχος • 1.Βαθμολόγηση όλων των έξι παρατηρήσεων (1 για το μικρότερο). 3.Ας ορίσουμε ως T = 9 να είναι ο στατιστικός έλεγχος (Αυθαίρετα ορίζουμε τον στατιστικό έλεγχο ως το άθροισμα των βαθμών του δείγματος 1.)

15. Δειγματοληπτική Κατανομή του Στατιστικού Ελέγχου Μία μικρή τιμή τουTυποδεικνύει ότι οι μικρότερες παρατηρήσεις ανήκουν στο δείγμα 1 οι οποίες επιλέχθηκαν από τον πληθυσμό 1 — αλλά πόσο μικρό είναι «μικρό»; Είναι 9 αρκετά «μικρό»; Έχουμε τιμή για τον στατιστικό έλεγχο,T=9. Χρειαζόμαστε να την συγκρίνουμε με κάποια κριτική τιμή του«T» ώστε να γνωρίζουμε αν ανήκει στην περιοχή απόρριψης γιαH0 (ή όχι). Και έπειτα, πως είναι ηδειγματοληπτική κατανομήτων«βαθμών»;

16. Δειγματοληπτική Κατανομή του Στατιστικού Ελέγχου Μπορούμε να κατασκευάσουμε την δειγματοληπτική κατανομήτου στατιστικού ελέγχου κατά τον ίδιο τρόπο που σχεδιάζουμε ιστογράμματα για τα αποτελέσματα των ρίψεων δύων ή τριών ζαριών … • Απαριθμήστε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των βαθμών • Υπολογίστε αθροίσματα βαθμών για τους συνδυασμούς • Η πιθανότητα για κάθε άθροισμα βαθμών είναι ο αριθμός των συμβάντωνδιαιρούμενος με τον συνολικό αριθμό των συνδυασμών …

17. ENUMERATE

18. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματοληπτική Κατανομή τουT με Δύο Δείγματα Μεγέθους 3

19. Δειγματοληπτική Κατανομή του Στατιστικού Ελέγχου 1.Απαριθμήστε2. Υπολογίστε3. Πιθανότητες … 1 συνδυασμός 2 συνδυασμός 3 συνδυασμός Σύνολο 20 συνδυασμών

20. ΕΡΜΗΝΕΥΣΤΕ Παράδειγμα 17.1 … • H0απορρίπτεται εάν T£6. Αφού T = 9, δεν υπάρχει επαρκής μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι ο πληθυσμός 1 τοποθετείται στα αριστερά του πληθυσμού 2, με 5% επίπεδο σημαντικότητας.

21. Δειγματοληπτική Κατανομή τουT με δύο Δείγματα Μεγέθους 3 P(T≤6) = 1/20 = .05 Έτσι η κριτική τιμή τουTείναι 6 X ΑφούT=9 < TΚριτική=6, δεν μπορούμε να απορρίψουμε H0…

22. Κριτικές Τιμές του Ελέγχου Άθροισης Βαθμών Wilcoxon

23. Κριτικές τιμές του Ελέγχου Άθροισης Βαθμών Wilcoxon α= .025 για μονόπλευρο έλεγχο,ήα = .05 για δίπλευρο έλεγχο TL TU TL TU TL TU TL TU 11 25 Για έναν δίπλευρο έλεγχο: P(T<11) = P(T>25) = .025 εάν n1=4 και n2=4. Για έναν μονόπλευρο έλεγχο:P(T<11) = P(T>25) = .05 εάν n1=4 και n2=4. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα:Για δύο δοθέντα δείγματα μεγέθους n1και n2,P(T<TL)=P(T>TU)= a. Ένας παρόμοιος πίνακας υπάρχει γιαα = .05 (μονόπλευρος έλεγχος) καια = .10 (δίπλευρος έλεγχος)

24. Κριτικές Τιμές του Ελέγχου Άθροισης Βαθμών Wilcoxon

25. Κριτικές Τιμές: του Ελέγχου Άθροισης Βαθμών Wilcoxon… Για μεγέθη δειγμάτωνμικρότερων των 10 παρατηρήσεων (σε κάθε δείγμα), αναφερόμαστε στις Κριτικές Τιμές του Πίνακα για τον έλεγχο Wilcoxon Για μεγέθη δειγμάτωνμεγαλύτερων των 10 παρατηρήσεων, ο στατιστικός έλεγχος είναιπροσεγγιστικά κανονικά κατανεμημένομε: Μέσο: Τυπική Απόκλιση: Έτσι: ni=μέγεθος του δείγματος i, i=1,2

26. n1(n1 + n2 + 1) 2 E(T) = Έλεγχος Άθροισης Βαθμών Wilcoxon για δείγματα μεn > 10 • Ο στατιστικός έλεγχος είναι προσεγγιστικά κανονικά κατανεμημένα με τις ακόλουθες παραμέτρους: Επομένως, Z = T - E(T) sT

27. Παράδειγμα17.2… Μία εταιρία φαρμάκων δοκιμάζει ένα φάρμακο για τον πόνο και 30 άνθρωποι επιλέχθηκαν τυχαία. Στους μισούς χορηγήθηκε το νέο φάρμακο και στους υπόλοιπους ασπιρίνη. Μετά την χορήγηση του φαρμάκου τους ζητήθηκε να βαθμολογήσουν την αποτελεσματικότητα του φαρμάκου σε κλίμακα από 1 ως 5 (επομένως έχουμε διατακτικά δεδομένα): 5 = Το φάρμακο ήταν πολύ αποτελεσματικό. 4 = Το φάρμακο ήταν αρκετά αποτελεσματικό. 3 = Το φάρμακο ήταν κάπως αποτελεσματικό. 2 = Το φάρμακο ήταν ελαφρώς αποτελεσματικό. 1 = Το φάρμακο δεν ήταν καθόλου αποτελεσματικό.

28. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Παράδειγμα17.2… Τα δεδομένα καταγράφηκαν.Μπορούμε να συμπεράνουμε (με 5% σημαντικότητα) ότι το νέο φάρμακο για τον πόνο κρίνεται να είναι πιο αποτελεσματικό; Είναι σημαντικό να σημειώσουμε εδώ ότι «5» είναι ένας καλός βαθμός και επομένως το φάρμακο είναι αποτελεσματικό. Θα θέλαμε να βλέπαμε το μέτρο θέσης του φαρμάκου να είναι«μεγαλύτερο από» το μέτρο θέσης της ασπιρίνης, επομένως: H1: Το μέτρο θέσης του πληθυσμού 1 είναι σταδεξιά τουμέτρου θέσης του πληθυσμού 2, και έτσι: H0: Τα δύο μέτρα θέσης του πληθυσμού είναι ίσα. Νέο φάρμακο: 3, 5, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 5, 4 Ασπιρίνη: 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 3, 4, 5

29. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Παράδειγμα17.2… Τα δεδομένα είναι ως εξής: Αυτοί οι τρεις άσσοι θα είχαν βαθμούς 1, 2, & 3 — τους αναθέτουμε τον μέσο όρο ( 1 + 2 + 3)/3 = 2 Αυτά τα πέντε δυάρια θα είχαν τους βαθμούς 4,5,6,7, & 8 — ξανά, παίρνουμε τον μέσο όρο (4+5+6+7+8)/5 = 6 και έτσι συνεχίζουμε …

30. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Παράδειγμα17.2…

31. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Παράδειγμα17.2… Το άθροισμα βαθμών για το νέο φάρμακο είναι T1=276.5, και το άθροισμα βαθμών για την ασπιρίνη: T2=188.5 Τοποθετούμε T= T1=276.5, και αρχίζουμε τους υπολογισμούς …

32. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Παράδειγμα17.2… T - E(T) 276.5 – 232.5 Z = = = 1.83 σT 24.1 Η π-τιμή του ελέγχου είναι: π-τιμή = P(Z > 1.83) = .5 - .4664 = .0336 (ή Z=1.83 > Zκριτική=1.645)

33. Παράδειγμα17.2… ΕΡΜΗΝΕΥΣΤΕ Αφού Z = 1.83 > Zκριτική=1.645 «Υπάρχει επαρκές μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι το νέο φάρμακο κρίνεται να είναι πιο αποτελεσματικό από την ασπιρίνη»

34. Προσημικός Έλεγχος και Προσημικός Βαθμολογικός Έλεγχος Wilcoxon (Έλεγχοι σε Πειράματα με Ζεύγη Δειγμάτων) Θα κοιτάξουμε τώρα δύο μη-παραμετρικές τεχνικές (Προσημικός ΈλεγχοςκαιΠροσημικός Βαθμολογικός Έλεγχος Wilcoxon) που ελέγχουν υποθέσεις σε προβλήματα με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: — Θέλουμε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, — Τα δεδομένα είναι διατακτικά ή διαστημικά (μη-κανονικά), — και τα δείγματα είναιζευγαρωτά. Όπως πριν, θα υπολογίσουμε διαφορές ζευγών και να δουλέψουμε με αυτές …

35. Ο Προσημικός Έλεγχος … Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τονΠροσημικό Έλεγχοόταν εξετάζουμε δύο πληθυσμούς διατακτικών δεδομένων σε πειράματα με ζεύγη δειγμάτων. Για κάθε ζεύγος, παίρνουμε διαφορές και μετράμε τον αριθμό των θετικών και αρνητικών διαφορών. Εάν τα μέτρα θέσης των πληθυσμώνείναι τα ίδια, θα αναμέναμε ο αριθμός των θετικών και των αρνητικών διαφορών να είναι ίσος. Εάν είχαμε περισσότερες θετικές από αρνητικές (ή αντιστρόφως)τι θα σήμαινε;Ξανά, πόσο πολύ είναι αρκετό για να κάνει διαφορά;

36. Ο Προσημικός Έλεγχος … Μπορούμε να παρομοιάσουμε τον προσημικό έλεγχο με έναδυωνυμικό πείραμα,στον οποίο ένα θετικό πρόσημο είναι σαν να έχουμε μία «κεφαλή» σε μία ρίψη ενός νομίσματος. Χρησιμοποιούμε αυτόν τον συμβολισμό μαζί με στατιστικά στοιχεία που αναπτύσσαμε σε προηγούμενα κεφάλαια, και καταλήγουμε με τον τυποποιημένο στατιστικό έλεγχο (υποθέτοντας την μηδενική υπόθεση να είναιαληθής):

37. Στατιστικοί Έλεγχοι και Δειγματοληπτική Κατανομή Όταν ταx είναιδιωνυμικά κατανεμημένακαι όταν, για επαρκή μεγάλοn,ταxείναι προσεγγιστικά κανονικά κατανεμημένα με μέση τιμήμ = npκαι τυπική απόκλιση√ np ( 1- p ). Ο τυποποιημένος στατιστικός έλεγχος είναι x - np Z = √ np ( 1- p )

38. Στατιστικοί Έλεγχοι και Δειγματοληπτική Κατανομή Η μηδενική υπόθεση είναι: H0 = τα δύο μέτρα θέσης των πληθυσμών είναι ίσα ή ισοδύναμα: H0: p= .5(δηλαδή, ίσες αναλογίες των «+» & «-») Έτσι οι στατιστικοί έλεγχοι γίνονται x - .5n z = .5 √n x - np z = √np ( 1- p ) =

39. Στατιστικοί Έλεγχοι και Δειγματοληπτική Κατανομή Η κανονική προσέγγιση της δυωνυμικής είναι έγκυρη όταν np ≥ 5και n ( 1 –p ) ≥5ότανp = .5 np = n (.5) ≥ 5και n( 1- p ) = n ( 1 - .5) = n(.5) ≥ 5 Συνεπάγει ότιnπρέπει να είναι μεγαλύτερο του 10. Αυτό είναι μία από τις απαιτήσεις του προσημικού ελέγχου.

40. Υποθέσεις του Προσημικού Ελέγχου … Αφού η μηδενική υπόθεση είναι: H0: τα δύο μέτρα θέσης των πληθυσμών είναι ίσα(δηλαδή p=.5) Η εναλλακτική υπόθεση πρέπει να είναι: H1: τα δύο μέτρα θέσης των πληθυσμών είναι διαφορετικά Το οποίο είναι ισοδύναμο με: H1: p ≠ .5

41. Παράδειγμα 17.3 … Σε 25 άτομα ζητηθήκαν να οδηγήσουν ένα Ευρωπαϊκό αυτοκίνητο και να βαθμολογήσουν την άνεση του οδηγήματος. Έπειτα οδήγησαν ένα Αμερικάνικο αυτοκίνητο και βαθμολόγησαν την άνεση του.Οι βαθμολογίες είναι διατακτικές, από 1 – καθόλου άνετο, μέχρι 5 – πολύ άνετο, και έχουμε ζεύγη αφού τα ίδια άτομα οδηγούν και τα δύο είδη αυτοκινήτων. Μπορούμε να συμπεράνουμε (με 5% επίπεδο σημαντικότητας) ότι το Ευρωπαϊκό αυτοκίνητο είναι πιο άνετο από το Αμερικάνικο;

42. Παράδειγμα 17.3 … Βαθμολογίες Άνεσης Βαθμολογίες Άνεσης -1 -1 -2 0 0 -1 -1 25 2 3 -1 5 αρνητικά 18 θετικά 2 ίδια βαθμολογία

43. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Παράδειγμα 17.3 … Είχαμε 5 αρνητικές απαντήσεις. • The data was analyzed… Είχαμε 25 ζεύγη δεδομένων αρχικά, δύο ζεύγη έδωσαν ίσες βαθμολογίες (δηλαδή, Διαφορά=0) έτσι αυτά τα σημεία παραλείπονται, επομένωςn=23 Είχαμε 18 θετικές απαντήσεις,έτσιx=18

44. ΕΡΜΗΝΕΥΣΤΕ Παράδειγμα 17.3 … Η π-τιμή είναι P(Z > 2.71) =0.5 - .4966 = .0034, επομένως απορρίπτουμε την H0για την εύνοια της H1, και συμπεραίνουμε: H1: τα δύο μέτρα θέσης των πληθυσμών είναι διαφορετικά Ή, στο μοτίβο αυτού του προβλήματος … «Υπάρχει σχετικά δυνατή μαρτυρία να υποδείξουμε ότι το Ευρωπαϊκό αυτοκίνητο προσφέρει πιο άνετη οδική συμπεριφορά από ότι το Αμερικάνικο αυτοκίνητο.»

45. Έξοδος Υπολογιστή

46. Ελέγχοντας τις Απαιτούμενες Υποθέσεις … Ο προσημικός έλεγχος απαιτεί: Οι πληθυσμοί να είναι παρόμοιοι σε σχήμα και σε άπλωμα: Το μέγεθος του δείγματος υπερβαίνει το 10 (n=23).

47. Προσημικός Βαθμολογικός Έλεγχος Wilcoxon… Θα χρησιμοποιούμε τονΠροσημικό Βαθμολογικό Έλεγχοότανθέλουμε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, όχι αναγκαστικά κανονικούς, με διαστημικά δεδομένα, σε ένα πείραμα ζευγών. jΣυγκρίνουμε διαφορές ζευγών, αγνοώντας τα μηδενικά. kΤαξινομούμε τις απόλυτες τιμέςτων διαφορών από την μικρότερη (1) στην μεγαλύτερη (n), παίρνοντας τους μέσους όρους σε ισοβαθμίες. lΑθροίζουμε τις ταξινομήσεις (βαθμολογίες) τωνθετικών διαφορών (T+) και τωναρνητικών διαφορών (T–). mΧρησιμοποιούμεT=T+ως τονστατιστικό έλεγχο …

48. Προσημικός Βαθμολογικός Έλεγχος Wilcoxon… Τώρα έχουμε μία τιμή από έναν στατιστικό έλεγχο, αλλά με ποια τιμή να την συγκρίνουμε; Γιαμικρά μεγέθη δείγματος, δηλαδήn ≤ 30, κριτικές τιμές τουTμπορούν να διαβαστούν από τον δοθέντος πίνακα. Για μεγάλα μεγέθη δείγματος,δηλαδή γιαn > 30, το Tείναι προσεγγιστικά κανονικά κατανεμημένο, έτσι έχουμε:

49. Κριτικές Τιμές για τον Προσημικό Βαθμολογικό Έλεγχο Wilcoxon

50. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Παράδειγμα17.4… Διαφέρουν οι χρόνοι οδήγησης στον χώρο εργασίας μεταξύδύο εναλλακτικών προγραμμάτων: α) έναρξη εργασίας στις 8:00 π.μ. και β) ελαστική έναρξη εργασία;Οι ώρες προέλευσης καταγράφονται για 32 εργάτες. Με την ελαστική έναρξη εργασία οι εργαζόμενοι μπορούν να αποφύγουν τις ώρες αιχμής της κυκλοφορίας. Θέλουμε να ελέγξουμε αυτήν την υπόθεση: H1: τα δύο μέτρα θέσης πληθυσμών διαφέρουν Έτσι απαιτούμαι: H0: τα δύο μέτρα θέσης πληθυσμών είναι ίσα