位似图形(
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位似图形( 1 ). ☞. 观察与思考. 下列图形中,每个图中的四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′ 都是相似图形.分别观察这五个图,你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?. 明晰新知. 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做 位似图形 , 这个交点叫做 位似中心 , 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的 位似比. 议一议. 观察下图中的五个图,回答下列问题:. (1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?.

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位似图形( 1 )

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


1

位似图形(1)


1

观察与思考

下列图形中,每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图,你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?


1

明晰新知

如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.


1

议一议

观察下图中的五个图,回答下列问题:

(1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?

位置不一样,位似中心就不一样.

(2)在各图中,任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?再换一对对应点试一试.

相等.


1

明晰新知

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.


1

典例解析

A

E

D

B

C

如图,D,E分别AB,AC上的点.

(1)如果DE∥BC,那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗?为什么?

解:(1) ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是:

因为DE∥BC,所以∠ADE和=∠B, ∠AED =∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC.

又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点,点D和点B是对应点,点E和点C是对应点,直线BD与CE交于点A,所以∆ADE和 ∆ABC是位似图形.


1

典例解析

A

E

D

B

C

如图,D,E分别AB,AC上的点.

(1)如果DE∥BC,那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗?为什么?

(2)如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?

解:(2) DE∥BC.理由是:

∆ADE∽ ∆ABC

∆ADE和 ∆ABC是位似图形,

∠ADE=∠B

DE∥BC.


1

想一想

在下列每个图形中,位似图形的对应线段AB与A′B′是否平行?BC与B′C′,CD与C′D′,AD与A′D′是否平行?为什么?

不经过位似中心的对应线段平行.


1

练一练

C

A

E

D

B

随堂练习

1.(1),(4).

2.是.

习题 1、 2.


1

练一练

A

如图,已知△ABC∽△DEF, 它们对应顶点的连线AD,BE,CF相交于点O,这两个三角形是不是位似三角形?

D

B

E

0

C

F


1

课堂小结

通过这节课的学习,你有哪些收获?

1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.

2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.

3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.


1

A

E′

●P

D′

B

G

C

F

D

E

F′

C′

G′

B′

A′

位似图形(2)


1

想一想

利用作位似图形的方法,你能将下面的三角形缩小,使缩小后的三角形形与原三角形对应线段的比为1 : 2 吗?与同伴进行交流.


1

例题解析

E′

D′

A

B

G

F′

C′

C

F

G′

B′

D

E

A′

如图所示,作出一个新图形,使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.

  • 先选取一个点P,再在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;

  • 作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;

在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′ =2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;

●P

  • 顺顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′, A′,所得到的图形就是符合要求的图形.


1

议一议

A′

A

G′

B

G

B′

C′

F′

C

F

D

E

D′

E′

对于上例,如果依次在射线PA, PB, PC, PD, PE, PF, PG上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,能得到符合要求的图形吗?

在位似中心P的另一侧也可以画出符合条件的图形.

你还有其他方法吗?

●P


1

做一做

小明想把进行适当的缩小或放大,他设计了以下几种方案:

(1)分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.

(2)分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.

(3)分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.

小明设计的方案都可行吗?请你画一画,试一试.

(正确)

(正确)

(错误)

此时有△ADE∽△ABC,但无法确定是放大还是缩小.


1

课堂小结

通过这节课的学习,你有哪些收获?

学习目标

1.能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小.

2.利用图形的位似作图解决一些简单的实际问题,并在学习过程中发展数学应用意识,进一步培养动手操作的良好习惯.


1

y

87654321

A

C

B

x

O 1 2 3 4 5 6

-1--2--3--4

D

E

位似图形(3)


1

回顾 思考

OA= , OF=2 ;

BE= , GM=2 .

F

A

H

C

B

G

O

O

D

L

E

M

(图2)

(图1)

  • 1、线段CD与HL,OA与OF,BE与GM的长度各是多少?

  • CD=2, HL=4;


1

回顾 思考

F

A

H

C

B

G

O

O

D

L

E

M

(图2)

2、线段CD与HL,OA与OF,BE与GM的比各是多少?

它们相等吗?

  • CD∶HL= 1∶2,

  • OA∶OF= 1∶2,

  • BE∶GM=1∶2.


1

回顾 思考

F

A

H

C

B

G

O

O

D

L

E

M

(图2)

3、在图中,你还能找到比相等的其他线段吗?

  • 如:CD∶HL= OA∶OF.

  • 再如:AB:FG=OE:OM.


1

回顾 思考

F

A

H

C

B

G

O

O

D

L

E

M

(图2)

4、如果把图(1)中的“鱼”画到同一个直角坐标系中,它们是位似图形吗?如果是位似图形,位似中心是哪一个点?

是;

原点O.


1

A′

y

·

·

C′

B′

A

C

B

(—3,0)

(6,4)

(6,0)

(0,4)

·

想一想

x

O

(—3,—2)

(0,—2)

观察图形:(1) A′,B′,C′三点的坐标与A,B,C三点的坐标有什么关系?

A,B,C三点的横、纵坐标都除以2后,就是相应的点A′,B′,C′的坐标.

(2)你还能在其他象限中画出满足条件的矩形OA″B″C″吗?如果能,两个矩形的对应顶点的坐标有什么关系?

(0,2)

(3,2)

A″

·

A,B,C三点的横、纵坐标都除以—2后,就是相应的点A′,B′,C′的坐标.

·

·

B″

(3,0)

C″


1

议一议

A′

y

·

·

C′

B′

B

C

A

(—3,0)

(6,4)

(0,4)

(6,0)

·

(0,2)

(3,2)

A″

x

·

O

(—3,—2)

·

·

B″

(3,0)

(0,—2)

C″

在同一个直角坐标系中,将一个图形上各点的横坐标和纵坐标都乘同一个数k,当k是一个不等于1的正数时,得到的图形与原来的图形是位似图形吗?如果是位似图形,位似中心是哪个点?位似比等于多少?当k是一个负数时呢?

坐标原点

k : 1

当k是一个负数时,还是位似图形,位似中心是坐标原点,位似比是│k│:1.


1

课堂小结

通过这节课的学习,你有哪些收获?

在平面直角坐标系中,若把一个图形的各个点的横、纵坐标同时乘以(或除以)同一个数n(n≠0且n≠1),就会把原图形放大(或缩小)成它的一个位似图形,且变换前后两图形的位似比为1∶│n│(或│n│∶1).


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