A differenciálszámtás alapjai
Download
1 / 32

A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné - PowerPoint PPT Presentation


  • 55 Views
  • Uploaded on

A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné. Függvényelemzési szempontok. értelmezési tartomány értékkészlet zérushelyek korlátosság monoton növekedés és fogyás szélsőértékek paritás folytonosság konvexitás és konkávitás (ez új lesz). Függvényvizsgálat érintővel.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné' - yosef


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

A differenciálszámtás alapjaiKészítette : Scharle Miklósné


F ggv nyelemz si szempontok
Függvényelemzésiszempontok

  • értelmezési tartomány

  • értékkészlet

  • zérushelyek

  • korlátosság

  • monoton növekedés és fogyás

  • szélsőértékek

  • paritás

  • folytonosság

  • konvexitás és konkávitás (ez új lesz)


F ggv nyvizsg lat rint vel
Függvényvizsgálatérintővel

  • A függvények vizsgálatát megtanuljuk a görbéhez húzott érintő segítségével elvégezni.

  • Az érintővel letapogatjuk a görbét.

  • Az érintő meredeksége sok információt hordoz a fv. menetéről.


Mi az rint
Mi az érintő?

Olyan egyenes, aminek 1 közös pontja van a görbével?

Nem. Lehet több közös pontja is.


Lehet több közös pontja is.

Az érintő olyan egyenes, amihez a görbe hozzásimul.


hozzásimul

hozzásimul



Mi az rint1
Mi az érintő?

y

Az érintő a szelő határhelyzete

x


Induljunk ki a szel b l
Induljunk ki a szelőből!

y

y

A fv.-görbe szelőjének

meredeksége:

y-y

0

y

0

x-x

0

x

x

x

0


A fv.-görbe szelőjének meredekségét megadó törtet, a fv. d i f f e r e n c i a –

h á n y a d o s á n a k nevezzük.

y

y

y-y

0

y

0

x-x

0

x

x

x

0


Mi az rint2
Mi az érintő? fv.

y

y

  • Az érintő a szelő határhelyzete.

  • A szelő meredeksége:

y-y

0

y

0

x-x

0

Az érintő meredeksége

ennek a határértéke.

x

x

x

0


Milyen meredek az rint
Milyen meredek az érintő? fv.

y

y

  • Az érintő meredeksége:

    tg

y-y

0

y

0

x-x

0

x

x

0


A fv. differenciálhányados

y

y

  • tg

    A fv.-görbe érintőjének meredekségét megadó értéket a függvény

    d i f f e r e n c i á l-

    h á n y a d o s á n a k nevezzük.

y-y

0

y

0

x-x

0

x

x

0


y fv.

  • Az érintő meredeksége: tg

  • A f(x) fv.-görbéjének minden pontjában az érintő meredekségét megadó fv.-t az eredeti függvény

    d e r i v á l t j á n a k

    nevezzük.

    Jele: f(x)

y

0

x

x

0


Definíciók fv.

Legyen az függvény az hely valamely

környezetében értelmezve, és olyan tetszőleges eleme

ennek a környezetnek, amelyre .

Ekkor az

függvényt az függvény helyhez tartozó

differenciahányados függvényének nevezzük.

Ha létezik az így definiált differenciahányados függvénynek az helyen határértéke, és az véges, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az helyen differenciálható.


  • A fv.

    értéket az fv. helyhez tartozó

    differenciálhányadosának nevezzük.

  • Azt a függvényt, amely az fv. értelmezési tartományának minden helyéhez az ottani

    differenciálhányados értékét rendeli,

    az eredeti függvény derivált függvényének nevezzük, és

    -szel jelöljük.


Differenciálási fv. szabályok


Mire j mindez
Mire jó mindez? fv.

  • Térjünk vissza a függvényvizsgálathoz!

  • Az érintő meredekségével, vagyis a derivált értékének a meghatározásával fogjuk a függvények menetét megismerni.

  • Az érintő, miközben letapogatja a görbét, meredekségével sok információt tud közölni a függvényről.


Monoton n veked s s fogy s
Monoton növekedés és fogyás fv.

y

Egy függvény szigorúan monoton növekvő, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált -

p o z i t í v .

x


Monoton n veked s s fogy s1
Monoton növekedés és fogyás fv.

y

Egy függvény szigorúan monoton fogyó, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált -

n e g a t í v.

x


Konvex s konk v g rb k
Konvex és konkáv görbék fv.

  • Egy görbét konvexnek nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr alatt, vagy magán a húron van.

  • Ilyenkor az érintő meredeksége nő.

x


Konvex s konk v g rb k1
Konvex és konkáv görbék fv.

  • Egy görbét konkávnak nevezünk,

    ha bármely ívének minden pontja

    az ív végpontjait összekötõ húr felett, vagy magán a húron van.

  • Ilyenkor az érintő meredeksége csökken.

x


Sz ls rt kek
Szélsõértékek fv.

  • Az alábbi ábrán látható függvénynek van egy jól látható maximuma és egy minimuma. Pontosan hol?

  • Erre a kérdésre a differenciálszámítás segítségével válaszolhatunk.

35

f(x)= - 0.3x+ 0.1x


Az alábbi ábrán a -0.3x fv. 3 + 0.1x5 függvényt láthatjuk.


y fv.

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja,

ahol a görbe konkávból konvexre változik (vagy fordítva).

P

x

Lokális maximuma van a fv.-nek az a helyen,

ha megadható az a-nak olyan környezete,

amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van)

igaz, hogy f(x) ≤ f(a).

y

a x


y fv.

P

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja,

ahol a görbe konvexből konkávra változik (vagy fordítva).

P

x

Lokális minimuma van a fv.-nek az a helyen,

ha megadható az a-nak olyan környezete,

amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van)

igaz, hogy f(x) ≥ f(a).

y

a x


F ggv ny maximuma
Függvény maximuma fv.

  • A maximum elõtt a függvény növekszik, tehát az érintő meredeksége ( vagyis a deriváltja) pozitív,

  • Ha elõtte pozitív, utána negatív, akkor pont a maximumban 0.

  • utána pedig csökken.

  • tehát a deriváltja negatív.

y

a x


Függvény minimuma fv.

  • A minimum esetében ugyanez a helyzet, csak elõtte negatív az érintő meredeksége ( vagyis a derivált )

  • utána pozitív.

y

  • Tehát ott van differenciálható függvényeknél a szélsõ-érték, ahol a derivált 0.

a x


y fv.

a x

Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is.

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.


y fv.

a x

Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is.

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.


Keress az alábbi görbéken minimumokat és maximumokat! fv.

Hol fogyók az „y” értékek és hol növekvők?

y

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15


ad