A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné

1. A differenciálszámtás alapjaiKészítette : Scharle Miklósné

2. Függvényelemzésiszempontok • értelmezési tartomány • értékkészlet • zérushelyek • korlátosság • monoton növekedés és fogyás • szélsőértékek • paritás • folytonosság • konvexitás és konkávitás (ez új lesz)

3. Függvényvizsgálatérintővel • A függvények vizsgálatát megtanuljuk a görbéhez húzott érintő segítségével elvégezni. • Az érintővel letapogatjuk a görbét. • Az érintő meredeksége sok információt hordoz a fv. menetéről.

5. Mi az érintő? Olyan egyenes, aminek 1 közös pontja van a görbével? Nem. Lehet több közös pontja is.

6. Lehet több közös pontja is. Az érintő olyan egyenes, amihez a görbe hozzásimul.

7. hozzásimul hozzásimul

8. H o z z á s i m u l

9. Mi az érintő? y Az érintő a szelő határhelyzete x

10. Induljunk ki a szelőből! y y A fv.-görbe szelőjének meredeksége: y-y 0 y 0 x-x 0 x x x 0

11. A fv.-görbe szelőjének meredekségét megadó törtet, a fv. d i f f e r e n c i a – h á n y a d o s á n a k nevezzük. y y y-y 0 y 0 x-x 0 x x x 0

12. Mi az érintő? y y • Az érintő a szelő határhelyzete. • A szelő meredeksége: y-y 0 y 0 x-x 0 Az érintő meredeksége ennek a határértéke. x x x 0

13. Milyen meredek az érintő? y y • Az érintő meredeksége: tg y-y 0 y 0 x-x 0 x x 0

14. Adifferenciálhányados y y • tg A fv.-görbe érintőjének meredekségét megadó értéket a függvény d i f f e r e n c i á l- h á n y a d o s á n a k nevezzük. y-y 0 y 0 x-x 0 x x 0

15. y • Az érintő meredeksége: tg • A f(x) fv.-görbéjének minden pontjában az érintő meredekségét megadó fv.-t az eredeti függvény d e r i v á l t j á n a k nevezzük. Jele: f(x) y 0 x x 0

16. Definíciók Legyen az függvény az hely valamely környezetében értelmezve, és olyan tetszőleges eleme ennek a környezetnek, amelyre . Ekkor az függvényt az függvény helyhez tartozó differenciahányados függvényének nevezzük. Ha létezik az így definiált differenciahányados függvénynek az helyen határértéke, és az véges, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az helyen differenciálható.

17. A értéket az fv. helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük. • Azt a függvényt, amely az fv. értelmezési tartományának minden helyéhez az ottani differenciálhányados értékét rendeli, az eredeti függvény derivált függvényének nevezzük, és -szel jelöljük.

18. Differenciálásiszabályok

19. Mire jó mindez? • Térjünk vissza a függvényvizsgálathoz! • Az érintő meredekségével, vagyis a derivált értékének a meghatározásával fogjuk a függvények menetét megismerni. • Az érintő, miközben letapogatja a görbét, meredekségével sok információt tud közölni a függvényről.

20. Monoton növekedés és fogyás y Egy függvény szigorúan monoton növekvő, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált - p o z i t í v . x

21. Monoton növekedés és fogyás y Egy függvény szigorúan monoton fogyó, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált - n e g a t í v. x

22. Konvex és konkáv görbék • Egy görbét konvexnek nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr alatt, vagy magán a húron van. • Ilyenkor az érintő meredeksége nő. x

23. Konvex és konkáv görbék • Egy görbét konkávnak nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr felett, vagy magán a húron van. • Ilyenkor az érintő meredeksége csökken. x

24. Szélsõértékek • Az alábbi ábrán látható függvénynek van egy jól látható maximuma és egy minimuma. Pontosan hol? • Erre a kérdésre a differenciálszámítás segítségével válaszolhatunk. 35 f(x)= - 0.3x+ 0.1x

25. Az alábbi ábrán a -0.3x3 + 0.1x5 függvényt láthatjuk.

26. y Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja, ahol a görbe konkávból konvexre változik (vagy fordítva). P x Lokális maximuma van a fv.-nek az a helyen, ha megadható az a-nak olyan környezete, amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van) igaz, hogy f(x) ≤ f(a). y a x

27. y P Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja, ahol a görbe konvexből konkávra változik (vagy fordítva). P x Lokális minimuma van a fv.-nek az a helyen, ha megadható az a-nak olyan környezete, amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van) igaz, hogy f(x) ≥ f(a). y a x

28. Függvény maximuma • A maximum elõtt a függvény növekszik, tehát az érintő meredeksége ( vagyis a deriváltja) pozitív, • Ha elõtte pozitív, utána negatív, akkor pont a maximumban 0. • utána pedig csökken. • tehát a deriváltja negatív. y a x

29. Függvény minimuma • A minimum esetében ugyanez a helyzet, csak elõtte negatív az érintő meredeksége ( vagyis a derivált ) • utána pozitív. y • Tehát ott van differenciálható függvényeknél a szélsõ-érték, ahol a derivált 0. a x

30. y a x Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is. Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

31. y a x Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is. Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

32. Keress az alábbi görbéken minimumokat és maximumokat! Hol fogyók az „y” értékek és hol növekvők? y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15